Toán 10 Chương 3 Bài 1: Đại cương về phương trình

Mời các em cùng tham khảo nội dung bài giảng Đại cương về phương trình do eLib biên soạn và tổng hợp dưới đây. Bài giảng giúp các em nắm vững lý thuyết bài học, thêm vào đó là những bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm được các dạng bài tập ở phần này.

Toán 10 Chương 3 Bài 1: Đại cương về phương trình

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình một ẩn

- Phương trình một ẩn số \(x\) là mệnh đề chứa biến có dạng:

\(f(x) = g(x)\)(1)

Trong đó \(f(x), g(x)\) là các biểu thức cùng biến số \(x\). Ta gọi \(f(x)\) là vế trái, \(g(x)\) là vế phải của phương trình.

- Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.

- Nếu có số \(x_0\) thỏa mãn ĐKXĐ và \(f(x_0)= g(x_0)\) là mệnh đề đúng thì ta nói số \(x_0\) nghiệm đúng phương trình (1) hay \(x_0\) là một nghiệm của phương trình (1). Một phương trình có thể có nghiệm, có thể vô nghiệm. Ví dụ: \(2\) là một nghiệm của phương trình: \(2 = 3x - x^2\)

1.2. Phương trình trương đương

- Hai phương trình 

\({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) (1)

\({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) (2)

được gọi là tương đương, kí hiệu \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)⇔ {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) nếu các tập nghiệm của (1) và (2) bằng nhau.

Định lí:

a) Nếu \(h(x)\) là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình \(f(x) = g(x)\) thì 

\(f(x) + h(x) = g(x) + h(x) \)\(⇔ f(x) = g(x)\)

b) Nếu \(h(x)\) thỏa mãn ĐKXĐ và khác \(0\) với mọi \(x\) thỏa mãn ĐKXĐ thì 

\(f(x).h(x) = g(x).h(x)  ⇔ f(x) = g(x)\)

\(\dfrac{f(x)}{h(x)}=\dfrac{g(x)}{h(x)}  ⇔ f(x) = g(x)\).

1.3. Phương trình hệ quả

Phương trình \({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) là phương trình hệ quả của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\), kí hiệu 

\({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) \(\Rightarrow \)\({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.

Ví dụ: \(2x = 3 - x \Rightarrow (x - 1)(x + 2) = 0\)

2. Bài tập minh họa

2.1. Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Phương pháp giải

- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của \(f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện để biểu thức

  • \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định là \(f\left( x \right) \ge 0\)

  • \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định là \(f\left( x \right) \ne 0\)

  • \(\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}\) xác định là \(f\left( x \right) > 0\)

Câu 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: \(x + \frac{7}{{{x^2} - 25}} = 8\)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là \({x^2} - 5 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne 25 \Leftrightarrow x \ne  \pm 5.\)

Câu 2: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

a) \(7x + \sqrt {7x - 6}  = 2\sqrt {6 - 7x}  + 6\)

b) \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 4}  + 2{x^3} = 16\)

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của phương trình là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7{\rm{x}} - 6 \ge 0}\\{6 - 7{\rm{x}} \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{6}{7}}\\{x \le \frac{7}{6}}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{6}{7}} \right.\)

Thử vào phương trình thấy \(x = \frac{6}{7}\) thỏa mãn

Vậy tập nghiệp của phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ {\frac{6}{7}} \right\}.\)

b) Điều kiện xác định của phương trình là \( - {x^2} + 4x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow  - {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Thay \({\rm{x}} = 2\) vào thấy thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệp của phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ 2 \right\}.\)

2.2. Dạng 2: Giải phương trình bằng phép biến đổi tương đương và hệ quả

Phương pháp giải

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng

  • Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.

  • Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

  • Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

  • Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Câu 1: Tìm m để phương trình \(\dfrac{{2mx - 1}}{{x + 1}} = 3\) co nghiệm?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định \(x \ne  - 1\) . Khi đó

\(\dfrac{{2mx - 1}}{{x + 1}} = 3\)

\(\Leftrightarrow 2mx - 1 = 3x + 3 \)

\(\Leftrightarrow \left( {2m - 3} \right)x = 4{\rm{ }}(1)\)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \(2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}\) .

Nghiệm của (1) là \(x = \dfrac{4}{{2m - 3}}\) . Nghiệm này là nghiệm của phương trình đã cho khi           

\(\dfrac{4}{{2m - 3}} \ne  - 1 \Leftrightarrow 4 \ne 3 - 2m\)

\(\Leftrightarrow m \ne  - \dfrac{1}{2}\) .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(m \ne \dfrac{3}{2}\) và \(m \ne  - \dfrac{1}{2}\) .

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

a) \(x + \frac{5}{{{4x^2} - 1}} = 9\)                                   

b) \(2 - \sqrt {2 - x}  = \sqrt {x - 1} \)

Câu 2: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

a) \(3x + \sqrt {3x - 2}  = \sqrt {2 - 3x}  + 2\)

b) \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 4}  + {x^3} = 8\)

Câu 3: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) \(2 + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{-3}{{{x^2} + x - 6}}\)                                          

b) \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 4} }} = \frac{1}{{\sqrt {x - 4} }} - \sqrt {x - 4} \)

Câu 4: Tìm \(m\) để cặp phương trình sau tương đương

\(m{x^2} - 3\left( {m - 2} \right)x + m - 5 = 0\) (1) và \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 6x + {m^2} +7 = 0\) (2)     

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tìm số nghiệm của các phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} - \sqrt {x - 2} .\)

A. 1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm 

D. 5 nghiệm

Câu 2: Tìm số nghiệm của các phương trình \(\sqrt {\sqrt x  - 1} ({x^2} - x - 2) = 0.\)

A. 1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 2 nghiệm 

D. 5 nghiệm 

Câu 3: Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\frac{5}{{{x^2} - x - 1}} = \sqrt[3]{x}.\)

A. \(x \ge 2\)

B. \(x \in \emptyset \)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\\begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 2\end{array}\end{array}} \right.\)

D. \(x \ne \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Câu 4: Tìm điều kiện xác định của phương trình \(1 + \sqrt {2x - 4}  = \sqrt {2 - 4x} .\)

A. \(x \ge 2\)

B. \(x \in \emptyset \)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\\begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 2\end{array}\end{array}} \right.\)

D. \(x \ne \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Câu 5: Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt { - {x^2} + x - 1}  + x = 1.\)

A. \(x \ge \frac{3}{4}\)

B. \(x \in \emptyset \)

C. \(x = 2\)

D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Đại cương về phương trình Toán 10 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

  • Biết được ba loại phương trình: phương trình một ẩn, phương trình tương đương, phương trình hệ quả.
  • Biết tìm điều kiện và giải phương trình.
Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM