Giải bài tập SGK Toán 9 Bài: Luyện tập
Để giúp các em học sinh lớp 9 học tập thật tốt môn Toán, eLib xin giới thiệu nội dung giải bài tập bài Luyện tập SGK trang 87 bên dưới đây. Tài liệu gồm tất cả các bài tập có phương pháp và hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, sẽ giúp các em ôn tập lại kiến thức, cũng cố kĩ năng làm bài hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 48 trang 87 SGK Toán 9 tập 2
Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Phương pháp giải
- Thông thường, bài toán quỹ tích ta làm theo các bước:
Bước 1: Dự đoán quỹ tích
Bước 2: Chứng minh quỹ tích: gồm Phần thuận và Phần đảo
Bước 3: Kết luận.
- Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
Hướng dẫn giải
Dự đoán: Quỹ tích là đường tròn đường kính AB.
Chứng minh:
+ Phần thuận:
AT là tiếp tuyến của đường tròn tâm B
⇒ AT ⊥ BT
⇒ \(\widehat{ATB}=90^0\)
⇒ T thuộc đường tròn đường kính AB.
+ Phần đảo:
Lấy T thuộc đường tròn đường kính AB
⇒ \(\widehat{ATB}=90^0\)
⇒ AT ⊥ TB và BT < AB
⇒ AT tiếp xúc với đường tròn tâm B, bán kính BT < BA.
Kết luận: Quỹ tích các tiếp điểm là đường tròn đường kính AB.
2. Giải bài 49 trang 87 SGK Toán 9 tập 2
Dựng tam giác ABC, biết \(BC = 6cm\), góc \(\widehat A = 40^o\) và đường cao \(AH = 4cm\).
Phương pháp giải
Dựng cung chứa góc \(40^\circ \) trên cạnh \(BC\).
Vẽ đường thẳng song song với \(BC\) và cách \(BC\) khoảng \(4cm\).
Từ đó xác định điểm \(A\) và tam giác \(ABC.\)
Hướng dẫn giải
Cách dựng:
+ Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.
+ Dựng cung chứa góc 40º trên đoạn thẳng BC (tương tự bài 46) :
Dựng tia Bx sao cho \(\widehat {CBx} = {40^0}\)
Dựng tia By ⊥ Bx.
Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.
Dựng đường tròn (O; OB).
Cung lớn BC chính là cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC.
+ Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 4cm:
Lấy D là trung điểm BC.
Trên đường trung trực của BC lấy D’ sao cho DD’ = 4cm.
Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.
+ Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A.
Ta được ΔABC cần dựng.
Chứng minh:
+ Theo cách dựng có BC = 6cm.
+ A ∈ cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC
\(\Rightarrow \widehat {BAC} = {40^0}\)
+ A ∈ d song song với BC và cách BC 4cm
⇒ AH = DD’ = 4cm.
Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Biện luận: Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.
3. Giải bài 50 trang 87 SGK Toán 9 tập 2
Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho \(MI = 2MB\).
a) Chứng minh \(\widehat{AIB}\) không đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.
Phương pháp giải
a) Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn
Xét đường tròn (O) có \(\widehat{AMB} \) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên:
\(\widehat{AMB}={{90}^{o}}\)
Xét tam giác \(MBI\) vuông tại M.
Tính góc \(\widehat{MIB}\)
b) Chứng minh theo hai phần: Phần thuận và phần đảo.
Lập luận để có quỹ tích là cung chứa góc \(AIB\) dựng trên đoạn BC.
Chú ý đến giới hạn của quỹ tích.
Hướng dẫn giải
a) Xét đường tròn (O) có \(\widehat{AMB} \) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên:
\(\widehat{AMB}={{90}^{o}}\)
Xét tam giác \(MBI\) vuông tại M.
\(\begin{aligned} & \tan \widehat{MIB}=\dfrac{MB}{MI}=\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow \widehat{MIB}\approx {{26}^{o}}{{34}^{'}} \\ \end{aligned} \)
Vậy \(\widehat{AIB}\) không đổi.
b) Tìm quỹ tích của điểm I.
Phần thuận:
Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì I luôn nhìn AB dưới một góc \(26^o34’\)
Do vậy quỹ tích điểm I là hai cung chứa góc \(26^o34’\) dựng trên đoạn thẳng AB.
Tuy nhiên, khi M trùng A thì cát tuyến AM thành tiếp tuyến của (O). Khi đó, điểm I trùng \(I_1\) hoặc \(I_2.\)
Vậy quỹ tích điểm I chỉ thuộc hai cung \(\overset\frown{{{I}_{1}}mB}\) hoặc \(\overset\frown{{{I}_{2}}m'B} \)
Phần đảo:
Lấy điểm I’ bất kỳ thuộc \(\overset\frown{{{I}_{1}}mB}\) hoặc \( \overset\frown{{{I}_{2}}m'B}\)
\(I’A\) cắt đường tròn O tại M’.
Trong tam giác vuông \(BM’I’\) ta có:
\(\tan \widehat{BI'M'}=\dfrac{BM'}{M'I}=\tan \left( {{26}^{o}}34' \right)=\dfrac{1}{2} \)
Do đó \(M'I'=2BM' \)
Kết luận: quỹ tích điểm I là hai cung \(\overset\frown{{{I}_{1}}mB}\) và \(\overset\frown{{{I}_{2}}m'B}\) chứa góc \(26^o34’\) dựng trên đoạn thẳng AB.
4. Giải bài 51 trang 87 SGK Toán 9 tập 2
Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với \(\widehat A = 60^o\). Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'.
Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Phương pháp giải
Với đoạn thẳng AB và góc \(\alpha\, \, (0^0 < \alpha < 180^0)\) cho trước thì quỹ tích các điểm M hỏa mãn \(\widehat{AMB}=\alpha\) là hai cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn AB.
Nên ta chỉ ra \(\widehat{BOC}=\widehat{BHC}=\widehat{BIC}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}={{120}^{o}}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BC) (1)
Xét tứ giác \(AB’HC’\) có:
\(\begin{aligned} & \widehat{A}+\widehat{B'}+\widehat{B'HC'}+\widehat{C'}={{360}^{o}} \\ & \Leftrightarrow {{60}^{o}}+{{90}^{o}}+\widehat{B'HC'}+{{90}^{o}}={{360}^{o}} \\ & \Rightarrow \widehat{B'HC'}={{120}^{o}} \\ \end{aligned} \)
Mà \(\widehat{BHC}=\widehat{B'HC'}\) nên \(\widehat{BHC}={{120}^{o}}\) (2)
Trong tam giác ABC có: \(\widehat{B}+\widehat{C}=180-\widehat{A}={{180}^{o}}-{{60}^{o}}={{120}^{o}} \)
Vì IB và IC là hai tia phân giác của góc B và góc C nên
\(\begin{aligned} & \widehat{IBC}=\dfrac{1}{2}\widehat{B} \\ & \widehat{ICB}=\dfrac{1}{2}\widehat{C} \\ & \Rightarrow \widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)=\dfrac{1}{2}{{.120}^{o}}={{60}^{o}} \\ \end{aligned} \)
Trong tam giác IBC có
\(\widehat{BIC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{IBC}+\widehat{ICB} \right)={{180}^{o}}-{{60}^{o}}={{120}^{o}} (3)\)
Từ (1) (2) và (3) ta có: I, O , H cùng nhìn BC dưới một góc \(120^o\) nên O, H, I cùng nằm trên cung chứa góc \(120^o\) dựng trên đoạn BC.
Vậy 5 điểm B, C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
5. Giải bài 52 trang 87 SGK Toán 9 tập 2
"Góc sút" của quả phạt đền 11 m là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32 m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 mét.
Phương pháp giải
Tìm số đo góc nhìn từ vị trí đặt bóng đến cầu môn.
Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn: Trong một tam giác vuông, tan α = cạnh đối / cạnh huyền.
Hướng dẫn giải
Gọi A là vị trí đặt bóng sút phạt đền và BC là bề rộng của cầu môn.
Ta có: A thuộc trung trực BC.
Gọi H là trung điểm của BC
Tam giác BHA vuông tại H có:
\(\begin{aligned} & \tan \widehat{BAH}=\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{7,32:2}{11}\approx 0,33 \\ & \Rightarrow \widehat{BAH}={{18}^{o}}{{36}^{'}} \\ & \Rightarrow \widehat{BAC}=2.\widehat{BAH}={{37}^{o}}12' \\ \end{aligned} \)
Dựng cung chứa góc \(37^o12’\) trên đoạn BC thì bất cứ điểm nào trên cung chứa góc \(37^o12’\) đều có góc sút như quả phạt đền 11m.
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài: Luyện tập
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 3 Góc nội tiếp
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài: Luyện tập
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài: Luyện tập
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài: Luyện tập
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc