Toán 8 Chương 1 Bài 3: Hình thang cân

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

ABCD là hình thang cân (đáy AB; CD)

\( \Leftrightarrow {\rm{ AB // CD }}\) và \({\rm{\hat C = \hat D}}\)

Định lí 1: Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD)  => AD = BC

Định lí 2: Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD)  => AC = BD

Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Hình thang ABCD (đáy AB, CD) có AC = BD  => ABCD là hình thang cân.

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lưu ý: 

* Hình thang cân thì có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân. Ví dụ như hình vẽ dưới đây:

Câu 1: Cho hình thang cân ABCD có \(AB\parallel CD\), AB < CD, H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên CD. Chứng minh rằng: DK=HC.

Hướng dẫn giải:

Ta có hình vẽ như sau: 

Xét hai tam giác vuông ADH và BCK ta có:

AD=BC (hai cạnh bên của hình thang cân)

\(\angle ADH = \angle BCK\) (hai góc kề một đáy của hình thang cân)

\( \Rightarrow \Delta ADH = \Delta BCK\) (cạnh huyền- góc nhọn)

 ⇒DH = CK

⇒DH+HK =CK+HK

⇒DK=CH ( điều phải chứng minh)

Câu 2: Cho hình thang cân ABCD có \(AB\parallel CD\) ,AB < CD, gọi E là giao điểm của hai cạnh bên, F là giao điểm của hai đường chéo. chứng minh rằng EF là trung trực của AB.

Hướng dẫn giải:

Ta có hình vẽ: 

Dễ thấy rằng EAB là tam giác cân tại E , ta có  EA=EB nên E nằm trên đường trung trực của AB.(1)

Xét hai tam giác ABD và BAC ta có:

AB là cạnh chung

AD=BD (cạnh bên của hình thang cân)

AC=BD (hai đường chéo của hình thang cân)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta BAC\) (cạnh-cạnh-cạnh)

⇒\(\angle ABD = \angle BAC\)

⇒ AFD là tam giác cân tại F

⇒AF=BF nên F cũng nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) có È là đường trung trực của AB (điều phải chứng minh)

Câu 3: Hình thang cân ABCD với AB, CD là hai đáy, AB < CD có \(BD \bot BC\) , BD là phân giác của góc D, biết BC=6 cm. Tính chu vi hình thang.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\angle ADC = \angle BCD\)(tính chất hình thang cân)

Mà \(\angle BDC = \frac{1}{2}\angle ADC\) (tính chất đường phân giác)

\( \Rightarrow \angle BDC = \frac{1}{2}\angle BCD\)

Bên cạnh đó ta còn có \(\angle BDC + \angle BCD = {90^0}\)

Từ đó ta được \(\begin{array}{l} \angle BDC = {30^0}\\ \angle BCD = {60^0} \end{array}\)

Gọi E là trung điểm của CD, xét tam giác BEC ta có:

\(BE = EC = \frac{1}{2}CD\) (BE là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên bằng một nửa cạnh huyền)

\(\angle BCD = {60^0}\)

⇒Tam giác BEC là tam giác đều ⇒\(BC = BE = EC = \frac{1}{2}CD\)

⇒CD=2.BC=2.6=12 (cm)

Ta có:

 \(\angle ADB = \angle BDE\) (tính chất đường phân giác)

\(\angle BDE = \angle ABD\) (hai góc so le trong)

⇒\(\angle ADB = \angle ABD\)

⇒ Tam gác ABD cân tại A

⇒AB=AD

mà AD=BC=6 nên AB=6 cm

Vậy chu vi hình thang ABCD là : AB+BC+CD+DA=6+6+12+6=30 (cm)

Câu 1: Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB // CD), biết D = 2A.

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE ( \(D \in AC;\,\,E \in AB\) ). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Câu 3: Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C.

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân.

b) Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng A = 40^o.

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của AC lấy điểm D, trên tia đối của AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

Câu 1: Chọn phát biểu đúng

A. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh bên bằng nhau

B. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau

C. Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau

D. Hình thang cân là hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau

Câu 2:  Chọn phát biểu sai

A. Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau

B. Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau

C. Trong hình thang cân hai đường chéo vuông góc với nhau

D. Trong hình thang cân hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau

 Câu 3: Cho hình thang cân ABCD (AB || CD) như hình vẽ  Biết \(\angle D = {60^0}\), số đo góc B là?

A. \(\angle B = {60^0}\)

B. \(\angle B = {110^0}\)

C. \(\angle B = {120^0}\)

D. \(\angle B = {80^0}\)

Câu 4: Cho ABCD (AB||CD) là hình thang cân có AD = 4cm; \(\angle B = {120^0}\) . Chọn ý đúng

A. AD = AB= 4cm

B. \(\angle C = \angle B = {120^0}\)

C. AC = BD = 4cm

D. \(\angle C = \angle D = {60^0}\)

Câu 5: Chọn phát biểu đúng

A.  Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông

B. Tứ giác có một góc vuông là hình thang vuông

C. Hình thang có hai đường chéo vuông góc nhau là hình thang vuông

D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau là hình thang vuông

Qua bài giảng Hình thang cân này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm được khái niệm hình thang cân.

• Nhận biết được hình thang cân.

• Ghi nhớ được tính chất, của hình thang.

• Vận dụng kiến thức giải được một số bài toán liên quan.