Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn 

\(\sqrt{\frac{1}{600}};\,\sqrt{\frac{11}{540}};\,\sqrt{\frac{3}{50}};\,\sqrt{\frac{5}{98}};\,\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}\)

Phương pháp giải

khử sao cho mẫu thức không còn căn bằng cách nhân thêm một lượng thích hợp số vào cả tử và mẫu của căn thức ấy.

Hướng dẫn giải

\(\sqrt{\frac{1}{600}}=\sqrt{\frac{1.6}{6.6.10.10}}=\frac{\sqrt{6}}{60}\)

\(\sqrt{\frac{11}{540}}=\sqrt{\frac{11.15}{6.6.15.15}}=\frac{\sqrt{165}}{90}\)

\(\sqrt{\frac{3}{50}}=\sqrt{\frac{3.2}{5.5.2.2}}=\frac{\sqrt{6}}{10}\)

\(\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\frac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1).\sqrt{3}}{9}\)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

\(ab\sqrt{\frac{a}{b}};\,\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}};\,\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}};\,\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}};\,3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}.\)

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau

• \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\),  với \(a \ge 0,\ b > 0 \).
• \(\sqrt{a^2}=|a|\)
• Nếu \(a \ge 0\) thì \(|a|=a\)
• Nếu \( a < 0 \) thì \(|a|=-a\)
• \(\dfrac{a}{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}{b}\),   \((b > 0)\).

Hướng dẫn giải

Với các biểu thức chứa biến, để trục căn, ta cần xem điều kiện để căn thức có nghĩa áp dụng vào bài 49

 có nghĩa khi  và \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}\)
Nếu  thì \(ab\sqrt{\frac{a}{b}}=a\sqrt{ab}\)
Nếu \(a<0, b<0\) thì \(ab\sqrt{\frac{a}{b}}=-a\sqrt{ab}\)

Tương tự như vậy ta có: \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ba}}{b}\)
Nếu \(a> 0, b> 0\) thì \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}\frac{\sqrt{ba}}{\left | a \right |}\)
Nếu \(a<0, b<0\) thì  \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=-\frac{\sqrt{ba}}{b}\)

Ta có: \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{\frac{b+1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{\left | b \right |}\)
Điều kiện để căn thức có nghĩa là  hay  Do đó:
Nếu \(b>0\) thì \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{ b }\)
Nếu  thì \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=-\frac{\sqrt{b+1}}{b}\)

Điều kiện để  có nghĩa là  hay 

\(\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}}{4b}}=\frac{\sqrt{4a^{3}b}}{4\left | b \right |}=\frac{\sqrt{4a^{2}.ab}}{4\left | b \right |}=\frac{\left | a \right |\sqrt{ab}}{2b}\)

\(3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}=3\sqrt{\frac{2.x^2y^2}{xy}}=\frac{3\sqrt{2}}{xy}\)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \dfrac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \dfrac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \dfrac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{y+b.\sqrt{y}}{b. \sqrt{y}}\)

Phương pháp giải

• \( (\sqrt{a})^2=a\),   với \(a \ge 0\).
• \(\dfrac{a}{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}{b}\),   \((b > 0)\).
• \( \sqrt{A^2 B}=A\sqrt{B}\),   nếu \(A,\ B \ge 0\). 
• \( \sqrt{A^2 B}=-A\sqrt B\),   nếu \(A < 0,\ B \ge 0\).

Hướng dẫn giải

\(\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)

\(\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2.5}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{20}}{3.20}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}\)

\(\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2}+2)}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}\)

\(\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}+b}{b}\)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{3}{\sqrt{3}+1};\,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{3}-1};\,\,\,\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{b}{3+\sqrt{b}};\,\,\,\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}\)

Phương pháp giải

chúng ta có thể sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, tách và phân tích thành nhân tử rồi rút gọn

Hướng dẫn giải

\(\frac{3}{\sqrt{3}+1}=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}\)

\(\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1\)

\(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=7+4\sqrt{3}\)

\(\frac{b}{3+\sqrt{b}}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{(3-\sqrt{b})(3+\sqrt{b})}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{9-b};(b\neq 9)\)

\(\frac{p}{2\sqrt{p}-1}=\frac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}+1)(2\sqrt{p}-1)}=\frac{p(2\sqrt{p}+1)}{4p-1}\)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\,\,\ \dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\,\,\, \dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

Phương pháp giải

chúng ta có thể sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, tách và phân tích thành nhân tử rồi rút gọn

Hướng dẫn giải

\(\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=2(\sqrt{6}+\sqrt{5})\)

\(\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}-\sqrt{7})(\sqrt{10}+\sqrt{7})}=\sqrt{10}-\sqrt{7}\)

\(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\)

\(\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}\)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):

a) \(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}\)

b) \(ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}\)

c) \(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}\)

d) \(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

Phương pháp giải

• \( \sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b\),  với \(a,\ b \ge 0\).
• \(|a| = a\),  nếu \(a \ge 0\); \(|a|=-a\)  nếu \(a < 0\).
• Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học:  Với hai số \(a,\ b\) không âm, ta có: \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{18}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3\sqrt{6}-6\)

Câu b

Nếu \(ab>0\) thì: \(ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=\sqrt{a^2b^2+\frac{a^2b^2}{a^2b^2}}=\sqrt{a^2b^2+1}\)

Câu c

\(\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\frac{ab}{b^4}+\frac{a}{b^4}}=\sqrt{\frac{1}{b^4}.(ab+a)}=\frac{\sqrt{ab+a}}{b^2}\)

Câu d: Với bài toán trên, ta có: \(a\geq 0;b\geq 0,ab\neq 0\)

\(=\frac{(a-b)\sqrt{a}}{a-b}=\sqrt{a}\)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):

\(\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2};\,\,\,\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}};\,\,\, \dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}\)

Phương pháp giải

• \( (\sqrt a)^2=a\),  với mọi \(a \ge 0\).
• \(\sqrt{a.b}=\sqrt a. \sqrt b\),  với \(a,\ b \ge 0\).

Hướng dẫn giải

\(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

\(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}\)

\(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{3}-\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-2}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)

\(\frac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}\) :Với câu này, ta nhận thấy điều kiện là \(a\geq 0\), khi đó:

\(\frac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{1-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}\)

\(\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}\): Với câu này, ta thấy điều kiện là \(\left\{\begin{matrix} p\geq 0\\ p\neq \sqrt{2} \end{matrix}\right.\) , khi đó:

\(\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}\)

Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)

a) \(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1\)

b) \(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}\)

Phương pháp giải

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng

• Phương pháp đặt nhân tử chung
• Phương pháp nhóm hạng tử.
• Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Sử dụng: \(\sqrt a.\sqrt a=a,\)  với \(a \ge 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=(ab+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)=b\sqrt{a}(1+\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)\)

\(=(b\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+1)\)

Câu b

\(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}=x\sqrt{x}-y\sqrt{y}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\)

\(=x(\sqrt{x}+\sqrt{y})-y(\sqrt{y}+\sqrt{x})=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-y)\)

\(=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\)

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần

a) \(3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}\)

b) \(6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}\)

Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn

• Với \(A \ge 0,\ B \ge 0\) ta có: \(A\sqrt B =\sqrt{A^2B}.\)
• Với \(A <0,\ B \ge 0\)  ta có: \(A\sqrt B=-\sqrt{A^2B}\).

- Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số \(a,\ b\) không âm, ta có: \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(3\sqrt{5}=\sqrt{45}\)

\(2\sqrt{6}=\sqrt{24}\)

\(4\sqrt{2}=\sqrt{32}\)

Vì: \(24<29<32<45\Rightarrow \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}\)

\(\Rightarrow 2\sqrt{6}<\sqrt{29}< 4\sqrt{2}< 3\sqrt{5}\)

Câu b

\(6\sqrt{2}=\sqrt{72}\)

\(3\sqrt{7}=\sqrt{63}\)

\(2\sqrt{14}=\sqrt{56}\)

Vì: \(38<56<63<72\Rightarrow \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}\)

 \(\Rightarrow \sqrt{38}< 2\sqrt{14}<3\sqrt{7}< 6\sqrt{2}\)

\(\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9\) khi x bằng

(A) 1

(B) 3

(C) 9

(D) 81

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải

Ta sử dụng

• \( \sqrt{A^2 B}=A\sqrt{B}\),   nếu \(A,\ B \ge 0\).
• \( \sqrt x =a  \Leftrightarrow (\sqrt x)^2=a^2,\) với \(x,\ a \ge 0\).

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9\)

\(\sqrt{5^2.x}-\sqrt{4^2.x}=9\)

\(\Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9\)

\(\Leftrightarrow (5-4)\sqrt{x}=9\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x}=9\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2=9^2\)

\(\Leftrightarrow x=81\)

Chọn đáp án D. \(81\)