Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Phần hướng dẫn giải bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các dạng bài tập từ SGK Toán 9 Tập một.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 58 trang 32 SGK Toán 9 tập 1
2. Giải bài 59 trang 32 SGK Toán 9 tập 1
3. Giải bài 60 trang 33 SGK Toán 9 tập 1
4. Giải bài 61 trang 33 SGK Toán 9 tập 1
5. Giải bài 62 trang 33 SGK Toán 9 tập 1
6. Giải bài 63 trang 33 SGK Toán 9 tập 1
7. Giải bài 64 trang 33 SGK Toán 9 tập 1
1. Giải bài 58 trang 32 SGK Toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau
a) \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)
b) \(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}\)
c) \(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}\)
d) \(0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}\)
Phương pháp giải
- Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có
- \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\), nếu \(A \ge 0\).
- \(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\), nếu \(A < 0\).
- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có:
- \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\), nếu \(A \ge 0\).
- \(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\), nếu \(A < 0\).
- \( \dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}\), với \(B > 0\).
Hướng dẫn giải
Câu a
\(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{\frac{25}{5}}+\sqrt{\frac{20}{4}}+\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)
Câu b
\(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{9.\frac{1}{2}}+\sqrt{25.\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}+3\sqrt{\frac{1}{2}}+5\sqrt{\frac{1}{2}}=9\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\)
Câu c
\(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}=2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+3.3\sqrt{2}+6\sqrt{2}\)
\(=15\sqrt{2}-\sqrt{5}\)
Câu d
\(0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}=0,1\sqrt{100.2}+2\sqrt{2.0,04}+0,4\sqrt{25.2}\)
\(=\sqrt{2}+0,4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3,4\sqrt{2}=\frac{17\sqrt{2}}{5}\)
2. Giải bài 59 trang 32 SGK Toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau (với \(a>0, b>0\))
a) \(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}\)
b) \(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}\)
Phương pháp giải
- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có
- \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\), nếu \(A \ge 0\).
- \(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\), nếu \(A < 0\).
- \( \sqrt{A^2}=|A|\).
- \(|A|=A\) nếu \(A \ge 0\); \(|A|=-A\), nếu \( A < 0\).
Hướng dẫn giải
Câu a
\(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}\)
\(=5\sqrt{a}-4b.5a\sqrt{a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}=-\sqrt{a}\)
Câu b
\(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}\)
\(=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt{3}ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}-5b.9a\sqrt{ab}\)
\(=-5ab\sqrt{ab}\)
3. Giải bài 60 trang 33 SGK Toán 9 tập 1
Cho biểu thức \(B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\) với \(x\geq -1\)
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16
Phương pháp giải
- Sử dụng quy tắc đặt nhân tử chung và quy tắc khai phương một tích để đưa các số hạng về dạng có cùng biểu thức dưới dấu căn.
- \(\sqrt x =a \Leftrightarrow (\sqrt x)^2=a^2 \Leftrightarrow x=a^2\), với \(a \ge 0.\)
Hướng dẫn giải
Câu a
Vì \(x\geq -1\) nên căn thức của biểu thức B luôn có nghĩa.
\(= 4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=4\sqrt{x+1}\)
Câu b
\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=4\)
\(\Leftrightarrow x+1=4^2=16\)
\(\Leftrightarrow x=15\)
4. Giải bài 61 trang 33 SGK Toán 9 tập 1
Chứng minh các đẳng thức sau
a) \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)
b) \(\left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} +\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}=2\frac{1}{3}\) với \(x>0\).
Phương pháp giải
- Biến đổi vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.
- Sử dụng công thức sau: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\) với \(a\ge 0;b>0.\)
Hướng dẫn giải
Câu a: Ta có
\(VT=\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{3}{2}\sqrt{6}+\sqrt{\frac{4.2}{3}}-\sqrt{\frac{16.3}{2}}\)
\(=\frac{3\sqrt{6}}{2}+\frac{2\sqrt{2}.\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}.\sqrt{2}}{2}\)
\(=\frac{9\sqrt{6}}{6}+\frac{4\sqrt{2}.\sqrt{3}}{6}-\frac{12\sqrt{3}.\sqrt{2}}{6}\)
\(=\frac{9\sqrt{6}+4\sqrt{6}-12\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}=VP\)
Câu b: Ta có
\(VT=\left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} +\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}= \left ( x\frac{\sqrt{6x}}{x} +\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}\)
\(=\left (\sqrt{6x}+\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x} \right ).\frac{1}{\sqrt{6x}}\)
\(=\frac{8}{3}\sqrt{6x}.\frac{1}{\sqrt{6x}}=\frac{8}{3}=2\frac{1}{3}=VP\)
5. Giải bài 62 trang 33 SGK Toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau
a) \(\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}\)
b) \(\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}\)
c) \((\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{48}\)
d) \((\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}\)
Phương pháp giải
- Cách đổi hỗn số ra phân số: \(a\dfrac{b}{c}=\dfrac{a.c+ b}{c}\).
- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
- \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\), nếu \(A \ge 0,\ B \ge 0\).
- \(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\), nếu \(A < 0,\ B \ge 0\).
- \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\), với \(a \ge 0,\ b > 0\).
- \(\sqrt a .\sqrt b =\sqrt{ab}\), với \(a, \ b \ge 0\).
- \(\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}\), với \( B > 0\).
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{16. 3}-2\sqrt{25.3}-\sqrt{\frac{33}{11}}+5\sqrt{\frac{4}{3}}\)
\(=\frac{1}{2}. 4\sqrt{3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+5.\frac{2}{3}\sqrt{3}=(2-10-1+\frac{10}{3})\sqrt{3}=-\frac{17}{3}\sqrt{3}\)
Câu b
\(\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}=\sqrt{25.6}+\sqrt{1,6.4.15}+4,5.\sqrt{\frac{8}{3}}-\sqrt{6}\)
\(= 5\sqrt{6}+\sqrt{96}+4,5.\frac{\sqrt{8.3}}{3}-\sqrt{6}=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5.2.\frac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}\)
\(=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}\)
Câu c
\((\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{48}\)
\(= (2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{21}=2.7-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}=21\)
Câu d
\(=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=11\)
6. Giải bài 63 trang 33 SGK Toán 9 tập 1
Rút gọn biểu thức sau
a) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\) với \(a>0\) và \(b>0\)
b) \(\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}}\) với \(m>0\) và \(x\neq 1\)
Phương pháp giải
- \( \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\), với \(a \ge 0, \ b > 0\).
- \(\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}\), với \( B > 0\).
- \((\sqrt b)^2=b\), với \(b \ge 0\).
Hương dẫn giải
Câu a
\(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}.\frac{\sqrt{ab}}{a}=\frac{(b+2)\sqrt{ab}}{b}\)
Câu b
Vì \(m>0;x\neq 1\) nên
Biểu thức luôn có nghĩa và: \(|m|=m\)
\(=\sqrt{\frac{4m^{2}(1-2x+x^{2})}{81(1-2x+x^{2})}}=\sqrt{\frac{4m^{2}}{81}}=\frac{2m}{9}\)
7. Giải bài 64 trang 33 SGK Toán 9 tập 1
Chứng minh các đẳng thức sau
a) \(\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1\) với \(a ≥ 0\) và \(a ≠ 1\)
b) \(\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}} = \left| a \right|\) với \(a + b > 0\) và \(b ≠ 0\)
Phương pháp giải
- Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.
- \(\sqrt{A^2}=|A|\).
- \(|A|=A \) nếu \(A \ge 0\); \(|A|=-A\) nếu \(A < 0\).
- Sử dụng các hằng đẳng thức
- \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
- \(a^2- b^2=(a+b).(a-b)\).
- \(a^3- b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Hướng dẫn giải
Câu a: Ta có
\(VT=\left ( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right )\left ( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}\)
\(= \frac{(1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a)(1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}=\frac{\left [ (1-a) +(\sqrt{a}-a\sqrt{a})\right ](1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}\)
\(= \frac{(1-a)(1-a)}{(1-a)^{2}}=1=VP\)
Câu b: Ta có
\(VT=\frac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}\)
\(=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}\)
Mà \(a+b>0\Rightarrow |a+b|=a+b\) nên:
\(\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP\)
8. Giải bài 65 trang 34 SGK Toán 9 tập 1
Rút gọn rồi so sánh giá trị của \(M\) với \(1\), biết:
\(M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}\) với \(a > 0\) và \( a \ne 1\).
Phương pháp giải
- Sử dụng hằng đẳng thức số \(2\): \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\).
- Sử dụng phép biến đổi đặt nhân tử chung.
Hướng dẫn giải
Ta có
\(M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}\)
\(={\left(\dfrac{1}{\sqrt a .\sqrt a -\sqrt a .1}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a)^2 -2\sqrt a+1}\)
\(={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}\)
\(={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}\)
\(=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}\)
\(=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} . \dfrac{(\sqrt a -1)^2}{\sqrt a +1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt a} . \dfrac{\sqrt a -1}{1}=\dfrac{\sqrt a -1}{\sqrt a}\).
\(=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a}-\dfrac{1}{\sqrt a} =1 -\dfrac{1}{\sqrt a}\)
Vì \(a > 0 \Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt a} > 0 \Rightarrow 1 -\dfrac{1}{\sqrt a} < 1\).
Vậy \(M < 1\).
9. Giải bài 66 trang 34 SGK Toán 9 tập 1
Giá trị của biểu thức \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) bằng:
(A) \(\dfrac{1}{2}\)
(B) \(1\)
(C) \(-4\)
(D) \(4\)
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Phương pháp giải
Sử dụng quy tắc trục căn thức ở mẫu: \(\dfrac{C}{\sqrt A \pm B}= \dfrac{C(\sqrt A \mp B)}{A- B^2}\), với \(A \ge 0,\ A \ne B^2\).
Hướng dẫn giải
Ta có
\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\)
\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\)
\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}\)
\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}\)
\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{1}\)
\(=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4\).
Chọn đáp án (D). \(4\)
Tham khảo thêm
- docx Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai
- docx Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai
- docx Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
- docx Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 4: Liện hệ giữa phép chia và phép khai phương
- docx Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 5: Bảng căn bậc hai
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo)
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 9: Căn bậc ba