Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB và cung AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H.

Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân.

Phương pháp giải

Sử dụng định lý về số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: "Số đo góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng tổng số đo hai cung bị chắn"

Ta có: 

+) $\widehat{AEH}=\dfrac{\text{sđ}\overset\frown{MB}+\text{sđ}\overset\frown{AN}}{2}$

+) $\widehat{AHE}=\dfrac{\text{sđ}\overset\frown{AM}+\text{sđ}\overset\frown{NC}}{2}$

Chứng minh $\widehat{AEH}=\widehat{AHE}$ suy ra tam giác AEH cân tại A.

Hướng dẫn giải

Theo định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn ta có:

+) $\widehat{AEH}=\dfrac{\text{sđ}\overset\frown{MB}+\text{sđ}\overset\frown{AN}}{2}$

+) $\widehat{AHE}=\dfrac{\text{sđ}\overset\frown{AM}+\text{sđ}\overset\frown{NC}}{2}$

Lại có:  M, N là điểm chính giữa của cung AB và cung AC nên ta có:

+) $\overset\frown{AM}=\overset\frown{MB}$

+) $\overset\frown{AN}=\overset\frown{NC}$

Do vậy: $\widehat{AEH}=\widehat{AHE}$ hay tam giác AEH cân tại A.

Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao điểm của AM và BC.

Chứng minh rằng: $\widehat{ASC}=\widehat{MCA}$

Phương pháp giải

Sử dụng định lý về số đo góc nội tiếp và góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn.

Chứng minh được $\widehat{ASC}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AB}-\text{sđ}\overset\frown{MC} \right)=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AC} -\text{sđ}\overset\frown{MC} \right)=\dfrac{1}{2}.\text{sđ}\overset\frown{AM}=\widehat{ACM}$

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (O) có:

$\widehat{ASC}=\dfrac{\text{sđ}\overset\frown{AB}-\text{sđ}\overset\frown{MC}}{2}$  (góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung AB và cung MC)

$\widehat{ACM}=\dfrac{1}{2}.\text{sđ}\overset\frown{AM}$ (góc nội tiếp chắn cung AM)

Lại có $AB=AC$ (giả thiết) nên $\overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}$

Do vậy, $\widehat{ASC}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AB}-\text{sđ}\overset\frown{MC} \right)=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AC} -\text{sđ}\overset\frown{MC} \right)=\dfrac{1}{2}.\text{sđ}\overset\frown{AM}=\widehat{ACM}$

Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho $sđ\overset\frown{AC}=sđ\overset\frown{CD}=sđ\overset\frown{DB}=60^o$. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{AEB}=\widehat{BTC}$

b) CD là tia phân giác của $\widehat{BCT}$

Phương pháp giải

a) Xét đường tròn (O) có AB là đường kính nên $\text{sđ}\overset\frown{AB}={{180}^{o}}$ 

Chứng minh được: $\widehat{BTC}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{CAB}-\text{sđ}\overset\frown{CDB} \right)$

b) $\widehat{DCT}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung DC nên:

$\widehat{DCT}=\dfrac{1}{2}.\text{sđ}\overset\frown{CD}$

$\widehat{DCB}$  là góc nội tiếp chắn cung DB nên:

$\widehat{DCB}=\dfrac{1}{2}.\text{sđ}\overset\frown{DB}$

Chứng minh được: $\widehat{DCT}=\widehat{DCB}$

Hướng dẫn giải

a) Xét đường tròn (O) có AB là đường kính nên $\text{sđ}\overset\frown{AB}={{180}^{o}}$ 

Ta có $\widehat{AEB}$  là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên:

$\widehat{AEB}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AB}-\text{sđ}\overset\frown{CD} \right)=\dfrac{1}{2}\left( {{180}^{o}}-{{60}^{o}} \right)={{60}^{o}}$

$\widehat{BTC}$ là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên:

$\begin{aligned} \widehat{BTC}&=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{CAB}-\text{sđ}\overset\frown{CDB} \right)\\&=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{AB}+\text{sđ}\overset\frown{AC}-\text{sđ}\overset\frown{DC}-\text{sđ}\overset\frown{DB} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( {{180}^{o}}+{{60}^{o}}-{{60}^{o}}-{{60}^{o}} \right)={{60}^{o}} \\ \end{aligned}$

Vậy $\widehat{AEB}=\widehat{BTC}$

b) Ta có: 

$\widehat{DCT}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung DC nên:

$\widehat{DCT}=\dfrac{1}{2}.\text{sđ}\overset\frown{CD}=\dfrac{1}{2}{{.60}^{o}}={{30}^{o}}$

$\widehat{DCB}$  là góc nội tiếp chắn cung DB nên

$\widehat{DCB}=\dfrac{1}{2}.\text{sđ}\overset\frown{DB}=\dfrac{1}{2}{{.60}^{o}}={{30}^{o}}$

Suy ra $\widehat{DCT}=\widehat{DCB}$

Vậy CD là phân giác của góc $\widehat{BCT}$