Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) \(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Chúng ta rút một ẩn của phương trình 1 hoặc hai rồi thế vào phương trình còn lại để tim ra một ẩn, rồi lại thế ngược lại để tìm ra hệ nghiệm phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3+y & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3+y & & \\ 3(3+y)-4y=2 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3+y & & \\ -y=-7 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=10 & & \\ y=7 & & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=(7;10)\)

Câu b

\(\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ y=2-4x & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7x - 3(2-4x) =5 & & \\ y=2-4x & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 19x=11 & & \\ y=2-4x & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{11}{19} & & \\ y=-\frac{6}{19} & & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=\left ( \frac{11}{19};-\frac{6}{19} \right )\)

Câu c

\(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =-2-3y & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =-2-3y & & \\ 5(-2-3y)-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =-2-3y & & \\ -19y=21 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{25}{19} & & \\ y=-\frac{21}{19} & & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=\left ( \frac{25}{19};-\frac{21}{19} \right )\)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \\ 4x - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}- \frac{y}{3} = 1& & \\ 5x - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Chúng ta rút một ẩn của phương trình 1 hoặc hai rồi thế vào phương trình còn lại để tim ra một ẩn, rồi lại thế ngược lại để tìm ra hệ nghiệm phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \\ 4x - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{11+2y}{3} & & \\ 4x - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{11+2y}{3} & & \\ 4(\frac{11+2y}{3}) - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{11+2y}{3} & & \\ -\frac{7}{3}y= -\frac{35}{3}& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=7 & & \\ y=5& & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=(7;5)\)

Câu b

\(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}- \frac{y}{3} = 1& & \\ 5x - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{6+2y}{3}& & \\ 5x - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{6+2y}{3}& & \\ 5(\frac{6+2y}{3}) - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{6+2y}{3}& & \\ -\frac{14}{3}y = -7& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3& & \\ y=\frac{3}{2}& & \end{matrix}\right.\)

Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:

a) \(\left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Chúng ta rút một ẩn của phương trình 1 hoặc hai rồi thế vào phương trình còn lại để tim ra một ẩn, rồi lại thế ngược lại để tìm ra hệ nghiệm phương trình. 

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =- y\sqrt{5} & & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =- y\sqrt{5} & & \\ -y\sqrt{5}.\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =- y\sqrt{5} & & \\ -2y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =\frac{\sqrt{5}-5}{2} & & \\ y = \frac{\sqrt{5}-1}{2}& & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=\left ( \frac{\sqrt{5}-5}{2};\frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )\)

Câu b

\(\left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ y =4-2\sqrt{3}-4x& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3(4-2\sqrt{3}-4x) = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ y =4-2\sqrt{3}-4x& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (14 - \sqrt{3})x= 14 -\sqrt{3}& & \\ y =4-2\sqrt{3}-4x& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1& & \\ y =-2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=(1;-2\sqrt{3})\)

Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & \end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(a = -1\)

b) \(a = 0\)

c) \(a = 1\)

Phương pháp giải

• Thay từng giá trị của \(a\) vào hệ phương trình đã cho.
• Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình thu được để có một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.
• Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(a = -1\)

Khi đó, hệ trở thành:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1-3y & & \\ 2x+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1-3y & & \\ 2(1-3y)+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1-3y & & \\ 0y = -4 & & \end{matrix}\right.\) (vô lí!)

Vậy, hệ vô nghiệm với \(a = -1\)

Câu b

\(a = 0\)

Khi đó, hệ trở thành:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x=- 6y& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -6y + 3y = 1 & & \\ x=- 6y& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -3y = 1 & & \\ x=- 6y& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = -\frac{1}{3} & & \\ x=2& & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=\left ( 2;-\frac{1}{3} \right )\)

Câu c

\(a = 1\)

Khi đó, hệ trở thành:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1-3y & & \\ 2x+ 6y = 2 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1-3y & & \\ 2(1-3y)+ 6y = 2 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1-3y & & \\ 0y = 0 & & \end{matrix}\right.\) (luôn đúng với mọi số thực y)

Vậy hệ đã cho có tập nghiệm là \(\left\{\begin{matrix} x = 1-3y & & \\ y\epsilon \mathbb{R} & & \end{matrix}\right.\)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Chúng ta rút một ẩn của phương trình 1 hoặc hai rồi thế vào phương trình còn lại để tim ra một ẩn, rồi lại thế ngược lại để tìm ra hệ nghiệm phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = 3x-5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = 3x-5 & & \\ 5x + 2(3x-5) = 23 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = 3x-5 & & \\ 11x = 33 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = 4 & & \\ x = 3 & & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=(3;4)\)

Câu b

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ y =2x+8 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x +5(2x+8) = 1 & & \\ y =2x+8 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 13x=-39 & & \\ y =2x+8 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-3 & & \\ y =2 & & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=(-3;2)\)

Câu c

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \frac{3}{2}x& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \frac{3}{2}x& & \\ x + \frac{3}{2}x - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \frac{3}{2}x& & \\ \frac{5}{2}x= 10 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = 6& & \\ x=4 & & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=(4;6)\)

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Chúng ta rút một ẩn của phương trình 1 hoặc hai rồi thế vào phương trình còn lại để tim ra một ẩn, rồi lại thế ngược lại để tìm ra hệ nghiệm phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x = -y\sqrt{3}+ \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (-y\sqrt{3}+ \sqrt{2})\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x = -y\sqrt{3}+ \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -(\sqrt{3}+\sqrt{6})y=-1& & \\ x = -y\sqrt{3}+ \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}& & \\ x = 1& & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=\left ( 1;\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \right )\)

Câu b

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= 2\sqrt{2} y+ \sqrt{5}& & \\ (2\sqrt{2} y+ \sqrt{5})\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= 2\sqrt{2} y+ \sqrt{5}& & \\ 5y=1-2\sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \frac{-3\sqrt{5}+2\sqrt{2}}{5}& & \\ y=\frac{1-2\sqrt{10}}{5}& & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=\left ( \frac{-3\sqrt{5}+2\sqrt{2}}{5};\frac{1-2\sqrt{10}}{5} \right )\)

Câu c

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = (\sqrt{2}- 1)x-\sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = (\sqrt{2}- 1)x-\sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)((\sqrt{2}- 1)x-\sqrt{2}) = 1& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = (\sqrt{2}- 1)x-\sqrt{2}& & \\2x=3+\sqrt{2} & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y =-\frac{1}{2} & & \\x=\frac{3+\sqrt{2}}{2}& & \end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \((x;y)=\left ( \frac{3+\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2} \right )\)

a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình

\(\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.\). Có nghiệm là \((1; -2)\)

b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là \((\sqrt{2}-1; \sqrt{2})\)

Phương pháp giải

a)  Thay \(x=1,\ y=-2\) vào hệ ban đầu ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(a,\ b\).

Giải hệ mới ta tìm được  \(a,\ b\).

b) Thay \(x=\sqrt{2} - 1; y=\sqrt{2}\) vào hệ ban đầu ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(a,\ b\).

Giải hệ mới ta tìm được  \(a,\ b\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Vì hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.\) có nghiệm là \((1; -2)\) nên:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2b=-6 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ a=-4 & & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ đã cho là: \(\left\{\begin{matrix} 2x +3y=-4 & & \\ 3x +4y=-5& & \end{matrix}\right.\)

Câu b

Vì hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.\) có nghiệm là \((\sqrt{2}-1; \sqrt{2})\) nên:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b\sqrt{2}=-2-2\sqrt{2} & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=-2-\sqrt{2} & & \\a=\frac{-5+2\sqrt{2}}{2}& & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ đã cho là: \(\left\{\begin{matrix} 2x -(2+\sqrt{2})y=-4 & & \\ (-2-\sqrt{2})x -(\frac{-5+2\sqrt{2}}{2})y=-5& & \end{matrix}\right.\)

Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\)

Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và  \(x - 3\): \(P(x) = mx^3+(m-2)x^2-(3n-5)x-4n\)

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất:

• \(P(x)\) chia hết cho \((x - a)\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\)
• \(P(x)\) chia hết cho \((x+a)\) khi và chỉ khi \(P(-a)=0\).
• Thay các giá trị nghiệm vào đa thức \(P(x)\), ta thu được các phương trình bậc nhất hai ẩn. Lập hệ và giải hệ đó.

Hướng dẫn giải

Ta thấy

\(P(x)\) chia hết cho \(x+1\) nên:

\(P(-1)=-m+m-2+3n-5-4n=0\)

\(P(x)\) chia hết cho \(x-3\) nên:

\(P(3)=27m+9m-18-9n+15-4n=0\)

Từ các điều trên, ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} -n=7\\ 36m-13n=3 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=-7\\ 36m-13.(-7)=3 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=-7\\ m=-\frac{22}{9} \end{matrix}\right.\)

Vậy các tham số cần tìm là: \(m=-\frac{22}{9}\) và \(n=-7\)