Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Đồ thị của hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Cho hai hàm số: \(y=\frac{3}{2}x^2,y=-\frac{3}{2}x^2\). Điền vào những ô trống của các bảng sau rồi vẽ hai đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Nhận xét về tính đối xứng của hai đồ thị đối với trục Ox

Phương pháp giải

- Tính giá trị của \(f(x_0)\) ta thay \(x=x_0\) vào hàm số \(y=f(x)\).

- Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax^2\).

• Bước 1: Xác định các điểm \((1; a)\) và \((2; 4a)\) và các điểm đối xứng của chúng qua \(Oy\).  
• Bước 2: Vẽ parabol đi qua gốc \(O(0;0)\) và các điểm trên.

Hướng dẫn giải

Thực hiện phép tính và điền vào chỗ trống ta được bảng sau:

Vẽ đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị của hai hàm số đối xứng với nhau qua trục hoành!

Cho ba hàm số: \(y=\frac{1}{2}x^2; y = x^2 ; y = 2x^2\)

a) Vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm ba điểm A, B, C có cùng hoành độ x = -1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Xác định tung độ tương ứng của chúng.

c) Tìm ba điểm A', B', C' có cùng hoành độ x = 1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Kiểm tra tính đối xứng của A và A', B và B', C và C'.

d) Với mỗi hàm số trên, hãy tìm giá trị của x để hàm số đó có giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải

- Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax^2\).

• Bước 1: Xác định các điểm \((1; a)\) và \((2; 4a)\) và các điểm đối xứng của chúng qua \(Oy\).  
• Bước 2: Vẽ parabol đi qua gốc \(O(0;0)\) và các điểm trên.

- Thay hoành độ \(x=x_0\) vào hàm số \(y=ax^2\) ta tìm được tung độ \(y\) tương ứng.

- Áp dụng tính chất: Nếu \(a > 0\) thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và \(O\) là điểm thấp nhất của đồ thị.

Hướng dẫn giải

Câu a

Vẽ đồ thị

Câu b

Tung độ các điểm A, B, C có cùng hoành độ\(x = -1,5\) là:

\(\small y_A=\frac{1}{2}(-1,5)^2=\frac{9}{8}\Rightarrow A\left (-1,5;\frac{9}{8} \right )\)

\(\small y_B=(-1,5)^2=\frac{9}{4}\Rightarrow B\left (-1,5;\frac{9}{4} \right )\)

\(\small y_C=2.(-1,5)^2=\frac{9}{2}\Rightarrow C\left (-1,5;\frac{9}{2} \right )\)

Câu c

Bằng cách tương tự câu B, ta cũng tìm được tọa độ các điểm A', B', C' có cùng hoành độ \(\small x = 1,5\):

\(\small y_A=y_{A'}=\frac{9}{8}\Rightarrow A'\left (1,5;\frac{9}{8} \right )\)

\(\small y_B=y_{B'}=\frac{9}{4}\Rightarrow B'\left (1,5;\frac{9}{4} \right )\)

\(\small y_C=y_{C'}=\frac{9}{4}\Rightarrow C'\left (1,5;\frac{9}{2} \right )\)

Chúng đối xứng qua trục tung Oy!

Câu d

Với mỗi hàm số đã cho ta đều có hệ số \(\small a > 0\) nên gốc tọa độ là điểm thấp nhất của đồ thị. Khi đó ta có

\(\small x = 0\Rightarrow y=0\)

Điểm này đều thuộc ba đồ thị trên

Vậy \(\small x = 0\) thì hàm số có giả trị nhỏ nhất.

Cho hàm số \(y = f(x) = {x^2}\).

a) Vẽ đồ thị của hàm số đó.

b) Tính các giá trị \(f(-8); f(-1,3); f(-0,75); f(1,5)\).

c) Dùng đồ thị để ước lượng các giá trị \({(0,5)^2};{( - 1,5)^2};{(2,5)^2}\).

d) Dùng đồ thị để ước lượng vị trí các điểm trên trục hoành biểu diễn các số \(\sqrt{3}; \sqrt{7}\).

Phương pháp giải

a) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax^2\).

 +) Xác định các điểm \((1; a)\) và \((2; 4a)\) và các điểm đối xứng của chúng qua \(Oy\).  

 +) Vẽ parabol đi qua gốc \(O(0;0)\) và các điểm trên.

b) Để tính \(f(x_0)\) ta thay \(x=x_0\) vào công thức hàm số \(y=f(x)\).

c) Muốn tìm các giá trị \(x^2\), ta tìm vị trí các điểm \(A\) nằm trên đồ thị có hoành độ là \(x\). Khi đó tung độ của \(A\) là \(x^2\).

d) Muốn tìm vị trí điểm trên trục hoành biểu diễn số \(\sqrt a\), ta tìm điểm \(B\) thuộc đồ thị có tung độ là \(a\). Khi đó, hoành độ của \(B\) là vị trí biểu diễn của \(\sqrt a\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Đồ thị hàm số qua \(\small A(1;1);B(-1;1);C(2;4);D(-2;4);O(0;0)\)

Câu b

Ta có:

\(\small y = f(x) = x^2\)

\(\small f(-8) = (-8)^2 = 64\)

\(\small f(-1,3) = (-1,3)^2 = 1,69\)

\(\small f(-0,75) = (-0,75)^2 = 0,5625\)

\(\small f(1,5) = 1,5^2 = 2,25\)

Câu c

Theo đồ thị ta có:

\(\small (0,5)^2 = 0,25\)

\(\small (-1,5)^2 = 2,25\)

\(\small (2,5)^2 = 6,25\)

Câu d

Theo đồ thị ta có:

\(\small x=\sqrt{3}\Rightarrow y=3\)

Điểm biểu diễn trên trục hoành:

\(\small \sqrt{3}\approx 1,73\)

\(\small x=\sqrt{7}\Rightarrow y=7\)

Điểm biểu diễn trên trục hoành:

\(\small \sqrt{7}\approx 2,65\)

Trên mặt phẳng tọa độ (h.10), có một điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax2

a) Tìm hệ số a

b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị không?

c) Hãy tìm thêm hai điểm nữa (không kể điểm O) để vẽ đồ thị

Phương pháp giải

a) Điểm \(A(x_0; y_0)\) thuộc đồ thị hàm số. Thay \(x=x_0,\ y=y_0\) vào công thức hàm số \(y=ax^2\) ta tìm được \(a\).

b) Thay tọa độ điểm \(B(x_B; y_B)\) vào công thức hàm số \(y=ax^2\). Nếu ta được một đẳng thức đúng thì \(B\) thuộc đồ thị hàm số \(y=ax^2\).

c) Điểm \(A(x_0; y_0)\) có điểm đối xứng qua trục \(Oy\) là: \(A'(-x_0; y_0)\). 

Câu a

Theo hình vẽ ta có tọa độ của điểm M là:

\(\small x = 2; y = 1\Rightarrow M(2;1)\)

\(\small \Rightarrow 1=2^2.a\Rightarrow a=\frac{1}{4}\)

Ta có đồ thị là:

\(\small y=\frac{1}{4}x^2\)

Câu b

Thế điểm A vào hàm số vừa tìm được, ta có:

\(\small x_A=4\Rightarrow y_A=4^2.\frac{1}{4}=4\)

Vậy A thuộc đồ thị hàm số

Câu c

Hàm số qua các điểm:

\(\small M(2;1);N(-2;1);A(4;4);B(-4;4);O(0;0)\)

Đồ thị hàm số:

Biết rằng đường cong trong hình 11 là một parabol \(y = a{x^2}\).

a) Tìm hệ số \(a\).

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ \(x = -3\).

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ \(y = 8\).

Phương pháp giải

a) Tìm tọa độ của một điểm bất kỳ thuộc hàm số \(y=ax^2\). Thay tọa độ điểm đó vào công thức hàm số, ta tìm được \(a\).

b) Thay \(x=x_0\) vào công thức hàm số \(y=ax^2\) ta tìm được \(y\).

c) Thay \(y=y_0\) vào công thức hàm số \(y=ax^2\). Giải phương trình này ta tìm được \(x\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Theo hình vẽ, ta thấy điểm trên đồ thị có tọa độ là:

\(\small x=-2;y=2\Rightarrow 2=(-2)^2.a\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)

Vậy hàm số là:

\(\small y=\frac{1}{2}x^2\)

Câu b

\(\small x=-3\Rightarrow y=(-3)^2.\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)

Câu c

Các điểm thuộc parabol có tung độ là 8 là:

\(\small 8=\frac{1}{2}x^2\Rightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=\pm 4\)

Vậy các điểm đó là: \(\small A(-4;4);B(4;4)\)

Cho hai hàm số \(y = \frac{1}{3}x^2\) và \(y = -x + 6.\)

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị đó

Phương pháp giải

a) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax^2\):

Bước 1: Xác định 2 điểm thuộc đồ thị và các điểm đối xứng của chúng qua \(Oy\).  

Bước 2: Vẽ parabol đi qua gốc \(O(0;0)\) và các điểm trên.

+) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b\):

Cho \(x=0 \Rightarrow y=b\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0; b)\).

Cho \(y=0 \Rightarrow x =\dfrac{-b}{a}\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(B{\left(\dfrac{-b}{a}; 0 \right)}\)

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\).

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y=ax+b\) và \(y=a'x^2\). Ta xét phương trình hoành độ giao điểm: \(ax+b=a'x^2\). Giải phương trình này tìm được hoành độ giao điểm. Thay giá trị đó vào công thức hàm số tìm được tung độ giao điểm.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đồ thị hàm số \(\small y=\frac{1}{3}x^2\) qua các điểm:

\(\small O(0;0);A(3;3);B(1;\frac{1}{3})\)
Đường thẳng \(\small y=-x+6\) qua các điểm:

\(\small C(0;6);D(1;5)\)

Câu b

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{1}{3}x^2=-x+6\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}x^2 +x -6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x-18=0\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow{x^2} - 3x + 6x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 6\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 6 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = -6 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\)

Với \(x=3 \Rightarrow y=-3+6=3\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(N(3;3)\).

Với \(x=-6 \Rightarrow y=-(-6)+6=12\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(M(-6;12)\).

Vậy giao điểm của hai đồ thị là  \(N(3;3)\) và \(M(-6;12)\).

Cho hàm số \(y =  - 0,75{x^2}\). Qua đồ thị của hàm số đó, hãy cho biết khi \(x\) tăng từ \(-2\) đến \(4\) thì giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(y\) là bao nhiêu?

Phương pháp giải

+) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax^2\):

 1) Xác định 2 điểm thuộc đồ thị hàm số và các điểm đối xứng của chúng qua \(Oy\).  

 2) Vẽ parabol đi qua gốc \(O(0;0)\) và các điểm trên.

+) Điểm thấp nhất trên đồ thị là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Điểm cao nhất trên đồ thị là giá trị cao nhất của hàm số.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\small -0,75<0\)

Đồ thị nhận gốc tọa độ \(\small O(0;0)\) làm điểm có giá trị cao nhất.

\(\small y(-2)=-3>y(4)=-12\)

Vậy xét trên đoạn \(\small -2\rightarrow 4\)

Đồ thị nhận giá trị lớn nhất tại gốc tọa độ \(\small O(0;0)\)

Và giá trị nhỏ nhất tại \(\small B(4;-12)\)