Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm \(B, E, D, C\) cùng thuộc một đường tròn.

b) \(DE < BC\).

Phương pháp giải

a) Gọi O là trung điểm của BC.

Chứng minh: OE = OB = OC = OD suy ra  \(B, E, D, C\) cùng thuộc đường tròn tâm O

b) Ta có \(BC > DE\) ( vì trong một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính).

Hướng dẫn giải

a) Gọi O là trung điểm của BC.

Tam giác BDC vuông tại D, ta có:

Tam giác BEC vuông tại E, ta có:

\(OB = OC = OE\) (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow OE = OB = OC = OD\)

Do đó bốn điểm \(B, E, D, C\) cùng thuộc đường tròn tâm O. (đpcm)

b) Trong đường tròn tâm O nói trên, ta có DE là dây, BC là đường kính nên \(DE < BC\) (định lí 1).

Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB, Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng \(CH = DK\).

Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.

Phương pháp giải

Bước 1: Kẻ \(OM ⊥ CD\).

Bước 2: Chứng minh MH = MK 

Bước 3: Chứng minh MC = MD

Bước 4: suy ra \(CH = DK\). 

Hướng dẫn giải

Kẻ \(OM ⊥ CD\).

Vì \(AH // BK\) (cùng vuông góc HK) nên tứ giác AHKB là hình thang. 

Hình thang AHKB có: 

\(AO = OB\) (bán kính).

 \(OM // AH // BK\) (cùng vuông góc HK) 

\(\Rightarrow OM\) là đường trung bình của hình thang. 

\(\Rightarrow MH = MK \) (tính chất đường trung bình)       (1) 

Vì \(OM ⊥ CD\) nên MC = MD (định lí đường kính và dây cung)    (2) 

Từ (1) và (2) suy ra \(CH = DK\). 

MC = MD