Toán 8 Ôn tập chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

a) Định nghĩa: Đẳng thức \(A(x) = B(x)\), trong đó \(A(x)\) và \(B(x)\) là hai biểu thức của cùng một biến \(x\) gọi là phương trình ẩn \(x\).

b) Nghiệm của phương trình: Giá trị \({x_0}\) của ẩn \(x\) thỏa mãn \(A({x_0}) = B({x_0})\) được gọi là nghiệm của phương trình \(A\left( x \right) = B\left( x \right)\)

c) Giải phương trình: Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình.

d) Hai phương trình tương đương: Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.

Định nghĩa: Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể:

- Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

- Chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.

Nghiệm của phương trình: Phương trình dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0,\) luôn có một nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}\).

Công thức:

\(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\)  hoặc \(B\left( x \right) = 0\).

Nghĩa là muốn giải phương trình \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\), ta giải hai phương trình \(A\left( x \right) = 0\)  và \(B\left( x \right) = 0\)  rồi lấy tất cả các nghiệm thu được.

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Tìm ĐKXĐ của phương trình.
• Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Giải phương trình vừa nhận được.
• Chọn các giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ rồi viết tập nghiệm.

Bước 1: Lập phương trình:

- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Trả lời: Chọn các nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi kết luận.

Toán về quan hệ các số

Toán chuyển động

Toán làm chung công việc

Toán phần trăm

Toán có nội dung hình học

Toán về năng suất lao động

Các dạng toán khác

Giải các phương trình:

a) \(3 - 4x\left( {25 - 2x} \right) = 8{x^2} + x - 300\) ;

b) \(\dfrac{{2\left( {1 - 3x} \right)}}{5} - \dfrac{{2 + 3x}}{{10}} = 7 - \dfrac{{3\left( {2x + 1} \right)}}{4}\) ;

Hướng dẫn giải

a) \(3 - 4x\left( {25 - 2x} \right) = 8{x^2} + x - 300\)

\(\Leftrightarrow 3 - 100x + 8{x^2} = 8{x^2} + x - 300\)

\(\Leftrightarrow  - 100x -x=  - 300-3\)

\(\Leftrightarrow  - 101x =  - 303\)

\( \Leftrightarrow x = \left( { - 303} \right):\left( { - 101} \right)\)

\(\Leftrightarrow x = 3\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 3\) .

b) \(\dfrac{{2\left( {1 - 3x} \right)}}{5} - \dfrac{{2 + 3x}}{{10}} = 7\)\(\, - \dfrac{{3\left( {2x + 1} \right)}}{4}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{4.2\left( {1 - 3x} \right)}}{{20}} - \dfrac{{2.(2 + 3x)}}{{20}} = \dfrac{{140}}{{20}}\)\(\,- \dfrac{{5.3\left( {2x + 1} \right)}}{{20}}\)

\(\Leftrightarrow 8\left( {1 - 3x} \right) - 2\left( {2 + 3x} \right) = 140 \) \(- 15\left( {2x + 1} \right)\)

\(\Leftrightarrow 8 - 24x - 4 - 6x = 140 - 30x - 15\)

\(\Leftrightarrow  - 30x + 4 = 125 - 30x\)

\(\Leftrightarrow -121 = 0x\) (Vô lí)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) \(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)\)

b) \(4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)\)

\(\Leftrightarrow\)\( \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) - \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)\) \( = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2 - 5x + 8} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {6- 2x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x + 1 = 0} \cr {6 - 2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \dfrac{ - 1} {2}} \cr {x = 3} \cr} } \right.} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = \dfrac{{ - 1}}{2};\; x = {3}\) .

b) \(4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \) \(= \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 1 - 3x + 5} \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {4 - x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x + 1 = 0} \cr {4 - x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \dfrac{{ - 1}}{2}} \cr {x = 4} \cr} } \right.} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = \dfrac{{ - 1}}{2};x = 4\)

Giải các phương trình:

a) \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}};\)

b) \(\left( {2x + 3} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right) \) \( = \left( {x - 5} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)\)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

ĐKXĐ : \(x \ne 2;\; x \ne  - 2\)

Quy đồng mẫu hai vế ta có:

\(\dfrac{{(x + 1)(x + 2)}}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{{(x - 1)(x - 2)}}{{{x^2} - 4}}\)\(\, = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\) 

\(\Leftrightarrow \dfrac{{(x + 1)(x + 2) + (x - 1)(x - 2)}}{{{x^2} - 4}} \)\(\,= \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\) 

Khử mẫu ta được: 

\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \)\(\,= 2\left( {{x^2} + 2} \right)\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + x + 2x + 2 + {x^2} - x - 2x + 2 \) \(=2{x^2} + 4\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 4 = 2{x^2} + 4\)

\(\Leftrightarrow 0x = 0 \left( \text{ luôn đúng } {\forall x \in\mathbb R} \right)\)

Mà ĐKXĐ :\(x \ne  \pm 2\)

Vậy phương trình có vô số nghiệm \(x \in\mathbb R;x \ne 2;x \ne  - 2\).

b) Phương trình đã cho tương đương với:

\( \left( {2x + 3} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right) \)\(- \left( {x - 5} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)\left( {2x + 3 - x + 5} \right) = 0 \)

\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{3x + 8 + 2 - 7x}}{{2 - 7x}}} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{10 - 4x}}{{2 - 7x}}} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{{\dfrac{{10 - 4x}}{{2 - 7x}}} =0\cr {x + 8 = 0} \cr}\right.\)

\( \Rightarrow \left[ \matrix{{10 - 4x = 0} \cr {x + 8 = 0} \cr}\right.\) 

\(\Leftrightarrow \left[\matrix{{x = \dfrac{5}{2}}\text{( thỏa mãn)} \cr {x = - 8}\text{ (thỏa mãn)} \cr}  \right. \)

Cả hai giá trị đều thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình có hai nghiệm :\(x = \dfrac{5}{2};\; x =  - 8\)

Biết rằng \(200\)g một dung dịch chứa \(50\)g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa \(20\%\) muối?

Hướng dẫn giải

Gọi \(x (g)\) là khối lượng nước phải pha thêm, với \(x > 0\).

Khối lượng dung dịch mới là \(200 + x \; (g)\).

Vì dung dịch mới có nồng độ \(20\%\) nên ta có phương trình:

\(\eqalign{
& {{50} \over {200 + x}} = {{20} \over {100}} \cr
& \Leftrightarrow {{50} \over {200 + x}} = {1 \over 5} \cr
& \Leftrightarrow {{5.50} \over {5\left( {200 + x} \right)}} = {{200 + x} \over {5\left( {200 + x} \right)}} \cr
& \Rightarrow 250 = 200 + x \cr
& \Leftrightarrow x = 250 - 200 \cr
& \Leftrightarrow x = 50 \text{ (thỏa mãn)}\cr} \)

Vậy phải pha thêm \(50g\) nước thì được dung dịch chứa \(20\%\) muối.

Câu 1: Tính gần đúng nghiệm của các phương trình sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai (dùng máy tính bỏ túi để tính toán)

a) \(\left( {x\sqrt {13}  + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7  - x\sqrt 3 } \right) = 0\)

b) \(\left( {x\sqrt {2,7}  - 1,54} \right)\left( {\sqrt {1,02}  + x\sqrt {3,1} } \right) \) \(= 0\)

Câu 2: Giải các phương trình sau:

a) \(\displaystyle{{9x - 0,7} \over 4} - {{5x - 1,5} \over 7} = {{7x - 1,1} \over 3} \) \(\displaystyle - {{5\left( {0,4 - 2x} \right)} \over 6}\)

b) \(\displaystyle{{3x - 1} \over {x - 1}} - {{2x + 5} \over {x + 3}} \) \(\displaystyle= 1 - {4 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

c) \(\displaystyle{3 \over {4\left( {x - 5} \right)}} + {{15} \over {50 - 2{x^2}}} =  - {7 \over {6\left( {x + 5} \right)}}\)

d) \(\displaystyle{{8{x^2}} \over {3\left( {1 - 4{x^2}} \right)}} = {{2x} \over {6x - 3}} - {{1 + 8x} \over {4 + 8x}}\)

Câu 3: Cho phương trình (ẩn \(x\)): \(4{x^2} - 25 + {k^2} + 4kx = 0\)

a) Giải phương trình với \(k = 0.\)

b) Giải phương trình với \(k = -3.\)

c) Tìm các giá trị của \(k\) sao cho phương trình nhận \(x = -2\) làm nghiệm.

Câu 4: Số nhà của Khanh là một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu thêm chữ số \(5\) vào bên trái số đó thì được một số kí hiệu là \(A\). Nếu thêm chữ số \(5\) vào bên phải số đó thì được một số kí hiệu là \(B\). Tìm số nhà của Khanh, biết rằng \(A – B = 153.\)

Câu 5: Hai xe ô tô cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài \(163 km\). Trong \(43km\) đầu, hai xe có cùng vận tốc. Nhưng sau đó chiếc xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp \(1,2\) lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó xe thứ nhất đã đến Hà Nội sớm hơn xe thứ hai \(40\) phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe.

Câu 1: Chọn khẳng định đúng.

A. Phương trình 8x (3x − 5) = 6 (3x − 5)có hai nghiệm trái dấu

B. Phương trình 8x (3x − 5) = 6 (3x − 5)có hai nghiệm cùng dương

C. Phương trình 8x (3x − 5) = 6 (3x − 5)có hai nghiệm cùng âm                        

D. Phương trình 8x (3x − 5) = 6 (3x − 5)có một nghiệm duy nhất

Câu 2: Khiêm đi từ nhà đến trường Khiêm thấy cứ 10 phút lại gặp một xe buýt đi theo hướng ngược lại. Biết rằng cứ 15 phút lại có 1 xe buýt đi từ nhà Khiêm đến trường là cũng 15 phút lại có 1 xe buýt đi theo chiều ngược lại. Các xe chuyển động với cùng vận tốc. Hỏi cứ sau bao nhiêu phút thì có 1 xe cùng chiều vượt qua Khiêm.

A. 10   

B. 20

C. 30   

D. 40

Câu 3: Tập nghiệm của phương trình 3x - 6 = 0 là ?

   A. S = { 1 }

   B. S = { 2 }

   C. S = { - 2 }

   D. S = { 1 }

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình - 4x + 7 = - 1 là?

A. S = {2}.   

B. S = {- 2}.

C. S = {\(\frac{3}{2}\)}.   

D. S = {3}.

Câu 5: Gọi \(x_{0}\) là nghiệm của phương trình \(2(x-3) + 5x(x-1) = 5x^{2}\). Chọn khẳng định đúng.

A. \(x_{0}\) > 0 

B. \(x_{0}\) < −2 

C. \(x_{0}\) > −2 

D. \(x_{0}\) > −3

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau: 

• Hiểu được khái niệm phương trình và các thuật ngữ như: vế phải, vế trái, nghiệm của phương trình, tập nghiệm của phương trình (ở đây chưa đưa vào khái niệm tập xác định của ptrình), hiểu và biết cách sử dụng các thuật ngữ cần thiết khác để diễn đạt bài giải ptrình sau này
•  Hiểu khái niệm giải phương trình, bước đầu làm quen và biết cách sử dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân