Toán 8 Chương 1 Bài 9: Hình chữ nhật

Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. 

Ví dụ: Hình chữ nhật ABCD có 4 góc vuông.

- Từ định nghĩa này, ta suy ra:

• Hình chữ nhật là hình thang cân có một góc vuông.
• Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông.

- Vì hình chữ nhật là hình thang cân và cũng là hình bình hành nên nó có các tính chất của hình thang cân và các tính chất của hình bình hành, đặc biệt là:

• Trong một hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Ngược lại, một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

- Hình chữ nhật có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

- Hình chữ nhật có hai trục đối xứng là hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) đi qua các trung điểm của hai cạnh đối diện.

- Các trục đối xứng của hình chữ nhật đi qua tâm đối xứng, vuông góc với các cạnh, và vuông góc với nhau.

- Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, ta có thể chứng minh nó có một trong bốn tính chất sau:

• Có ba góc vuông
• Là hình thang cân có một góc vuông
• Là hình bình hành có một góc vuông
• Có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hoặc là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

- Định lí: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền. Ngược lại, trong một tam giác, nếu đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh bằng một nửa cạnh đối diện thì tam giác đó là tam giác vuông.

- Định lí này thường được sử dụng để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau và phần ngược lại được sử dụng để chứng minh một tam giác vuông.

- Những điểm cách một đường thẳng cho trước a một khoảng không đổi h nằm trên hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng bằng h”.

- Định lí:

• Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì nếu chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
• Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.

Câu 1: Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H và giao điểm của các đường trung trực là điểm O. Gọi P, Q, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AH, AC.

a. Chứng minh tứ giác OPQN là hình bình hành.

b. Tam giác ABC phải có điều kiện gì để tứ giác OPQN là hình chữ nhật?

Hướng dẫn giải

a. O là giao điểm của các đường trung trực nên:

\(OP \bot AB;\,\,\,\,ON \bot AC\)

Trong \(\Delta AHC,\) QN là đường trung bình nên QN//HC.

Mà \(HC \bot AB\) nên \(QN \bot AB.\)

Vậy OP // QN  (1)

Chứng minh tương tự, ta có

ON // PQ (2)

(1) và (2) suy ra đpcm

b. Để OPQN là hình chữ nhật thì

\(PQ \bot QN \Rightarrow HB \bot HC.\)

Rõ ràng trong trường hợp này điểm H phải trùng với điểm A, tức là tam giác ABC vuông tại đỉnh A.

Câu 2: Cho tam giác ABC, đỉnh A; kẻ phân giác AD. Qua D dựng đường thẳng song song với AB, đường này cắt cạnh AC tại điểm E. Qua E ta kẻ đường  thẳng song song với BC, đường thẳng song song với BC, đường này cắt AB tại điểm F.

a. Chứng minh AE = BF

b. Xác định hình dạng của tam giác ABC trong trường hợp điểm E là trung điểm của cạnh AC.

Hướng dẫn giải

a. Tứ giác BDEF là hình bình hành cho ta

BF = ED   (1)

\(DE = AB \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{A_1}}\)

Giả thiết cho \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{A_1}}\)

Vậy \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{A_2}} \Rightarrow \Delta AED\)cân

Suy ra AE = ED (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

b. Khi E là trung điểm AC thì \(DE = \frac{1}{2}AC\)

\( \Rightarrow \Delta ADC\) vuông tại D hay AD là đường cao của \(\Delta ABC.\) Giả thiết cho AD là phân giác góc A. Vậy \(\Delta ABC\) cân tại A.

Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Từ đỉnh B kẻ BH vuông góc với đường chéo AC (H thuộc AC). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, AB, NC và DC.

a. Chứng minh \(MP = \frac{1}{2}NC.\)

b. Chứng minh \(BM \bot MQ\)

Hướng dẫn giải

a. Trong \(\Delta ABH\), MN là đường trung bình: MN // BH

\( \Rightarrow \Delta NMC\) vuông đỉnh M, MP là trung tuyến thuộc cạnh huyền NC nên

\(MP = \frac{1}{2}NC\)

b. Tứ giác BNQC là hình chữ nhật; P là giao điểm của hai đường chéo; NC = BQ

Suy ra \(MP = \frac{1}{2}BQ\)

Tam giác BMQ có trung tuyến MP bằng nửa cạnh tương ứng BQ. Vậy nó là tam giác vuông tại đỉnh M, suy ra \(BM \bot MQ.\)

Câu 1: Cho tam giác ABC. Từ đỉnh A, ta kẻ các đường AP, AQ theo thứ tự vuông góc với các tia phân giác ngoài của góc B; các đường thẳng  AR, AS theo thứ tự vuông góc với các tia phân giác trong và phân giác ngoài của góc C. Chứng minh:

a. Các tứ giác APBQ, ARCS là các hình chữ nhật.

b. Bốn điểm Q, R, P, S thẳng hàng.

c. \(QS = \frac{1}{2}(AB + BC + CA).\)

d. Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì để APBQ là hình vuông? Từ đó suy ra rằng không thể có trường hợp cả hai tứ giác APBQ và ARCS đều là hình vuông.

Câu 2: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Từ một điểm D trên đáy BC ta kẻ đường vuông góc với BC, đường này cắt AB ở E và cắt AC ở điểm F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Gọi I, J theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK và M là trung điểm của đoạn thẳng AD.

a. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng HK là một điểm cố định, không phụ thuộc vào vị trí của điểm D trên cạnh BC.

b. Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng hàng và ba đường thẳng AD, HJ, KI đồng quy.

c.  Khi điểm D di chuyển trên cạnh BC thì điểm M di chuyển trên đoạn thẳng nào?

Câu 3: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BE, CD và gọi H là trực tâm của tam giác. M, N, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AH và DE.

a. Chứng minh rằng ba điểm M, N, K thẳng hàng

b. Dựa vào kết quả trên suy ra rằng nếu ta gọi P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của AB, HC, AC, HB thì ba đường thẳng MN, PQ, RS đồng quy.

Câu 1:  Dấu hiệu nhận biết nào dưới đây là chưa đúng?

A.  Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật

B.  Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật

C.  Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

D.  Hình bình hành  có hai đường chéo vuông góc là hình chữ nhật

Câu 2: Cho ta, giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến. Biết BC = 10 cm. Hỏi AM =?

A. AM = 10 cm

B. AM = 5 cm 

C. AM = 12 cm

D.  Không đủ dữ kiện để tính AM

Câu 3: Cho hình chữa nhật ABCD có AB = 5 cm và diện tích hình chư nhật là 40 cm2. Hỏi độ dài đường chéo bằng bao nhiêu?

A. \(\sqrt {89} \,\,\)cm

B. \(\sqrt {98} \,\)cm

C. 10 cm

D.  8 cm

Câu 4:  Cho một tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài 6 cm, thì cạnh huyền có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 6 cm 

B.  3 cm

C. 12 cm

D.  10 cm

Câu 5: Chọn ý sai

A.  Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân

B.  Hình chữ nhật có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo

C. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng

D.  Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Nhận biết được hình chữ nhật.
• Ghi nhớ được tính chất, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.
• Vận dụng kiến thức giải được một số bài toán liên quan.