Toán 8 Chương 3 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba

Định lí

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng

Trong các tam giác dưới đây, những cặp tam giác nào đồng dạng với nhau ? Hãy giải thích (h.41)

Hướng dẫn giải

\(ΔABC\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\)\(=140^0\)

Mà \(ΔABC\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat B = \widehat C\)  

\(\Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{140^0}}{2} = {70^o}\)

\(ΔMNP\) cân tại \(P \Rightarrow \widehat M = \widehat N = {70^o}\)

\(ΔABC\) và \(ΔPMN\) có

\(\eqalign{& \widehat B = \widehat M = {70^o}  \cr & \widehat C = \widehat N = {70^o}  \cr &  \Rightarrow \Delta ABC \text{ đồng dạng } \Delta PMN\,\,\left( {g.g} \right) \cr} \)

\(\Delta A'B'C'\) có \(\widehat {A'} + \widehat {B'} + \widehat {C'} = {180^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {C'} = {180^o} - \left( {\widehat {A'} + \widehat {B'}} \right) \)\(\,= {180^o} - \left( {{{70}^o} + {{60}^o}} \right) = {50^o}\)

\(ΔA’B’C’\) và \(ΔD’E’F’\) có

\(\eqalign{& \widehat {B'} = \widehat {E'} = {60^o}  \cr & \widehat {C'} = \widehat {F'} = {50^o}  \cr &  \Rightarrow \Delta A'B'C' \text{ đồng dạng } \Delta D'E'F'\,\,\left( {g.g} \right) \cr} \) 

Ở hình 42 cho biết AB = 3cm; AC = 4,5cm và ∠(ABD) = ∠(BCA).

a) Trong hình vẽ này có bao nhiêu tam giác ? Có cặp tam giác nào đồng dạng với nhau không ?

b) Hãy tính các độ dài x và y (AD = x, DC = y).

c) Cho biết thêm BD là tia phân giác của góc B. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng BC và BD.

Hướng dẫn giải

a) Trong hình vẽ có \(3\) tam giác: \(ΔABD, ΔCBD, ΔABC\).

\(ΔABD\) và \(ΔACB\) có

\(\widehat B = \widehat C\)

\(\widehat A\)  chung

\(⇒ ΔABD\) đồng dạng \(ΔACB\) (g.g)

b) \(ΔABD\) đồng dạng \(ΔACB\)

\(\eqalign{&  \Rightarrow {{AB} \over {AD}} = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow {3 \over {AD}} = {{4,5} \over 3}  \cr &  \Rightarrow AD = x = {{3.3} \over {4,5}} = 2 \cr} \)

\(⇒ y = 4,5 - 2 = 2,5\)

c) \(BD\) là tia phân giác của góc \(B\).

\(\eqalign{ &  \Rightarrow {{AB} \over {BC}} = {x \over y} \Rightarrow {3 \over {BC}} = {2 \over {2,5}}  \cr &  \Rightarrow BC = {{3.2,5} \over 2} = 3,75 \cr} \)

Ta có: 

\(\eqalign{& \Delta ABD \text{ đồng dạng }\Delta ACB  \cr &  \Rightarrow {{AB} \over {BD}} = {{AC} \over {BC}} \Rightarrow {3 \over {BD}} = {{4,5} \over {3,75}}  \cr &  \Rightarrow BD = {{3.3,75} \over {4,5}} = 2,5 \cr} \)

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD .Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh hai tam giác ADE và CBF đồng dạng với nhau.

Câu 2: Tam giác vuông \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \) và đường cao \(AH.\) Từ điểm \(H\) hạ đường \(HK\) vuông góc với \(AC\) (h.27).

a) Hỏi trong hình đã cho có bao nhiêu tam giác đồng dạng với nhau?

b) Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo thứ tự các đỉnh tương ứng và viết tỉ lệ thức giữa các cặp cạnh tương ứng của chúng.

Câu 3: Hình thang \(ABCD (AB // CD)\) có \(AB = 2,5cm, AD = 3,5cm,\) \(BD = 5cm\) và \(\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\)  (h.28).

a) Chứng minh \(∆ ADB\backsim ∆ BCD.\)

b) Tính độ dài các cạnh \(BC, CD\).

c) Sau khi tính, hãy vẽ lại hình chính xác bằng thước và compa.

Câu 4: Cho tam giác vuông \(ABC\) (\(\widehat A = 90^\circ \)). Dựng \(AD\) vuông góc với \(BC\) (\(D\) thuộc \(BC\)). Đường phân giác \(BE\) cắt \(AD\) tại \(F\) (h.29).

Chứng minh: \(\displaystyle {{FD} \over {FA}} = {{EA} \over {EC}}\). 

Câu 1: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến và có \(\widehat{BAM}=\widehat{BCA}\). Chứng minh được 

A. \(AB^{2}=2BC^{2}\)

B. \(AB^{2}=\sqrt{2}BC^{2}\)

C. \(AB^{2}=\frac{1}{2}BC^{2}\)

D. \(AB^{2}=4BC^{2}\)

Câu 2: Chọn câu trả lời đúng nhất. Cho tam giác ABC vuông tại A, M trên cạnh AB. Vẽ \(MD \perp BC (D \in BC)\) MD cắt AC tại E

A. Chứng minh được rằng EM.ED=EA.EC

B. Chứng minh được rằng BM.BA=BD.BC

C. Cả a,b đều đúng 

D. Cả a,b đều sai 

Câu 3: Cho tam giác ABC, AB=6cm,AC=9cm, \(\widehat{ABD}=\widehat{BCA}\).  AD=x. Tính x

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Câu 4: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AB=12,5cm,CD=28,5cm, \(\widehat{DAB}=\widehat{DBC}\). Vậy độ dài BD gần bằng số nào nhất:

A. 17,5

B. 18

C. 18,5

D. 19

Câu 5: Chọn câu trả lời đúng.Nếu hai tam giác ABC và DEF có \(\widehat{A}=\widehat{D}\), \(\widehat{C}=\widehat{E}\) thì:

A. \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\)

B. \(\Delta ABC \sim \Delta DFE\)

C. \(\Delta ACB \sim \Delta DFE\)

D. \(\Delta BAC \sim \Delta DFE\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được cách chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp g.g
• Vẽ hình và chứng minh tam giác đồng dạng.