Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 3: Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = 2x; y = 2x + 5; y = -\frac{2}{3}x\) và \(y = -\frac{2}{3}x + 5\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác OABC (O là gốc tọa độ). Tứ giác OABC có phải là hình bình hành không? Vì sao?

Phương pháp giải

a) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\) 

+) Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\) 

b) Đồ thị của hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\) là một đường thẳng song song với đường thẳng \(y=ax\)  nếu \(b \ne 0\).

+) Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có hai cặp cạnh đối song song thì là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đồ thị của hàm số \(y=2x\) là một đường thẳng đi qua hai điểm \(O(0;0)\) và \((1;2)\)

Đồ thị của hàm số \(y=2x+5\) là một đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ \((0;5)\) và \((-2,5;0)\)

Đồ thị của hàm số \(y=-\dfrac{2}{3}x\) là một đường thẳng đi qua hai điểm O(0;0) và \((3;-2)\)

Đồ thị của hàm số \(y=-\dfrac{2}{3}x+5 \) là một đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ \((0;5)\) và \((3;3)\)

Câu b

Ta có:  đồ thị y = 2x + 5 song song với đồ thị y = 2x

Lại có: đồ thì \(y = -\frac{2}{3}x + 5\) song song với đồ thị \(y = -\frac{2}{3}x\)

Do đó tứ giác OABC là một hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

a) Vẽ đồ thị các hàm số \(y = x\) và \(y = 2x + 2\) trên mặt phẳng tọa độ

b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị nói trên, tìm tọa độ điểm A

c) Vẽ qua điểm \(B(0; 2)\) một đường thẳng song song với trục Ox, cắt đường thẳng \(y = x\) tại điểm C. Tìm tọa độ của điểm C rồi tính diện tích tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét)

Phương pháp giải

a) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\)  

+) Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\)

Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\)

b) Đồ thị hàm số \(y=ax\) và \(y=a'x+b'\) cắt nhau tại \(A\) thì hoành độ điểm \(A\) là nghiệm của phương trình: \(ax=a'x+b'.\) Giải phương trình tìm \(x\), rồi thay vào một trong hai công thức hàm số trên tìm được tung độ điểm \(A\). 

c) +) Đường thẳng đi qua điểm \(B(0; b)\) song song với trục \(Ox\) có phương trình là: \(y=b\).

+ Diện tích tam giác \(ABC\):  \(S=\dfrac{1}{2}.h.a\)

với \(h\) là độ dài đường cao, \(a\) là độ dài cạnh ứng với đường cao.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đồ thị như hình bên

Câu b
Muốn tìm tọa độ điểm A, tức là giao của hai đồ thị trên, ta cần viết phương trình hoành độ giao điểm, tìm ra hoành độ và sau đó suy ngược lại tung độ. Cụ thể là:

\(x=2x+2\)

\(\Leftrightarrow x=-2\Rightarrow y=-2\Rightarrow A(-2;-2)\)

Câu c

Vì điểm C là giao điểm của đường thẳng qua B và song song với trục hoành với hàm số \(y=x\) nên C là giao điểm của 2 hàm số sau:

\(\left\{\begin{matrix} y=x\\ y=2 \end{matrix}\right.\) 

Làm tương tự với câu a, ta tìm ra được tọa độ điểm \(C(2;2)\)

Ta dễ dàng tìm được diện tích của tam giác ABC:

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.4=2BC=2.2=4(cm^2)\)

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = x + 1\) và \(y = -x + 3\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Hai đường thẳng \(y = x + 1\) và  \(y = -x + 3\) cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vi đo trên các trục tọa độ là xentimét)

Phương pháp giải

a) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\) 

+) Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\) 

Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\)

b) +) Đồ thị hàm số \(y=ax\) và \(y=a'x+b'\) cắt nhau tại \(A\) thì hoành độ điểm \(A\) là nghiệm của phương trình: \(ax=a'x+b'.\) Giải phương trình tìm \(x\), rồi thay vào một trong hai công thức hàm số trên tìm được tung độ điểm \(A\).

c) +) Chu vi tam giác \(ABC\) là: \(C_{\Delta{ABC}}=AB+BC+AC\).

+) Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S_{\Delta{ABC}}=\dfrac{1}{2}.h.a\)

trong đó: \(h\) là độ dài đường cao, \(a\) là độ dài cạnh ứng với đường cao

Hướng dẫn giải

Câu a

Đồ thị như hình bên

Câu b

Muốn tìm tọa độ điểm A, tức là giao của hai đồ thị trên, ta cần viết phương trình hoành độ giao điểm, tìm ra hoành độ và sau đó suy ngược lại tung độ. Cụ thể là:

\(x=2x+2\)

\(\Leftrightarrow x=-2\Rightarrow y=-2\Rightarrow A(-2;-2)\)

Câu c

Vì điểm C là giao điểm của đường thẳng qua B và song song với trục hoành với hàm số \(y=x\) nên C là giao điểm của 2 hàm số sau:

\(\left\{\begin{matrix} y=x\\ y=2 \end{matrix}\right.\) 

Làm tương tự với câu a, ta tìm ra được tọa độ điểm \(C(2;2)\)

Ta dễ dàng tìm được diện tích của tam giác ABC:

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.4=2BC=2.2=4(cm^2)\)

a) Biết rằng với \(x = 4\) thì hàm số \(y = 3x + b\) có giá trị là 11. Tìm b. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị b vừa tìm được

b) Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = ax + 5\) đi qua điểm \(A (-1; 3)\). Tìm a. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị a vừa tìm được.

Phương pháp giải

a) Thay giá trị của \(x,\ y\) đã biết vào công thức hàm số ta tìm được \(b\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\) vào công thức hàm số ta tìm được \(a\).

* Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\) 

+) Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\) 

Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Thế các giá trị \(x=4;y=11\) vào hàm số, ta có:

\(11=3.4+b\Rightarrow b=-1\)

Vậy hàm số có dạng:

\(y=3x-1\)

Hàm số qua các điểm \(B(0;-1);C(2;5)\)

Câu b

Thế tọa độ điểm A vào hàm số, ta được:

\(3=a(-1)+5\Rightarrow a=2\)

Hàm số trở thành \(y=2x+5\)

Điểm hàm số đi qua: \(A(1;7); B(0;5)\)

Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt{3} x + \sqrt{3}\) được vẽ bằng compa và thước thẳng. Hãy tìm hiểu cách vẽ đó rồi nêu lại các bước thực hiện.

Phương pháp giải

+) Xác định hai điểm thuộc đồ thị hàm số \(y=ax+b(a \ne 0)\):

Cho \(x=0 \Rightarrow y=b \Rightarrow A(0; b).\) 

Cho \(y=0 \Rightarrow x = -\dfrac{b}{a} \Rightarrow B {\left(-\dfrac{b}{a};0 \right)}.\)

Xác định vị trí hai điểm \(A,\ B\) trên mặt phẳng tọa độ. Đường thẳng đi qua \(A,\ B\) là đồ thị hàm số \(y=ax+b.\)

+) Định lí Py-ta-go trong tam giác vuông: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khi đó: \(BC^2=AB^2+AC^2\).

Hướng dẫn giải

+ Vẽ đồ thị hàm số: \(y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\) 

Cho \(x= 0 \Rightarrow y = \sqrt 3 . 0 + \sqrt 3 = \sqrt 3 \Rightarrow M(0; \sqrt 3)\).

Cho \(y=0  \Rightarrow 0 = \sqrt 3 . x + \sqrt 3 \Rightarrow x= -1 \Rightarrow N(-1; 0)\).

Đồ thị hàm số \(y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(M(0; \sqrt 3)\) và \(N(-1; 0)\)

+ Các bước vẽ

Bước \(1\): Xác định điểm \(A(1; 1)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Khi đó theo định lí Py-ta-go, ta có: \(OA^2=1^2+1^2=2 \Leftrightarrow OA =\sqrt 2\)

Bước \(2\): Dùng compa vẽ cung tròn tâm \(O\) bán kính \(OA =\sqrt 2\). Cung tròn này cắt trục \(Ox\) tại vị trí \(C\) thì hoành độ của \(C\) là \(\sqrt 2\).

Bước \(3\): Xác định điểm \(B( \sqrt 2; 1)\). Khi đó theo định lí Py-ta-go, ta có: \(OB^2=(\sqrt 2)^2+1^2=2+1=3 \Leftrightarrow OB =\sqrt 3\)

Bước \(4\): Dùng compa vẽ cung tròn tâm \(O\) bán kính \(OB=\sqrt 3\). Khi đó cung tròn này cắt trục tung tại vị trí điểm có tung độ là \(\sqrt 3\). Ta xác định được điểm \(M(0; \sqrt 3)\).

Bước \(5\): Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm \(M\) và \(N\) ta được đồ thị hàm số \(y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\)