Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ (cạnh của hình lập phương bằng 1) (h.93). Hãy tính:

a) Bán kính đáy của hình nón.

b) Độ dài đường sinh.

Phương pháp giải

Hình tròn nội tiếp hình vuông có bán kính bàng nửa cạnh hình vuông.

Cho hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r và đường sinh l. Khi đó ta có: \(l^2=h^2+r^2.\)

Hướng dẫn giải

a) Có đường tròn đáy của hình nón nội tiếp trong hình vuông là một mặt của hình lập phương. Do đó bán kính của đáy hình nón bằng một nửa cạnh hình lập phương và bằng r=0,5.

b) Đỉnh của hình nón tiếp xúc với một mặt của hình lập phương nên đường cao của hình nón bằng với cạnh của hình lập phương hay chiều cao h=1.

Với l là độ dài đường sinh của hình nón. Theo định lí Pytago, ta có :

 \(l^2=r^2+h^2 \Rightarrow l= \sqrt{1^2+ 0,5^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

Cắt mặt cắt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy.

Quan sát hình 94 và tính số đo cung của hình quạt tròn.

Phương pháp giải

 Sử dụng công thức tính chu vi đường tròn bán kính r là \(C = 2\pi r.\)

Sử dụng công thức độ dài cung \(n^o\): \(l=\dfrac{\pi rn}{180}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: Cung hình quạt tròn có độ dài \(2\times\pi\times2=4\pi\,cm\)

Nên

\(\dfrac{\pi.6.x}{180}=4\pi\Rightarrow x=120^o\)

Vậy số đo cung hình quạt tròn là \(120^o\)

Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như hình 87 thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh của hình nón. Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là 30o, độ dài đường sinh là a. Tính số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.

Phương pháp giải

Xét tam giác AOC vuông tại O, tính OC

Tính chu vi đáy hình nón là: \(C=2\pi OC\)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AOC vuông tại O có \(\widehat{OAC}=30^o\)

Suy ra

 \(\sin\widehat{CAO}=\dfrac{OC}{AC}\\ \Rightarrow \sin 30^o=\dfrac{OC}a\\ \Rightarrow OC=a.\sin30^o=\dfrac a 2\)

Vậy chu vi đáy hình nón là:

\(C=2\pi OC=2\pi\dfrac a 2=a.\pi\)

Hình quạt khi khai triển hình nón có độ dài cung bằng chu vi đáy hình nón.

Ta có:

\(\dfrac{\pi.a.n}{180}=a\pi\\ \Rightarrow n=180\)

Vậy độ dài cung tròn hình quạt tròn là \(180^o\)

Hình ABCD (h.95) khi quay quanh BC thì tạo ra:

(A) Một hình trụ

(B) Một hình nón

(C) Một hình nón cụt

(D) Hai hình nón

(E) Hai hình trụ

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải

Khi quay tam giác vuông vòng quanh một cạnh góc vuông cố định của nó thì ta được một hình nón.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của BC và AD.

Khi quay  hình ABCD quanh BC có nghĩa là tam giác vuông OBA quanh OB và tam giác vuông OCD quanh OC.

Mỗi hình tam giác vuông trên quay sẽ tạo ra một hình nón. Vậy hình tạo ra sẽ tạo ra 2 hình nón.

Vậy chọn D.

Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình quạt là 16cm, số đo cung là \(120^o\) thì độ dài đường sinh của hình nón là:

Phương pháp giải

Độ dài đường sinh của hình nón cần tính chính là bán kính hình quạt.

Hướng dẫn giải

Khi khai triển mặt xung quanh hình nón thì ta được hình quạt có bán kính bằng đường sinh của hình nón.

Đầu bài cho bán kính hình tròn chứa hình quạt là \(16 cm\) nên độ dài đường sinh là \(16 cm\).

Vậy chọn A.

Hãy điền đủ vào các ô trống ở bảng sau (xem hình 96)

Phương pháp giải

Các công thức liên quan đến hình nón có bán kính đường tròn đáy là r và đường sinh l.

+)  \(h^2+r^2=l^2\)

+) Diện tích xung quanh: \(S_{xq}=\pi rl\)

+) Thể tích: \(V=\dfrac 1 3 \pi r^2h\)

Hướng dẫn giải

+ Dòng thứ nhất:

d = 2r = 1.10 = 20(cm)

\(l = \sqrt{h^2 + r^2 }= \sqrt{10^2 + 10^2}= 10\sqrt{2} (cm)\)

\(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h = \dfrac{1}{3}. 10^2. 10. \pi= 10^3. \pi.\dfrac{1}3\)  \((cm^3)\)

+ Dòng thứ hai:

 \(r= \dfrac{d}{2}= 5 (cm)\)

\(l = \sqrt{h^2 + r^2}= \sqrt{10^2 + 5^2}= 5\sqrt{5} (cm)\)

\(V= \frac{1}{3}\pi r^2h = \dfrac{1}{3}. 5^2. 10. \pi= 250. \pi.\dfrac{1}3 (cm3) \)

+ Dòng thứ ba: 

Khi \(h = 10cm;V = 1000\,c{m^3}\)

Ta có \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h \Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{{3V}}{{\pi h}} = \dfrac{{3.1000}}{{\pi .10}} = \dfrac{{300}}{\pi }\, \Rightarrow r = 10\sqrt {\dfrac{3}{\pi }} \,cm\)

- Đường kính đáy \(d = 2r = 20\sqrt {\dfrac{3}{\pi }} \,cm\)

- Đường sinh \(l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {100 + \dfrac{{300}}{\pi }} = 10\sqrt {\dfrac{3}{\pi } + 1} \)

+ Dòng thứ tư:

Khi \(r = 10cm;V = 1000\,c{m^3}\)

Ta có \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h \Leftrightarrow h = \dfrac{{3V}}{{\pi {r^2}}} = \dfrac{{3.1000}}{{\pi {{.10}^2}}} = \dfrac{{30}}{\pi }cm\)

- Đường kính đáy d = 2r = 20cm

- Đường sinh \(l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {\dfrac{{900}}{\pi } + 100} = 10\sqrt {\dfrac{9}{{{\pi ^2}}} + 1} \)

+ Dòng thứ 5: 

Khi \(d = 10cm;V = 1000c{m^3}\) ta có \(r = \dfrac{d}{2} = 5cm\)

- Lại có \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h \Leftrightarrow h = \dfrac{{3V}}{{\pi {r^2}}} = \dfrac{{3.1000}}{{\pi {{.5}^2}}} = \dfrac{{120}}{\pi }cm\)

- Đường sinh \(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{5^2} + {{\left( {\dfrac{{120}}{\pi }} \right)}^2}}\)

Ta được bảng sau:

Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ (h.97). Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép, phần thừa).

Phương pháp giải

+) Diện tích phần vải cần để làm mũ = Diện tích vành mũ + Diện tích của phần trên mũ 

= Diện tích hình vành khăn + Diện tích xung quanh hình nón.

+) Diện tích xung quanh của hình nón bán kính r và đường sinh l là: \(S_{xq}=\pi rl.\)

Hướng dẫn giải

Diện tích vải cần làm nên cái mũ bằng diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh là 30 cm và bán kính đáy bằng \(\dfrac{35-10.2}{2}=7,5\,cm\)

và diện tích hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là 17,5 cm và 7,5 cm.

- Diện tích xung quanh của hình nón là:

\(S_{xq}=\pi r l=\pi.7,5.30=225\pi\,cm^2\)

- Diện tích hình vành khăn là

\(S_{vk}=\pi.17,5^2-\pi.7,5^2=250\pi\,cm^2\)

Vậy diện tích vải cần dùng là

\(S=225\pi+250\pi=475\pi\approx1492\,cm^2\)

Hình 98 cho ta hình ảnh của một cái đồng hồ cát với các kích thước kèm theo (AO = OB).

Hãy so sánh tổng thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.

Phương pháp giải

+) Thể tích hình trụ bán kính đáy là R và chiều cao h là: \(V=\pi R^2h.\)

+) Thể tích hình nón bán kính đáy R và chiều cao h là: \(V=\dfrac{1}{3} \pi R^2h\)

Hướng dẫn giải

Hình nón có bán kính đáy R và chiều cao \(\dfrac h 2\) nên có thể tích là: \(V=\dfrac 1 3 \pi R^2.\dfrac h 2=\dfrac{\pi R^2h}{6}\)

Thể tích hai hình nón là \(\dfrac{\pi R^2h}3\)

Thể tích hình trụ là: \(V_{tr}=\pi R^2h\)

Vậy thể tích hình trụ bằng 3 lần tổng thể tích hai hình nón.