Toán 8 Chương 2 Bài 3: Rút gọn phân thức

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta phải:

• Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung
• Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau

Có khi cần đổi dấu tử hoặc mẫu thức để xuất hiện nhân tử chung.

Rút gọn phân thức

a. \(\frac{{12{x^3}y}}{{9{x^2}{y^4}}}\)

b. \(\frac{{4{x^3} + 20x}}{{{x^2} + 5}}\)

c. \(\frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\)

Hướng dẫn giải

a.

\(\begin{array}{l} \frac{{12{x^3}y}}{{9{x^2}{y^4}}}\\ = \frac{{4x}}{{{y^3}}} \end{array}\)

b.

 \(\begin{array}{l} \frac{{4{x^3} + 20x}}{{{x^2} + 5}}\\ = \frac{{4x\left( {{x^2} + 5} \right)}}{{{x^2} + 5}}\\ = 4x \end{array}\)

c.

\(\begin{array}{l} \frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\\ = \frac{{2{y^4}}}{{3x\left( {2x - 3y} \right)}} \end{array}\)

Rút gọn phân thức bằng cách đổi dấu hạng tử:

a. \(\frac{{12{x^2} - 8x}}{{40 - 60x}}\)  

b. \(\frac{{8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}{{12{x^3}\left( {1 - 3x} \right)}}\) 

c. \(\frac{{\left( {{x^2} - xy} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^3}}}{{\left( {5{y^2} - 5xy} \right){{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}\)

Hướng dẫn giải

a.

 \(\begin{array}{l} \frac{{12{x^2} - 8x}}{{40 - 60x}}\\ = \frac{{4x(3x - 2)}}{{ - 20\left( {3x - 2} \right)}}\\ = \frac{x}{{ - 5}}\\ = \frac{{ - x}}{5} \end{array}\)

b.

 \(\begin{array}{l} \frac{{8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}{{12{x^3}\left( {1 - 3x} \right)}}\\ = \frac{{2y{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{3{x^2}(1 - 3x)}}\\ = \frac{{2y\left( {1 - 3x} \right)}}{{3{x^2}}} \end{array}\)

c.

\(\begin{array}{l} \frac{{\left( {{x^2} - xy} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^3}}}{{\left( {5{y^2} - 5xy} \right){{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}\\ = \frac{{x\left( {x - y} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^3}}}{{ - 5y\left( {x - y} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{x\left( {2x - 1} \right)}}{{ - 5y}}\\ = \frac{{x\left( {1 - 2x} \right)}}{{5y}} \end{array}\)

Rút gọn phân thức A bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử:

\(A = \frac{{8{x^2} - 8x + 2}}{{\left( {4x - 2} \right)\left( {15 - x} \right)}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} A = \frac{{8{x^2} - 8x + 2}}{{\left( {4x - 2} \right)\left( {15 - x} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{2\left( {2x - 1} \right)\left( {15 - x} \right)}}{\rm{ }}\\ = \frac{{2{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {2x - 1} \right)\left( {15 - x} \right)}}\\ = \frac{{2x - 1}}{{15 - x}}\\ \end{array}\)

Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:

a) \(\dfrac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\)

b) \(\dfrac{{8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^3}}}{{12{x^3}\left( {1 - 3x} \right)}}\)

c) \(\dfrac{{20{x^2} - 45}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)

d) \(\dfrac{{5{x^2} - 10xy}}{{2{{\left( {2y - x} \right)}^3}}}\)

Câu 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\displaystyle {{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy - {y^2}}} = {{xy + {y^2}} \over {2x - y}}\)

b) \(\displaystyle {{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} = {1 \over {x - y}}\)

Câu 3: Cho hai phân thức \(\displaystyle {{{x^3} - {x^2} - x + 1} \over {{x^4} - 2{x^2} + 1}}\) , \(\displaystyle {{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}\). Theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.

Câu 4: Tìm \(x\), biết:

a) \({a^2}x + x = 2{a^4} - 2\) với \(a\) là hằng số;

b) \({a^2}x + 3ax + 9 = {a^2}\) với \(a\) là hằng số, \(a ≠ 0\) và \(a ≠ -3.\)

Câu 1: Rút gọn phân thức \(\frac{{3x(x - 8)}}{{{x^2}(8 - x)}}\,\) sau ta được kết quả nào sau đây?

A. \(\,\,\frac{3}{x}\,\,\)

B. \(\, - \frac{3}{x}\,\)

C. \(\,\,3x\,\,\)

D. \(\, - \frac{x}{3}\)

Câu 2: Giá trị của \(\,A = \,\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 2}}\,\) tại x = 1 là

A. A = -3

B. A = -2

C. A = 3

D. A = -2

Câu 3: Cho phân thức \(\frac{{7x{y^2}}}{{4xy}}\) nhân tử chung của tử và mẫu là

A. \(xy\)

B. \(x{y^2}\)

C. \(x\)

D. \(2y\)

Câu 4: Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{x - 7}}{{{x^2} - 5x + 6}}\,\) là :

A. \(\,x \ne 2\)

B. \(\,\,\,\,x \ne 3\)

C. \(x \ne 1\)

D. \(\,x \ne 2\)  và  \(\,\,\,\,x \ne 3\)

Câu 5: Rút gọn \(\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 5x + 6} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) ta được kết quả nào sau đây

A. \(\,\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}}\)

B. \(\frac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

C. \(\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 3}}\)

D. 1

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được các quy tắc rút gọn phân thức qua đó biết cách để rút gọn các bài toán.
• Nắm được một số kĩ năng Toán học cần thiết, rèn luyện tính chính xác, cẩn thận khi làm bài.