Toán 8 Chương 1 Bài 8: Đối xứng tâm

- Hai điểm gọi đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

- M và M’ đối xứng nhau qua O \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M,\,O,\,M'\,thang\,hang\,\\OM' = OM\end{array} \right.\)

a) Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm của hình này đối xứng qua O với một điểm thuộc hình kia và ngược lại

b) Tính chất

Định lí: Nếu hai đoạn thẳng AB và A’B’ có các điểm A và A’, B và B’ đối xứng với nhau qua điểm O thì:

• AB = A’B’
• AB và A’B’ đối xứng với nhau qua O.

c) Chú ý: Từ định lí trên, ta suy ra rằng trong đối xứng tâm:

• Hình đối xứng với một đường thẳng là một đường thẳng song song với nó.
• Hình đối xứng của một góc là một góc bằng nó.
• Hình đối xứng của một tam giác là một tam giác bằng nó.
• Hình đối xứng của một đường tròn là một đường tròn bằng nó.

a) Định nghĩa: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua O của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F.

b) Một vài hình có tâm đối xứng quen thuộc

• Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của nó
• Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

- Cho một đường thẳng a và một điểm A không thuộc a. Để vẽ qua A đường thẳng a’ // a, ta làm như sau:

• Lấy một điểm \(A' \in a.\) Nối AA’ vẽ trung điểm O của AA’
• Lấy một điểm \(B' \in a\) và vẽ điểm B đối xứng với B’ qua điểm O.

- Đường thẳng AB chính là đường thẳng a’, đi qua A và song song với a.

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Trên đường chéo AC có hai điểm I, J sao cho AI = IJ = JC.

a. Chứng minh hai điểm I, J đối xứng với nhau qua tâm O.

b. Chứng minh tứ giác DIBJ nhận điểm O làm tâm đối xứng.

c. DI cắt AB ở E và BJ cắt CD ở F. Chứng minh hai điểm E, F đối xứng với nhau qua tâm O.

Hướng dẫn giải

a. Tứ giác ABCD là hình bình hành nên:

OA = OB

Kết hợp với IA = JC

Ta suy ra OI = OJ

O là trung điểm của IJ. Vậy hai điểm I, J đối xứng với nhau qua điểm O.

b. Hai điểm I và J đối xứng với nhau qua điểm O.

Hai điểm D và B đối xứng với nhau qua điểm O.

Vậy hai đoạn thẳng DE và BJ đối xứng với nhau qua điểm O, cho ta DI // BJ và \(DI{\rm{ }} = {\rm{ }}BJ \Rightarrow DIBJ\) là hình bình hành. Rõ ràng hình bình hành DIBJ nhận trung điểm O của đường chéo DB là tâm đối xứng.

c. Do DE // BF và DF // EB \( \Rightarrow \) DEBF là hình bình hành. Hình bình hành DEBF cũng có tâm là điểm O nên hai đỉnh E, F đối xứng với nhau qua tâm O.

Câu 2: Cho tam giác ABC, trọng tâm G.

a. Vẽ tam giác A’B’C’ đối xứng với tam giác ABC qua điểm G

b. Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Hướng dẫn giải

a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

Theo tính chất của trọng tâm, ta có \(GM = \frac{1}{2}AG.\) Trên tia GM ta đặt đoạn MA’ = GM, như vậy A’G = AG.

Hai điểm A và A’ đối xứng nhau qua trọng tâm G.

Tương tự, ta vẽ được các điểm B’ đối xứng với B qua G và điểm C’ đối xứng với C qua G.

b. Gọi M’ là giao điểm của B’C’ với AG. Vì B’C’ và BC đối xứng với nhau qua G mà M là trung điểm của BC nên suy ra M’ là trung điểm của B’C’ và M’ cũng là trung điểm của AG, cho ta \(GM' = \frac{1}{3}M'A' \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta A'B'C'.\)

Câu 3: 

a. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A, C. Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C qua một điểm O trong mặt phẳng. Chứng minh rằng ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng và điểm B’ nằm giữa hai điểm A’, C’.

b. Hãy nêu và giải bài toán với giả thiết ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a. Xét hai tam giác OAB và OA’B’ ta có:

OA = OA’

\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (đối đỉnh)

OB = OB’

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta OAB = \Delta OA'B'\\ \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

Tương tự ta có BC = B’C’

CA=C’A’

Vì điểm B thuộc đoạn thẳng AC nên AC = AB + BC

Kết hợp với các kết quả trên, ta suy ra A’C’ = A’B’ + B’C’.

Đẳng thức này chứng tỏ ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng và điểm B’ thuộc đoạn thẳng A’C’.

b. Giả sử ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Như vậy AC < AB + BC

Cũng từ đây suy ra A’C’ < A’B’ + B’C’

Bất đẳng thức này chứng tỏ ba điểm A’, B’, C’ không thẳng hàng. Ta có thể phát biểu đề:

“Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì các điểm A’, B’, C’ đối xứng với chúng qua O cũng không thẳng hàng.

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD và một hình  bình  hành A’B’C’D’ có các đỉnh \(A' \in AB;B' \in BC;\,C' \in CD\) và \(D' \in DA.\) Chứng minh hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ có chung một tâm đối xứng.

Câu 2: Cho tam giác ABC và một điểm M thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và A’, B’, C’ theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua các điểm F, E, D.

a. Chứng minh tứ giác ABA’B’ là hình bình hành. Trên hình vẽ có bao nhiêu hình bình hành?

b. Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.

Câu 3: Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và M là trung điểm của đoạn thẳng \(AA;{\rm{ }}{B_1},{C_1}\) theo thứ tự là các điểm đối xứng qua M của các điểm B, C.

a. Chứng minh \({C_1}{B_1}CB\) là hình bình hành

b. Ba điểm \({C_1},A,B\)  thẳng hàng

c. B’ và C’ đối xứng với nhau qua điểm M.

Câu 1: Chọn ý đúng

A.  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O thuộc đoạn thẳng nối hai điểm đó

B.  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O cách đều hai điểm đó

C.  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó

D.  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là đoạn thẳng trung trực của hai điểm đó

Câu 2: Cho AB = 6cm, A' là điểm đối xứng với A qua B, AA' có độ dài bằng bao nhiêu?

A. AA' = 3cm

B. AA' = 12cm

C. AA' = 6cm

D. AA' = 9cm

Câu 3: Chọn ý sai

A. Hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau

B. Hai góc đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau

C. Hai đường thẳng đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau

D. Hai đtam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau

Câu 4: Hình nào dưới đây có tâm không phải là giao điểm của hai đường chéo

A.  Hình bình hành

B.  Hình chữ nhật

C.  Hình thang

D.  Hình thoi

Câu 5: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' đối xứng với nhau qua điểm I biết AB= 4 cm, AC = 8 cm và chu vi tam giác ABC là 22 cm. Hỏi độ dài cạnh B'C' của tam giác A'B'C' là bao nhiêu?

A. B'C' = 9 cm

B. B'C' = 8 cm

C. B'C' = 4 cm

D. B'C' = 10 c

Qua bài học này, các em cần nắm được những mục tiêu sau:

• Nắm được khái niệm về đối xứng tâm.
• Ghi nhớ được tính chất của phép đối xứng tâm.
• Vận dụng kiến thức giải được một số bài toán liên quan.