Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) $\sqrt{0,09.64}$

b) $\sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}$

c) $\sqrt{12,1.360}$

d) $\sqrt{2^{3}.3^{4}}$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức

- $\sqrt{a^2}=\left|a \right|$.

• Nếu $a \ge 0$  thì $\left|a \right| = a$.
• Nếu $a  < 0$  thì $\left| a \right| =-a$

- $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$, với $a ,\ b \ge 0$.

- $(a^n)^m=a^{m.n}$,    với $m ,\ n \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải

Câu a: $\sqrt{0,09.64}=\sqrt{(0,3)^2.8^2}=\sqrt{(0,3)^2}.\sqrt{8^2}=0,3.8=2,4$

Câu b: $\sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}=\sqrt{4^2}.\sqrt{(-7)^2}=4.7=28$

Câu c: $\sqrt{12,1.360}=\sqrt{121.36}=\sqrt{11^2.6^2}=\sqrt{11^2}.\sqrt{6^2}=11.6=66$

Câu d: $\sqrt{2^{3}.3^{4}}=\sqrt{2.2^2.(3^2)^2}=\sqrt{2}.\sqrt{2^2}.\sqrt{9^2}=\sqrt{2}.9.2=18\sqrt{2}$

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính

a) $\sqrt{7}.\sqrt{63}$

b) $\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}$

c) $\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}$

d) $\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức

• $\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}$, với $a ,\ b \ge 0$.
• Với mọi số $a \ge 0$, luôn có $\sqrt{a^2}=a$.
• Với mọi $a ,\ b ,\ c$  ta có:  $a.b.c=(a.b).c=a.(b.c)=b.(a.c)$.

Hướng dẫn giải

Câu a: $\sqrt{7}.\sqrt{63}=\sqrt{7.63}=\sqrt{7.7.9}=\sqrt{7^2.3^2}=7.3=21$

Câu b: $\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}=\sqrt{2,5.30.48}=\sqrt{25.3.16.3}=\sqrt{5^2.3^2.4^2}=5.3.5=60$

Câu c: $\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}=\sqrt{0,4.6,4}=\sqrt{0,04.64}=\sqrt{(0,2)^2.8^2}=8.0,2=1,6$

Câu d: $\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}=\sqrt{2,7.5.1,5}=\sqrt{27.5.0,15}=\sqrt{9.3.3.0,25}$

$=9.0,5=4,5$

Rút gọn các biểu thức sau

a) $\sqrt{0,36a^{2}}$ với $a <0$

b) $\sqrt{a^4(3-a)^2}$ với $a\geq 3$

c) $\sqrt{27.48(1 - a)^{2}}$ với $a > 1$

d) $\frac{1}{a - b}$.$\sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}}$ với $a > b$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức

• $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$,   với $a  ,\ b \ge 0$.
• $\sqrt{a^2}=a$ ,  nếu $a \ge 0$.
• $\sqrt{a^2}=-a$ ,   nếu $a <0$.

Hướng dẫn giải

Câu a: $\sqrt{0,36a^{2}}=\sqrt{(0,6)^2.a^2}=0,6|a|$

Vì $a <0$ nên $|a|=-a$

Vậy $\sqrt{0,36a^{2}}=-0,6a$

Câu b: $\sqrt{a^4(3-a)^2}=a^2|3-a|$

Vì $a\geq 3$ nên $|3-a|=a-3$

Vậy $\sqrt{a^4(3-a)^2}=a^2(a-3)$

Câu c: $\sqrt{27.48(1 - a)^{2}}=\sqrt{3^2.3.3.4^2.(1-a)^2}=9.4.|1-a|=36.|1-a|$

Vì $a > 1$ nên $|1-a|=a-1$

Vậy $\sqrt{27.48(1 - a)^{2}}=36(a-1)$

Câu d: Do $a > b$ nên $a-b> 0$

$\frac{1}{a – b}\sqrt{a^{4}.(a – b)^{2}}=\frac{a^2.|a-b|}{a-b}=\frac{a^2.(a-b)}{a-b}=a^2$

Rút gọn các biểu thức sau

a) $\sqrt{\frac{2a}{3}}.\sqrt{\frac{3a}{8}}$ với $a\geq 0$

b) $\sqrt{13a}.\sqrt{\frac{52}{a}}$ với $a > 0$

c) $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}- 3a$  với $a\geq 0$

d) $(3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau 

• $\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}$,   với $a ,\ b \ge 0$.
• Với mọi số $a \ge 0$, luôn có $\sqrt{a^2}=a$.
• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$

Hướng dẫn giải

Câu a: $\sqrt{\frac{2a}{3}}.\sqrt{\frac{3a}{8}}=\sqrt{\frac{2a.3a}{3.8}}=\sqrt{\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{2}$ (vì $a\geq 0$)

Câu b: $\sqrt{13a}.\sqrt{\frac{52}{a}}=\sqrt{\frac{13.52a}{a}}=\sqrt{13.13.4}=13.2=26$ (vì $a>0$)

Câu c: Do $a\geq 0$ nên bài toán luôn được xác định có nghĩa.

$\sqrt{5a}.\sqrt{45a}- 3a=\sqrt{5.5.9.a^2}-3a=15a-3a=12a$

Câu d: $(3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}$

$(3-a)^2-\sqrt{2.18.a^2}=(3-a)^2-6|a|=a^2-6a-|6a|+9$

TH1:$a\geq 0\Rightarrow |a|=a\Rightarrow$ $(3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=a^2-12a+9$

TH2: $a<0\Rightarrow |a|=-a\Rightarrow$$(3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=a^2+9$

Khai phương tích 12.30.40 được

(A) 1200

(B) 120

(C) 12

(D) 240

Hãy chọn kết quả đúng

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau

• $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$ ,   với $a ,\ b \ge 0$.
• Nếu $a \ge 0$ thì $\sqrt{a^2}=a$. Nếu $a < 0$ thì $\sqrt{a^2}=-a$.
• Với mọi $a,\ b,\ c$   ta có: $a.b.c=(a.b).c=a.(b.c)=b.(a.c)$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\sqrt{12.30.40}=\sqrt{(3.4).(3.10).(4.10)}$

$=\sqrt{(3.3).(4.4).(10.10)}$

$=\sqrt{3^2.4^2.10^2}$

$=\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{10^2}$

$=3.4.10=120$.

Vậy đáp án đúng là $(B). 120$

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:

a) $\sqrt{13^{2}- 12^{2}}$

b) $\sqrt{17^{2}- 8^{2}}$

c) $\sqrt{117^{2} - 108^{2}}$

d) $\sqrt{313^{2} - 312^{2}}$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau

• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
• $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$,   với $a ,\ b \ge 0$.
• $\sqrt{a^2}=|a|$.
• Nếu $a \ge 0$  thì $|a|=a$

Nếu $a <0$  thì $|a|=-a.$

Hướng dẫn giải

Câu a: $\sqrt{13^{2}- 12^{2}}=\sqrt{(13+12)(13-12)}=\sqrt{25}=5$

Câu b: $\sqrt{17^{2}- 8^{2}}=\sqrt{(17+8)(17-8)}=\sqrt{25.9}=5.3=15$

Câu c: $\sqrt{117^{2} - 108^{2}}=\sqrt{(117-108)(117+108)}=\sqrt{9.225}=3.15=45$

Câu d: $\sqrt{313^{2} - 312^{2}}=\sqrt{(313-312)(313+312)}=\sqrt{625}=25$

Chứng minh

a) $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1$

b) $(\sqrt{2006} - \sqrt{2005})$ và $(\sqrt{2006} + \sqrt{2005})$ là hai số nghịch đảo của nhau

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau

• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
• $(\sqrt{a})^2=a$,   với $a \ge 0$.
• Muốn chứng minh hai số là nghịch đảo của nhau ta chứng minh tích của chúng bằng $1$. 

Hướng dẫn giải

Câu a: $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$

Câu b: Ta tìm tích của hai số $(\sqrt{2006} - \sqrt{2005})$ và $(\sqrt{2006} + \sqrt{2005})$

Ta có: $(\sqrt{2006} + \sqrt{2005})(\sqrt{2006} - \sqrt{2005})=(\sqrt{2006})^2-(\sqrt{2005})^2$

$=2006-2005=1$

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau

Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) của các căn thức sau

a) $\sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}$ tại $x = -\sqrt{2}$

b) $\sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)}$ tại $a = -2, b = -\sqrt{3}$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
• $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$,   với $a ,\ b \ge 0$.
• $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$.
• Nếu $a \ge 0$   thì $\left|a\right|=a$. Nếu $a<0$   thì $\left| a\right|=-a$.
• $a^m. b^m=(ab)^m$,    với $m ,\ n \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì $x = -\sqrt{2}$ nên có giá trị âm. Vậy $|x|=-x$

$\sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}=2\sqrt{(3x+1)^4}=2.(3x+1)^2$

$=18x^2+12x+2$

Thế $x = -\sqrt{2}$ vào biểu thức, ta được:

$=18.(\sqrt{-2}^2)-12.\sqrt{2}+2\approx 21,029$

Câu b: Vì $a = -2, b = -\sqrt{3}$có giá trị âm nên $|a|=-a;|b|=-b$

$\sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 – 4b)}=3|a||b-2|$

Thế $a = -2, b = -\sqrt{3}$ vào biểu thức, ta được:

$=3|.-2|.|-\sqrt{3}-2|\approx 22,392$

Tìm x biết

a) $\sqrt{16x}= 8$

b) $\sqrt{4x} = \sqrt{5}$

c) $\sqrt{9(x - 1)}= 21$

d) $\sqrt{4(1 - x)^{2}} - 6 = 0$

Phương pháp giải

- Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa: $\sqrt A$ có nghĩa khi và chỉ khi $A \ge 0$

- Bình phương hai vế rồi giải bài toán tìm x.

- Ta sử dụng các cách làm sau

• $\sqrt A  = B\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}$
• $\sqrt A  = \sqrt B \left( {A \ge 0;B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = B$

Hướng dẫn giải

Câu a: Điều kiện: $x\geq 0$

Khi đó: $\sqrt{16x}= 8\Leftrightarrow 16x=64\Leftrightarrow x=\frac{64}{16}=4$

Câu b: Điều kiện: $x\geq 0$

Khi đó: $\sqrt{4x} = \sqrt{5}\Leftrightarrow 4x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$

Câu c: Điều kiện: $x\geq 1$

Khi đó: $\sqrt{9(x - 1)}= 21\Leftrightarrow 9(x-1)=441\Leftrightarrow x-1=\frac{441}{9}=49\Leftrightarrow x=50$

Câu d: Vì $(1-x)^2\geq 0\forall x\epsilon \mathbb{R}$ nên bài toán không cần điều kiện.

$\sqrt{4(1 - x)^{2}} - 6 = 0\Leftrightarrow 4(1-x)^2=36\Leftrightarrow (1-x)^2=9$

$1-x=3$ hoặc $1-x=-3$

Vậy $x=-2$ hoặc $x=4$

a) So sánh $\sqrt{25 + 9}$ và $\sqrt{25} + \sqrt{9}$

b) Với $a > 0$ và $b > 0$, chứng minh $\sqrt{a + b}< \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Phương pháp giải

• Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai: $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$,   với $a,\ b \ge 0$.
• Sử dụng các công thức: với $a ,\ b \ge 0$ , ta có: $(\sqrt{a})^2=a$. 

 $\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: $\sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}$

$\sqrt{25} + \sqrt{9}=5+3=8=\sqrt{64}$

Vậy: $\sqrt{25 + 9}<\sqrt{25} + \sqrt{9}$

Câu b: Với $a>0,b>0$, ta có

$+)\, (\sqrt{a + b})^{2} = a + b$.

$+) \,(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}= (\sqrt{a})^2+ 2\sqrt a .\sqrt b +(\sqrt{b})^2$

 $= a +2\sqrt{ab}  + b$

 $=(a+b) +2\sqrt{ab}$. 

Vì $a > 0,\ b > 0$ nên $\sqrt{ab} > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{ab} >0$

$\Leftrightarrow (a+b) +2\sqrt{ab} > a+b$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{ b})^2 > (\sqrt{a+b})^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$ (đpcm)

So sánh

a) 4 và $2\sqrt{3}$

b) $-\sqrt{5}$ và -2

Phương pháp giải

• Sử dụng các công thức sau:  $(\sqrt a)^2=a$,   với $a \ge 0$.
• Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: $a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b$,  với $a,\ b \ge 0$.
• Sử dụng tính chất của bất đẳng thức: $a< b \Leftrightarrow a.c > b.c$,   với $c<0$.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: $4=\sqrt{16}$

$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2.3}=\sqrt{12}$

Nên: $16>12\Leftrightarrow \sqrt{16}>\sqrt{12}$

Vậy: $4>2\sqrt{3}$

Câu b: Số càng lớn khi biểu thức trong căn càng lớn. Nhưng đối với số âm: số âm càng bé khi giá trị tuyệt đối càng lớn!

$2=\sqrt{4}$

$\Rightarrow \sqrt{5}>\sqrt{4}\Rightarrow -\sqrt{5}<-\sqrt{4}$

Vậy $-\sqrt{5} < -2$