Toán 8 Chương 1 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

\({A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})\)

 \({A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})\) 

Cũng như các hằng đẳng thức trước, việc chứng minh hai hằng đẳng thức này cũng dựa vào quy tắc Nhân đa thức với đa thức mà chúng ta đa học. 

Câu 1: Viết lại biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu:

 \(\left( {2x - 4{y^2}} \right)\left( {4{x^2} + 8x{y^2} + 16{y^4}} \right)\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} \left( {2x - 4{y^2}} \right)\left( {4{x^2} + 8x{y^2} + 16{y^4}} \right)\\ = \left( {2x - 4{y^2}} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + \left( {2x} \right)\left( {4{y^2}} \right) + {{\left( {4{y^2}} \right)}^2}} \right]\\ = {\left( {2x} \right)^3}-{\left( {4{y^2}} \right)^3}\\ = 8{x^3} - 64{y^6} \end{array}\)

Câu 2: Chứng minh rằng:\(({x^3} + {y^3})({x^3} - {y^3}) = ({x^2} - {y^2})({x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4})\)

Hướng dẫn giải

Ta có vế trái:  \(({x^3} + {y^3})({x^3} - {y^3}) = {\left( {{x^3}} \right)^2} - {\left( {{y^3}} \right)^2} = {x^6} - {y^6}\)

Ta có vế phải: 
\(\begin{array}{l} ({x^2} - {y^2})({x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4})\\ = ({x^2} - {y^2})\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + {x^2}{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right]\\ = {\left( {{x^2}} \right)^3} - {\left( {{y^2}} \right)^3}\\ = {x^6} - {y^6}\\ \end{array}\)

Nhận thấy rằng vế trái bằng với vế phải.

Vậy ta có điều cần chứng minh.

Câu 3: Chứng minh rằng: \(({11^3} - 1)^n\) chia hết cho \(10^n\).

Hướng dẫn giải

Ta có thể biến đổi biểu thức như sau:

\(\begin{array}{l} {\left( {{{11}^3} - 1} \right)^n}\\ = {\left[ {(11 - 1)({{11}^2} + 11 + 1)} \right]^n}\\ = {\left[ {(10)({{11}^2} + 11 + 1)} \right]^n}\\ = {10^n}{({11^2} + 11 + 1)^n} \end{array}\)

nhận thấy rằng biểu thức này chia hết cho  \(10^n\). Vậy ta có điều cần chứng minh.

Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\left( x+2 \right)\left( {{x}^{3}}-2x+4 \right)-\left( 24+{{x}^{3}} \right)\)

b) \(\left( 3x-y \right)\left( 9{{x}^{2}}+3xy+{{y}^{2}} \right)-\left( 3x+y \right)\left( 9{{x}^{2}}-3xy+{{y}^{2}} \right)\)

Câu 2: Viết lại biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu: \(\left( x-3{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+3x{{y}^{2}}+9{{y}^{4}} \right)\)

Câu 1: Hằng đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức tổng của hai lập phương 

A. \(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\)

B. \(A^3+B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\)

C. \((A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\)

D. \((A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\)

Câu 2: Khai triển hằng đẳng thức hiệu của hai lập phương ta được kết quả nào sau đây?

A. \((A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\)

B. \(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\)

C. \(A^3-B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\)

D. \(A^3-B^3=(A-B)(A+B)\)

Câu 3: Giá trị của bieru thức \(P=8x^3+12x^2+6x+1\) tại \(x=2\) là ?

A. 27

B. 48

C. 8

D. 75

Câu 4: Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu

\({x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}\)

A. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}\)

B. \((2x-1)^2\)

C. \((x-3)^3\)

D. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^3}\)

Câu 5: Khai triển \({\left( {a + b + c} \right)^3}\) ta được kết quả nào sau đây?

A. \({\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\)

B. \({\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab(b + c)\)

C. \({\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc\left( {a + b + c} \right)\)

D. \({\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab + 3bc + 3ca\)

Qua bài học này, các em cần đạt được những mục tiêu sau:

• Ghi nhớ được hằng đẳng thức  tổng của lập phương, hiệu của hai lập phương.
• Vận dụng được các hằng đẳng thức đã học để giải các bài toán liên quan.