Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng \(60^o\). Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet?

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12?

Phương pháp giải

a) Để vẽ cung AB có số đo bằng \(60^o\), ta dựng góc ở tâm \(\widehat{AOB}=60^o\)

b) Cung cả đường tròn là \(360^o\), tính số đo mỗi cung?

Hướng dẫn giải

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính \(R=2cm.\)

- Lấy điểm A thuộc đường tròn.

- Vẽ góc \(AOB\) là góc ở tâm có số đo bằng \(60^o\) khi đó ta được cung AB có số đo là \(60^o\).

- Đoạn thẳng \(AB = 2cm\) vì tam giác \(AOB\) có \(OA=OB=2cm\) và \(\widehat{AOB}=60^o\) nên \(AOB\) là tam giác đều.

b) Để chia đường tròn (O;R) thành 6 cung bằng nhau, ta thực hiện như sau:

- Lấy điểm A thuộc đường tròn.

- Dùng compa vẽ đường tròn tâm A bán kính R, đường tròn này cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là B (khác A).

- Tiếp tục vẽ đường tròn tâm B bán kính R, đường tròn này cắt đường tròn (O;R) tại điểm thức hai là C (khác B).

- ...

- Tiếp tục đến khi ta có điểm thứ 6 thuộc đường tròn.

Các vẽ này cho ta đường tròn được chia thành 6 cung bằng nhau.

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O') .
a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.
b) Chứng mình rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: \(\overset\frown{BC}=\overset\frown{BD}\))

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ABC=\Delta ABD\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông) suy ra  \(\overset\frown{BC}=\overset\frown{BD}\)

b) Để chứng minh B là điểm chính giữa cung EBD ta chứng minh \(\overset\frown{BE}=\overset\frown{BD}\)

Hướng dẫn giải

a) Xét đường tròn (O) có: \(OB=OA=OC=R\Rightarrow OB=\dfrac 1 2 OC\)

Suy ra ABC là tam giác vuông tại B (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Tương tự, ta cũng có: tam giác ABD vuông tại B.

Xét hai tam giác ABC vuông tại B và tam giác ABD vuông tại B có:

+) AB chung.

+) AC = AD (đường kính của hai đường tròn bằng nhau)

Suy ra: \(\Delta ABC=\Delta ABD\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow BC=BD\) (cặp cạnh tương ứng)

Vậy \(\overset\frown{BC}=\overset\frown{BD}\)

b) Để chứng minh B là điểm chính giữa cung EBD ta chứng minh \(\overset\frown{BE}=\overset\frown{BD}\)

Xét tam giác ADE có: \(O'A=O'D=O'E\Rightarrow O'E=\dfrac 1 2 AD\)

Nên ADE là tam giác vuông tại E.

Trong tam giác vuông CED có B là trung điểm DC (DB = BC).

Nên EB là đường trung tuyến.

Suy ra EB = BD = BC.

Vậy trong đường tròn (O') có EB = DB nên \(\overset\frown{BE}=\overset\frown{BD}\)  hay B là điểm chính giữa cung EBD.

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (\(H\in BC,K\in BD\))

a) Chứng minh rằng \(OH > OK.\)

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

Phương pháp giải

a) So sánh khoảng cách từ tâm đến dây cung:

Trong một đường tròn:

- Dây cung nào lớn hơn thì gần tâm hơn

- Dây cung nào gần tâm hơn thì lớn hơn.

b) Sử dụng: Định lý liên hệ giữa cung và dây: "Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Hướng dẫn giải

a) Trong tam giác ABC, ta có:

\(BC < BA+AC\) mà \(AC=AD\) nên \(BC< BA+AD=BD\).

Trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC có \(BD > BC\) nên \(OK< OH\) (định lí liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

b) Trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC  có: 

\(BC< BD\Rightarrow \overset\frown{BC} < \overset\frown{BD}\) (dây lớn hơn căng cung lớn hơn)

Chứng minh rằng: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Phương pháp giải

Chỉ ra: ra \(\overset\frown{MA}=\overset\frown{MB}\) (1) 

Chứng minh: \(​​​​\overset\frown{MC}=\overset\frown{MD}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: 

\(sđ\overset\frown{MC}-sđ\overset\frown{MA}=sđ\overset\frown{MD}-sđ\overset\frown{MB}\\ \Rightarrow sđ \overset\frown{AC}=sđ\overset\frown{BD}\)

Vậy ta được điều cần chứng minh trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Hai dây cùng nằm trên một nửa đường tròn.

Giả sử AB // CD và \(CD > AB\). M là điểm chính giữa cung AB

Suy ra \(\overset\frown{MA}=\overset\frown{MB}\) (1) 

Vì M là điểm chính giữa cung AB nên theo định lý về đường kính và dây cung \(OM\bot AB\)

Lại có AB // CD nên \(OM\bot CD\)

Suy ra M cũng là điểm chính giữa cung CD hay \(​​​​\overset\frown{MC}=\overset\frown{MD}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: 

\(sđ\overset\frown{MC}-sđ\overset\frown{MA}=sđ\overset\frown{MD}-sđ\overset\frown{MB}\\ \Rightarrow sđ \overset\frown{AC}=sđ\overset\frown{BD}\)

Hay \(\overset\frown{AC}=\overset\frown{BD}\)

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Phương pháp giải

Vẽ hình thể hiện điều cần chứng minh

Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng: "Mỗi điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút"

Hướng dẫn giải

Gọi M là điểm chính giữa cung AB và MN là đường kính.

Ta có: \(\overset\frown{AM}=\overset\frown{MB}\Rightarrow MA=MB\)

Ta lại có \(OA = OB = R\) nên OM là trung trực của AB.

Suy ra MO đi qua trung điểm của AB (đpcm)

* Mệnh đề đảo: "Đường kính đi qua trung điểm của dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó."

Giả sử đường kính MN đi qua trung điểm H của dây AB. 

Ta có: Tam giác OAB cân tại O có \(HA = HB\) nên OH cũng là phân giác của góc AOB.

Suy ra \(\overset\frown{AM}=\overset\frown{MB}\).

Điều này chỉ đúng khi OAB là tam giác hay dây AB không đi qua O.

Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

"Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó"

b) * Chứng minh: "Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy"

Giả sử đường kính MN đi qua M là điểm chính giữa cung AB.

Vì M là điểm chính giữa cung AB nên \(\overset\frown{AM}=\overset\frown{BM}\Rightarrow AM=BM\)

Lại có \(OA = OB\) nên:

OM là trung trực của AB hay OM vuông góc với AB.

* Chứng minh "Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy"

Giả sử đường kính MN vuông góc với dây AB tại H.

Xét tam giác OAB có \(OA = OB\) nên OAB cân tại O.

OM vuông góc với AB tại H nên OM đồng thời là đường phân giác của góc AOB.

Hay \(\widehat {AOM}=\widehat{BOM}\Rightarrow \overset\frown{AM}=\overset\frown{BM}\)

Vậy M là điểm chính giữa cung AB.