Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 3: Bảng lượng giác

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm các tỉ số lượng giác sau (làm tròn tới chữ số thập phân thứ tư)

a) \(sin{40^0}{12'}\) 

b) \(cos {52^0}{54'}\)

c) \(tg {63^0}{36'}\)

d) \(cotg {25^0}{18'}\) 

Hướng dẫn giải

• Sử dụng bảng lượng giác hoặc dùng máy tính bỏ túi để bấm các tỉ số lượng giác.
• Dùng quy tắc làm tròn để làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư.

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(sin40^{\circ}12'\approx 0,6455\)

Câu b

\(cos {52^0}{54'}\)\(\approx0,6032\)

Câu c

\(tg {63^0}{36'}\)\(\approx2,0145\) 

Câu d

\(cotg {25^0}{18'}\)\(\approx2,1155\)  

Nhận xét

Vì trong máy tính không có phím cotg nên để tìm  \(cotg {25^0}{18'}\) ta phải tìm  \(tg {25^0}{18'}\) rồi lấy nghịch đảo của kết quả bằng cách nhấn vào phím \(x^{-1}\)

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng:

a) \(sinx=0,2368\)

b) \(cosx=0,6224\)

c) \(tgx= 2,154\)

d) \(cotgx=3,251\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\sin x = 0,2368 \Rightarrow x ≈ 13^o42'\)

Câu b

 \(\cos x = 0,6224 \Rightarrow x ≈ 51^o31'\)

Câu c

 \(\operatorname{tg}x = 2,154 \Rightarrow x ≈ 65^o6'\)

Câu d

 \(\operatorname{cotg}x = 3,251\Rightarrow x ≈ 17^o6'\).

Dùng bảng lượng giác (có sử dụng phần hiệu chỉnh) hoặc máy tính bỏ túi, hãy tìm các tỉ số lượng giác sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)

a) \(sin{70^0}{13'}\)

b) \(cos25^{\circ}32'\)

c) \(tg43^{\circ}10'\)

d) \(cotg32^{\circ}15'\)

Phương pháp giải

• Thực hiện bấm máy tính và dùng quy tắc làm tròn số. 
• Sử dụng công thức \(\tan \alpha . \cot \alpha = 1 \Rightarrow \cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}\).
• Tính \(cot \alpha\), ta tính \(\tan \alpha\) sau đó nghịch đảo kết quả.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(sin 70^{\circ}13'\approx 0,9410\)

Câu b

\(cos25^{\circ}32'\approx 0,9023\)

Câu c

\(tg43^{\circ}10'\approx 0,9380\)

Câu d

\(cotg32^{\circ}15'\approx 1,5849\)

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm góc nhọn \(x\) (làm tròn kết quả đến độ), biết rằng:

a) \(\sin x=0,3495\)

b) \(\cos x=0,5427\)

c)  \(\tan x=1,5142\)

d) \(\cot x=3,163\)

Phương pháp giải

a) b) c)  Dùng máy tính bỏ túi 

d) Sử dụng công thức \(\tan \alpha. \cot \alpha = 1 \Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{1}{\cot \alpha}\).

Biết \(\cot \alpha\) tính được \(\tan \alpha\) từ đó tìm được góc \(\alpha\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(sinx=0,3495\Rightarrow x\approx 20^{\circ}\)

Câu b

\(cosx=0,5427\Rightarrow x\approx 57^{\circ}\)

Câu c

 \(tgx=1,5142\Rightarrow x\approx 57^{\circ}\)

Câu d

\(cotgx=3,163\Rightarrow x\approx 18^{\circ}\)

So sánh

a) \(sin 20^{\circ}\) và \(sin70^{\circ}\)

b) \(cos25^{\circ}\) và \(cos63^{\circ}15'\)

c) \(tg73^{\circ}20'\) và \(tg45^{\circ}\) 

d) \(cotg2^{\circ}\) và \(cotg37^{\circ}40'\) 

Phương pháp giải

Nếu \(0^o < \alpha\ ,\ \beta < 90^o\) thì

• \(\alpha < \beta  \Rightarrow \sin \alpha < \sin \beta\)     
• \(\alpha < \beta  \Rightarrow \cos \alpha > \cos \beta\).
• \(\alpha < \beta  \Rightarrow \tan \alpha < \cos \beta\).   
• \(\alpha < \beta \Rightarrow \cot \alpha > \cot \beta\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì \(20^{\circ}< 70^{\circ}\) nên \(\sin 20^{\circ}< \sin 70^{\circ}\) (góc tăng, sin tăng)

Câu b: Vì \(25^{\circ}< 63^{\circ}\) nên \(\cos 25^{\circ}> \cos 63^{\circ}15'\) (góc tăng, cos giảm)

Câu c: Vì \(73^{\circ}20'> 45^{\circ}\) nên \(\tan 73^{\circ}20'> \tan 45^{\circ}\) (góc tăng, tan tăng)

Câu d: Vì \(2^{\circ}< 37^{\circ}40'\) nên \(\cot 2^{\circ}> \cot 37^{\circ}40'\) (góc tăng, cot giảm )

Tính

a) \(\dfrac{\sin25^{\circ}}{\cos 65^{\circ}}\)

b) \(\tan 58^{\circ} - \cot 32^{\circ}\)

Phương pháp giải

a) Dùng công thức hai góc phụ nhau: Nếu \(\alpha + \beta = 90^o\) thì \(sin \alpha = \cos \beta\) để đưa về cùng \(\sin\).

b) Dùng công thức hai góc phụ nhau: Nếu \(\alpha + \beta = 90^o\) thì \(tan \alpha = \cot \beta\) để đưa về cùng \(\tan\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: \(\cos 65^o = \sin (90^o - 65^o)= \sin 25^o\).

Do đó \(\dfrac{\sin 25^{\circ}}{\cos 65^{\circ}}=\dfrac{\sin 25^{\circ}}{\sin 25^{\circ}}=1\).

Câu b: Ta có: \(\cot 32^o = \tan (90^o - 32^o)= \tan 58^o\).

Do đó \(\tan 58^{\circ}-\cot 32^{\circ}=\tan 58^{\circ}-\tan 58^{\circ}=0\)

Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:

a) \(\sin 78^{\circ}, \cos 14^{\circ}, \sin 47^{\circ},\cos 87^{\circ}\)

b) \(\tan 73^{\circ}, \cot 25^{\circ}, \tan 62^{\circ}, \cot 38^{\circ}\)

Phương pháp giải

a) Sử dụng công thức \(\cos \alpha = \sin (90^o - \alpha)=\sin \beta\) để đưa hết về cùng là \(\sin\) của một góc. 

Nếu \(\alpha < \beta  \Rightarrow \sin \alpha < \sin \beta\),  với \(0^o < \alpha\ ,\ \beta < 90^o\).

b) Sử dụng công thức \(\cot \alpha = \tan (90^o - \alpha)=\tan \beta\) để đưa hết về cùng là \(\tan\) của một góc.

Nếu \(\alpha < \beta  \Rightarrow \tan \alpha < \tan \beta\),  với \(0^o < \alpha\ ,\ \beta < 90^o\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: \(\cos 14^{\circ}=\sin(90^o - 14^o)=\sin 76^{\circ}\); \(\cos 87^{\circ}=\sin (90^o - 87^o)=\sin 3^{\circ}.\)

Vì  \( 3^o < 47^o < 76^o < 78^o\) 

\(\Rightarrow \sin 3^{\circ}<  \sin 47^{\circ}< \sin 76^{\circ}< \sin 78^{\circ}\) 

\(\Rightarrow  \cos 87^{\circ}< \sin 47^{\circ}< \cos 14^{\circ} < \sin 78^o\).

Câu b: Ta có: \(\cot 25^{\circ}=\tan (90^o - 25^o)=\tan 65^{\circ}; \) \(\cot 38^{\circ}=\tan (90^o - 38^o)=\tan 52^{\circ}\).

Vì \(52^o < 62^o < 65^o < 73^o\)

\(\Rightarrow \tan 52^{\circ}< \tan 62^{\circ}< \tan 65^{\circ}< \tan 73^{\circ}\);

 \(\Rightarrow \cot 38^{\circ}< \tan 62^{\circ}< \cot 25^{\circ}< \tan 73^{\circ}\).

So sánh

a) \(tan25^o\) và \(sin25^o\)

b) \(cot32^o\) và \(cos32^o\)

c) \(tan45^o\) và \(cos45^o\)

d) \(cot60^o\) và \(sin30^o\)

Phương pháp giải

- Sử dụng các công thức định nghĩa tỉ số lượng giác. Chú ý rằng \(0< \cos \alpha,\ \sin \alpha < 1\) với \(0^o < \alpha < 90^o\). 

- Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: nếu \(\alpha + \beta = 90^o\) thì:

                           \(\sin \alpha = \cos \beta\);          \(\cos \alpha = \sin \beta\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có \(\tan 25^o = \dfrac{\sin 25^o}{\cos 25^o}\).

Vì \(0< \cos 25^o < 1\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{\cos 25^o} > 1\)

\(\Leftrightarrow \sin 25^o . \dfrac{1}{\cos 25^o} > \sin 25^o\).

\(\Leftrightarrow  \dfrac{\sin 25^o}{\cos 25^o} > \sin 25^o\).

\(\Leftrightarrow  \tan 25^o > \sin 25^o\).

Câu b: Ta có: \(\cot 32^o = \dfrac{\cos 32^o}{\sin 32^o}\).

Vì \(0< \sin 32^o < 1\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{\sin 32^o} > 1\)

\(\Leftrightarrow \cos 32^o. \dfrac{1}{\sin 32^o} > 1.\cos 32^o\)

\(\Leftrightarrow  \dfrac{\cos 32^o}{\sin 32^o} > \cos 32^o\)

\(\Leftrightarrow  \cot 32^o > \cos 32^o\).

Câu c: Ta có \(\tan 45^o = \dfrac{\sin 45^o}{\cos 45^o}\).

Vì \(0< \cos 45^o < 1\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{\cos 45^o} > 1\)

\(\Leftrightarrow \sin 45^o . \dfrac{1}{\cos 45^o} > \sin 45^o\).

\(\Leftrightarrow  \dfrac{\sin 45^o}{\cos 45^o} > \sin 45^o\).

\(\Leftrightarrow  \tan 45^o > \sin 45^o\)

Mà \(\sin 45^o= \cos(90^o - 45^o)=\cos 45^o\)

Vậy \( \tan 45^o > \cos 45^o\).

Câu d: Ta có: \(\cot 60^o = \dfrac{\cos 60^o}{\sin 60^o}\).

Vì \(0< \sin 60^o < 1\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{\sin 60^o} > 1\)

\(\Leftrightarrow \cos 60^o. \dfrac{1}{\sin 60^o} > 1.\cos 60^o\)

\(\Leftrightarrow  \dfrac{\cos 60^o}{\sin 60^o} > \cos 60^o\)

\(\Leftrightarrow  \cot 60^o > \cos 60^o \).

Mà \(\cos 60^o = \sin (90^o -60^o) = \sin 30^o\)

Do đó \( \cot 60^o > \sin 30^o\).