Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Phần hướng dẫn giải bài tập SGK Hệ thức Vi-ét và ứng dụng sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các dạng bài tập từ SGK Toán 9.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 25 trang 52 SGK Toán 9 tập 2
2. Giải bài 26 trang 53 SGK Toán 9 tập 2
3. Giải bài 27 trang 53 SGK Toán 9 tập 2
4. Giải bài 28 trang 53 SGK Toán 9 tập 2
5. Giải bài 29 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
6. Giải bài 30 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
7. Giải bài 31 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
1. Giải bài 25 trang 52 SGK Toán 9 tập 2
Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):
a) \(\small 2x^2-17x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)
b) \(\small 5x^2-x-35=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)
c) \(\small 8x^2-x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)
d) \(\small 25x^2+10x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)
Phương pháp giải
Công thức tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\)
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\small 2x^2-17x+1=0\)
\(\small \Delta =(-17)^2-4.2.1=281\)
\(\small x_1+x_2=\frac{17}{2}\)
\(\small x_1.x_2=\frac{1}{2}\)
Câu b
\(\small 5x^2-x-35=0\)
\(\small \Delta =(-1)^2-4.5.(-35)=701\)
\(\small x_1+x_2=\frac{1}{5}\)
\(\small x_1.x_2=-7\)
Câu c
\(\small 8x^2-x+1=0\)
\(\small \Delta=(-1)^2-4.8.1=-31<0\)
Phương trình vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được.
Câu d
\(\small 25x^2+10x+1=0\)
\(\small \Delta'=5^2-25.1=0\)
\(\small x_1+x_2=-\frac{2}{5}\)
\(\small x_1.x_2=\frac{1}{25}\)
2. Giải bài 26 trang 53 SGK Toán 9 tập 2
Dùng điều kiện \(a+b+c=0\) hoặc \(a-b+c=0\) để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) \(35x^2-37x+2=0\)
b) \(7x^2+500x-507=0\)
c) \(x^2-49x-50=0\)
d) \(4321x^2+21x-4300=0\)
Phương pháp giải
- TH1: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = \dfrac{c}{a}\)
- TH2: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = -1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = - \dfrac{c}{a}\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\small 35x^2-37x+2=0\)
vì \(\small 35-37+2=0\) nên:
\(\small x_1=1;x_2=\frac{2}{35}\)
Câu b
\(\small 7x^2+500x-507=0\)
vì \(\small 7+500-507=0\) nên:
\(\small x_1=1;x_2=-\frac{507}{7}\)
Câu c
\(\small x^2-49x-50=0\)
vì \(\small 1-(-49)-50=0\) nên:
\(\small x_1=-1;x_2=50\)
Câu d
\(\small 4321x^2+21x-4300=0\)
vì \(\small 4321-21-4300=0\) nên:
\(\small x_1=-1;x_2=\frac{4300}{4321}\)
3. Giải bài 27 trang 53 SGK Toán 9 tập 2
Dùng hệ thức Vi - ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình:
a) \(x^2-7x+12=0\)
b) \(x^2+7x+12=0\)
Phương pháp giải
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\small x^2-7x+12=0\)
\(\small \Rightarrow x_1+x_2=7;x_1.x_2=12\)
\(\small \Rightarrow x_1=3;x_2=4\)
Câu b
\(\small x^2+7x+12=0\)
\(\small \Rightarrow x_1+x_2=-7;x_1.x_2=12\)
\(\small \Rightarrow x_1=-3;x_2=-4\)
4. Giải bài 28 trang 53 SGK Toán 9 tập 2
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) \(u+v=32,uv=231\)
b) \(u+v=-8,uv=-105\)
c) \(u+v=2,uv=9\)
Phương pháp giải
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P (và thỏa mãn điều kiện \({S^2} - 4P\ge 0\) ) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\).
Sau đó tính \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\) và sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn) để tìm ra nghiệm của phương trình
Hướng dẫn giải
Câu a
u và v là nghiệm của phương trình:
\(\small x^2-32x+231=0\)
\(\small \Delta'=16^2-231.1=25\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=5\)
\(\small \Rightarrow x_1=\frac{16+5}{1}=21;x_2=\frac{16-5}{1}=11\)
Vậy \(\small u=21;v=11\) hoặc \(\small u=11;v=21\)
Câu b
u, v là nghiệm của phương trình:
\(\small x^2+8x-105=0\)
\(\small \Delta'=4^2-1.(-105)=121\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=11\)
\(\small x_1=\frac{-4+11}{1}=7;x_2=\frac{-4-11}{1}=-15\)
Vậy \(\small u=7;v=-15\) hoặc \(\small u=-15;v=7\)
Câu c
u, v là nghiệm của phương trình:
\(\small x^2-2x+9=0\)
\(\small \Delta'=1^2-9.1=-8<0\)
Vậy không có giá trị u, v nào thỏa bài toán
5. Giải bài 29 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
a) \(4x^2+2x-5=0\)
b) \(9x^2-12x+4=0\)
c) \(5x^2+x+2=0\)
d) \(159x^2-2x-1=0\)
Phương pháp giải
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\small 4x^2+2x-5=0\)
Phương trình trên có hệ số a và c trái dấu nên chắc chắn có hai nghiệm phân biệt!
\(\small \Rightarrow x_1+x_2=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)
\(\small x_1.x_2=-\frac{5}{4}\)
Câu b
\(\small 9x^2-12x+4=0\)
\(\small \Delta'=(-6)^2-9.4=0\)
Phương trình có nghiệm kép \(\small x_1=x_2=-\frac{b}{a}\)
\(\small \Rightarrow x_1+x_2=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\)
\(\small x_1.x_2=\frac{4}{9}\)
Câu c
\(\small 5x^2+x+2=0\)
\(\small \Delta=1^2-2.4.5=-39<0\)
Vậy phương trình vô nghiệm
Câu d
\(\small 159x^2-2x-1=0\)
Phương trình trên có hệ số a và c trái dấu nên chắc chắn có hai nghiệm phân biệt!
\(\small \Rightarrow x_1+x_2=\frac{2}{159}\)
\(\small x_1.x_2=-\frac{1}{159}\)
6. Giải bài 30 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) \(x^2-2x+m=0\)
b) \(x^2+2(m-1)x+m^2=0\)
Phương pháp giải
+) Phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\), điều kiện để phương trình có nghiệm là: \(\Delta \ge 0\,\,\left( {\Delta ' \ge 0} \right)\)
Trong đó \(\Delta = {b^2} - 4ac;\,\,\Delta ' = b{'^2} - ac;\,b' = \dfrac{b}{2}\)
+) Tính tổng và tích các nghiệm:
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(x^2-2x+m=0\)
\(\small \Delta'=(-1)^2-m.1=1-m\)
Để phương trình có nghiệm th:
\(\small \Delta'\geq 0\Rightarrow 1-m\geq 0\Leftrightarrow m\leq 1\)
\(\small \Rightarrow x_1+x_2=2;x_1.x_2=m\)
Câu b
\(\small x^2-2(m-1)x+m^2=0\)
\(\small \Delta'=(m-1)^2-1.m^2=-2m+1\)
Để phương trình có nghiệm thì:
\(\small \Delta'\geq 0\Rightarrow -2m+1\geq 0\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{2}\)
\(\small \Rightarrow x_1+x_2=2m-2;x_1.x_2=m^2\)
7. Giải bài 31 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) \(1,5x^2 - 1,6x + 0,1 = 0\)
b) \(\sqrt{3}x^2 - (1 - \sqrt{3})x - 1 = 0\)
c) \((2 - \sqrt{3})x^2 + 2\sqrt{3}x - (2 + \sqrt{3}) = 0\)
d) \((m - 1)x^2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0\) với \(m \neq 1\)
Phương pháp giải
- TH1: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = \dfrac{c}{a}\)
- TH2: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a - b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = -1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = - \dfrac{c}{a}\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\small 1,5x^2-1,6x+0,1=0\)
Ta có: \(\small a+b+c=1,5-1,6+0,1=0\)
\(\small \Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{0,1}{1,5}=\frac{1}{15}\)
Câu b
\(\small \sqrt{3}x^2-(1-\sqrt{3})x-1=0\)
Ta có: \(\small a-b+c=\sqrt{3}-\left (-(1-\sqrt{3}) \right )-1=0\)
\(\small \Rightarrow x_1=-1;x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Câu c
\(\small (2-\sqrt{3})x^2+2\sqrt{3}x-(2+\sqrt{3})=0\)
Ta có: \(\small a+b+c=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2-\sqrt{3}=0\)
\(\small \Rightarrow x_1=1;x_2=-\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=-7-4\sqrt{3}\)
Câu d
\((m - 1)x^2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0\)
Vì \(m \neq 1\) nên đây là phương trình bậc hai
Ta có: \(\small a+b+c=m-1-2m-3+m+4=0\)
\(\small \Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{m+4}{m-1}\)
8. Giải bài 32 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau
a) \(u+v=42,\,uv=441\)
b) \(u+v=-42,\,uv=-400\)
c) \(u-v=5,\,uv=24\)
Phương pháp giải
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P (và thỏa mãn điều kiện \({S^2} - 4P\ge 0\) ) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\).
Sau đó tính \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\) để tìm ra nghiệm của phương trình
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\small \left\{\begin{matrix} u+v=42\\ uv=441 \end{matrix}\right.\)
Vậy u và v là nghiệm của phương trình:
\(\small x^2-42x+441=0\)
\(\small \Delta'=(-21)^2-441.1=0\)
\(\small x_1=x_2=-\frac{-42}{2}=21\)
\(\small \Rightarrow u=v=21\)
Câu b
\(\small \left\{\begin{matrix} u+v=-42\\ uv=-400 \end{matrix}\right.\)
Vậy u và v là nghiệm của phương trình:
\(\small x^2+42x-400=0\)
\(\small \Delta'=21^2+400.1=841\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=29\)
\(\small x_1=\frac{-21+29}{1}=8;x_2=\frac{-21-29}{1}=-50\)
\(\small \Rightarrow u=8;v=-50\) hoặc \(\small u=-50;v=8\)
Câu c
Đặt \(\small \left\{\begin{matrix} u=a\\ -v=b \end{matrix}\right.\) ta có: \(\small \left\{\begin{matrix} a+b=5\\ ab=-24 \end{matrix}\right.\)
Vậy a và b là nghiệm của phương trình:
\(\small x^2-5x-24=0\)
\(\small \Delta=(-5)^2-4.1.(-24)=121\Rightarrow \sqrt{\Delta}=11\)
\(\small x_1=\frac{5+11}{2}=8;x_2=\frac{5-11}{2}=-3\)
\(\small \Rightarrow a=8;b=-3\) hoặc \(\small a=-3;b=8\)
Hay \(\small \Rightarrow u=8;v=3\) hoặc \(\small u=-3;v=-8\)
9. Giải bài 33 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Chứng tỏ rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì tam thức \(a{x^2} + bx + c \) phân tích được thành nhân tử như sau:
\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\)
Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) \(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\)
b) \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\)
Phương pháp giải
- Biến đổi vế phải \(a(x-x_1)(x-x_2)\) và sử dụng hệ thức Vi-ét để đưa về bằng với vế trái \(ax^2+bx+c\).
- Áp dụng: Tìm nghiệm của mỗi phương trình bằng công thức nghiệm rồi thay vào công thức \(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).
Hướng dẫn giải
Chúng ta biến đổi vế phải
\(\small a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)+ax_1.x_2\)
\(\small =ax^2-a\left ( -\frac{b}{a} \right )+a.\frac{c}{a}=ax^2+bx+c\)
Vậy phương trình \(\small ax^2+ bx + c = 0\) có nghiệm là \(\small x_1, x_2\) thì:
\(\small ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Áp dụng
Câu a
Phương trình \(\small 2x^2-5x+3=0\) có \(\small 2-5+3=0\)
\(\small \Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{3}{2}\)
\(\small \Rightarrow 2x^2-5x+3=2(x-1)\left ( x-\frac{3}{2} \right )=(x-1)(2x-3)\)
Câu b
Xét phương trình \(\small 3x^2 + 8x + 2=0\)
\(\small \Delta'=4^2-2.3=10\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{-4 - \sqrt{10}}{3};x_2=\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}\)
\(\Rightarrow 3x^2+8x+2=3\left ( x+\frac{4 - \sqrt{10}}{3} \right )\left ( x+\frac{4 + \sqrt{10}}{3} \right )\)
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 1: Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Đồ thị của hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Ôn tập chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn