Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Trên hình 89, hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A. Chứng minh rằng OC // O'D.

Phương pháp giải

Chứng minh góc C = D (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(OA = OC\) (cùng bằng bán kính (O))

Suy ra \(ΔOAC\) cân tại O.

\(\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{OAC}\,\left( 1 \right)\)

Tương tự, \(ΔO'AD\) cân tại O'

\(\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{O'AD}\,\left( 2 \right)\)

Mà \(\widehat{OAC}=\widehat{O'AD}\) là hai góc đối đỉnh (3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{D} \)

Vậy \(OC // O'D\) (hai góc so le trong bằng nhau).

Cho hai đường tròn \((O; 20cm)\) và \((O'; 15cm)\) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO', biết rằng \(AB = 24 cm\). (Xét hai trường hợp: O và O' nằm khác phía đối với AB; O và O' nằm cùng phía đối với AB).

Phương pháp giải

Trường hợp 1: O và O' nằm khác phía đối với AB

Gọi I là giao điểm của OO' và AB

Áp dụng định lí Pytago tính OI, IO' trong tam giác vuông IAO và tam giác IAO’

Vậy OO' = OI + IO'

Trường hợp 2: O và O’ nằm cùng phía với AB

Tương tự trường hợp 1, ta tính dộ dài OI, IO'

Vậy OO’=OI - O’I

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1: O và O' nằm khác phía đối với AB

Gọi I là giao điểm của OO' và AB. Ta có:

\(AB ⊥ OO'\) và \(AI = IB = 12\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông IAO, ta có:

\(\begin{aligned} & O{{A}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}} \\ & \Rightarrow OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}-{{12}^{2}}}=16\,\left( cm \right) \\ \end{aligned}\)

Áp dung định lí Pytago trong tam giác vuông IAO’, ta có:

\(\begin{aligned} & O'{{A}^{2}}=O'{{I}^{2}}+I{{A}^{2}} \\ & \Rightarrow O'I=\sqrt{O'{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}-{{12}^{2}}}=9\,\left( cm \right) \\ \end{aligned}\)

Vậy \(OO' = OI + IO' = 16 + 9 = 25\) (cm)

Trường hợp 2: O và O’ nằm cùng phía với AB

Tương tự, ta tính được: \(OI=16cm, O’I=9 cm\)

Suy ra \(OO’=OI-O’I=16-9=7(cm)\)