Toán 9 Chương 1 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt{A}\) là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn, hay biểu thức dưới dấu căn.

\(\sqrt{A}\) xác định (hay có nghĩa) khi A có giá trị không âm.

Định lý: Với mọi số thực a, ta có \(\sqrt{a^2}=|a|\)

Lưu ý: Một cách tổng quát, với A là một biểu thức, ta có \(\sqrt{A^2}=|A|\), nghĩa là

\(\sqrt{A^2}=A\) nếu A không âm

\(\sqrt{A^2}=-A\) nếu A âm.

Với giá trị nào của a thì biểu thức sau có nghĩa: \(\sqrt{\frac{a}{4}}\) ; \(\sqrt{4a-9}\)

Hướng dẫn giải

Để biểu thức \(\sqrt{\frac{a}{4}}\) có nghĩa thì \(\frac{a}{4}\geq 0\) \(\Leftrightarrow a\geq 0\)

Tương tự, \(\sqrt{4a-9}\) có nghĩa thì \(4a-9> 0\Leftrightarrow a\geq \frac{9}{4}\)

Câu 1: Rút gọn biểu thức: \(\sqrt{(3-\sqrt{11})^2}\) ; \(3\sqrt{(a-2)^2}\) với \(a<2\)

Hướng dẫn giải

\(\sqrt {{{(3 - \sqrt {11} )}^2}}  = |3 - \sqrt {11} |\)

\( = \sqrt {11}  - 3\)

Vì \(\sqrt{11}>3\)

\(\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=2-a\) 

vì \(a<2\)

Vậy \(3\sqrt{(a-2)^2}=6-3a\)

Câu 2: Tìm x biết: \(\sqrt{x^2}=|-7|\); \(\sqrt{9x^2}=|-12|\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{x^2}}  = | - 7| = 7}\\
{ \Leftrightarrow {x^2} = 49 \Leftrightarrow x =  \pm 7}
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\sqrt {9{x^2}}  = | - 12| = 12\\
 \Leftrightarrow 9{x^2} = 144
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow x =  \pm 4}
\end{array}\)

Câu 3: Giải phương trình: \(x^2-2\sqrt{11}x+11=0\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
{x^2} - 2\sqrt {11} x + 11 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.\sqrt {11}  + {(\sqrt {11} )^2} = 0\\
 \Leftrightarrow {(x - \sqrt {11} )^2} = 0
\end{array}\)
Vậy \(x=\sqrt{11}\)

Câu 4: Chứng minh rằng: \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=-1\)

Hướng dẫn giải

Nhận thấy 

\(\begin{array}{l}
4 - 2\sqrt 3 \\
 = {1^2} - 2.1.\sqrt 3  + {(\sqrt 3 )^2}\\
 = {(1 - \sqrt 3 )^2}
\end{array}\)
Vậy \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\) (vì \(\sqrt{3}>1\))

Biến đổi VT, ta có 

\(\begin{array}{l}
\sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  - \sqrt 3 \\
 = \sqrt 3  - 1 - \sqrt 3 \\
 =  - 1 = VP\\
 \Rightarrow dpcm
\end{array}\)

Câu 1: Với giá trị nào của a thì biểu thức sau có nghĩa: \(\sqrt {\frac{x}{3}} ;\sqrt {3x - 8} \)

Câu 2: Rút gọn biểu thức: \(\sqrt {{{(4 - \sqrt {11} )}^2}} ;5\sqrt {{{(a - 4)}^2}} \,\,và \,\,a < 4\)

Câu 3: Tìm x biết: \(\sqrt {{x^2}} = | - 6|;\sqrt {9{x^2}} = | - 3|\)

Câu 4: Giải phương trình: \({x^2} - 2\sqrt 7 x + 7 = 0\)

Câu 5: Chứng minh rằng: \(\sqrt {7 - 2\sqrt 6 } - \sqrt 6 = - 1\)

Câu 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\sqrt {3{\rm{x}}} \) xác định \( \Leftrightarrow x \ge 0\)                   

B. \(\sqrt {{\rm{ - 9x}}} \) xác định \( \Leftrightarrow x \ge 0\)          

C. \(\sqrt {\frac{{x - 5}}{3}} \) xác định \( \Leftrightarrow x \ge 5\)                    

D. \(\sqrt {\frac{{ - 4}}{{x - 9}}} \) xác định khi  x > 9 

Câu 2. Điều kiện xác định của \(\sqrt {\frac{{{a^2} + 1}}{{{a^3}}}} \) là: 

A. \(a \ge 0\)                    B.  \(a \le 0\)         

C. a>o                    D. a<-1  

Câu 3. Điều kiện xác định của \(\sqrt {{x^2} + x - 6} \) là 

A. \(x \le 2\)                  

 B. \(x \ge  - 3\)          

C. \(x \le  - 3;x \ge 2\)                    

D. \( - 3 \le x \le 2\) 

Câu 4. Giải phương trình: \(x^2=64\), giá trị x nhận được là: 

A. 8                   

B. -8          

C. \(2\sqrt{2}\)                    

D. \(\pm 8\) 

Câu 5. Điều kiện của x để biểu thức \(\sqrt{-3x-6}\) có nghĩa là:

A. \(x\leq -2\)                   

B. \(x\geq -2\)          

C. \(x>-2\)                    

D. \(x<-2\) 

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Khái niệm căn thức bậc hai.
• Vận dụng hằng đẳng thức \(\sqrt{A^2}=|A|\) để làm các bài tập liên quan.