Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Trên hình 89, hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A. Chứng minh rằng OC // O'D.

Phương pháp giải

Chứng minh góc C = D (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Hướng dẫn giải

Ta có: $OA = OC$ (cùng bằng bán kính (O))

Suy ra $ΔOAC$ cân tại O.

$\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{OAC}\,\left( 1 \right)$

Tương tự, $ΔO'AD$ cân tại O'

$\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{O'AD}\,\left( 2 \right)$

Mà $\widehat{OAC}=\widehat{O'AD}$ là hai góc đối đỉnh (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{D}$

Vậy $OC // O'D$ (hai góc so le trong bằng nhau).

Cho hai đường tròn $(O; 20cm)$ và $(O'; 15cm)$ cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO', biết rằng $AB = 24 cm$. (Xét hai trường hợp: O và O' nằm khác phía đối với AB; O và O' nằm cùng phía đối với AB).

Phương pháp giải

Trường hợp 1: O và O' nằm khác phía đối với AB

Gọi I là giao điểm của OO' và AB

Áp dụng định lí Pytago tính OI, IO' trong tam giác vuông IAO và tam giác IAO’

Vậy OO' = OI + IO'

Trường hợp 2: O và O’ nằm cùng phía với AB

Tương tự trường hợp 1, ta tính dộ dài OI, IO'

Vậy OO’=OI - O’I

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1: O và O' nằm khác phía đối với AB

Gọi I là giao điểm của OO' và AB. Ta có:

$AB ⊥ OO'$ và $AI = IB = 12$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông IAO, ta có:

$\begin{aligned} & O{{A}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}} \\ & \Rightarrow OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}-{{12}^{2}}}=16\,\left( cm \right) \\ \end{aligned}$

Áp dung định lí Pytago trong tam giác vuông IAO’, ta có:

$\begin{aligned} & O'{{A}^{2}}=O'{{I}^{2}}+I{{A}^{2}} \\ & \Rightarrow O'I=\sqrt{O'{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}-{{12}^{2}}}=9\,\left( cm \right) \\ \end{aligned}$

Vậy $OO' = OI + IO' = 16 + 9 = 25$ (cm)

Trường hợp 2: O và O’ nằm cùng phía với AB

Tương tự, ta tính được: $OI=16cm, O’I=9 cm$

Suy ra $OO’=OI-O’I=16-9=7(cm)$