Toán 8 Chương 2 Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức

• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức phân thức đã cho: \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (M là một đa thức khác đa thức 0).

• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: \(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) (N là một nhân tử chung).

• Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: \(\frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{{ - B}}\)

Chứng minh các phân số sau bằng  nhau:

a.\(\frac{{5 - 2x}}{{ - 7x}} = \frac{{2x - 5}}{{7x}}\)

b.\(\frac{{{{(3x - 1)}^3}}}{{ - 5\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{5}\)

Hướng dẫn giải

a.

\(\begin{array}{l} \frac{{5 - 2x}}{{ - 7x}} = \frac{{2x - 5}}{{7x}}\\ \frac{{ - 1.\left( {5 - 2x} \right)}}{{ - 1.\left( { - 7x} \right)}} = \frac{{2x - 5}}{{7x}}\\ \frac{{2x - 5}}{{7x}} = \frac{{2x - 5}}{{7x}} \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{{{{(3x - 1)}^3}}}{{ - 5\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{5}\\ \frac{{\left( {3x - 1} \right).{{(3x - 1)}^2}}}{{ - 5\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{5}\\ \frac{{ - \left( {1 - 3x} \right).{{(3x - 1)}^2}}}{{ - 5\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{5}\\ \frac{{{{(3x - 1)}^2}}}{5} = \frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{5}\\ \frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{5} = \frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{5} \end{array}\)

Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống:

\(\frac{{{x^5} + 2{x^3}}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{...}}{{x - 3}}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^5} + 2{x^3}}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{...}}{{x - 3}}\\ \frac{{{x^3}\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{...}}{{x - 3}}\\ \frac{{{x^3}}}{{x - 3}} = \frac{{{x^3}}}{{x - 3}} \end{array}\)

Vậy: đa thức được điền vào là đơn thức \({x^3}\)

Dùng tính chất cơ bản của hai phân thức chứng tỏ rằng:

\(\frac{{{y^2} - {x^2}}}{{{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}}} = \frac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} \frac{{{y^2} - {x^2}}}{{{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}}} = \frac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}\\ \frac{{ - \left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{{{\left( {x - y} \right)}^3}}} = \frac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}\\ \frac{{ - \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{{{\left( {x - y} \right)}^3}}} = \frac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}\\ \frac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}\\ \frac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}} = \frac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}} \end{array}\)

Câu 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

a) \(\displaystyle {{x - {x^2}} \over {5{x^2} - 5}} = {x \over {...}}\)

b) \(\displaystyle {{{x^2} + 8} \over {2x - 1}} = {{3{x^3} + 24x} \over {...}}\)

c) \(\displaystyle {{...} \over {x - y}} = {{3{x^2} - 3xy} \over {3{{\left( {y - x} \right)}^2}}}\)

Câu 2: Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức \(A\) cho trước :

a) \(\displaystyle {{4x + 3} \over {{x^2} - 5}},A = 12{x^2} + 9x\)

b) \(\displaystyle {{8{x^2} - 8x + 2} \over {\left( {4x - 2} \right)\left( {15 - x} \right)}},A = 1 - 2x\)

Câu 3: Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức :

a) \(\dfrac{3}{{x + 2}}\) và \(\dfrac{{x - 1}}{{5x}}\)

b) \(\dfrac{{x + 5}}{{4x}}\) và \(\dfrac{{{x^2} - 25}}{{2x + 3}}\)

Câu 4: Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức :

a) \(\displaystyle {{3x} \over {x - 5}}\) và \(\displaystyle {{7x + 2} \over {5 - x}}\)

b) \(\displaystyle {{4x} \over {x + 1}}\) và \(\displaystyle {{3x} \over {x - 1}}\)

c) \(\displaystyle {2 \over {{x^2} + 8x + 16}}\) và \(\displaystyle{{x - 4} \over {2x + 8}}\)

Câu 1: Kết quả  rút gọn phân thức \(\frac{{4{x^2}{y^3}}}{{8xy}}\) là:

A. \(\frac{{x{y^2}}}{2}\)

B. \(\frac{2}{{xy}}\,\)

C. \(\frac{{xy}}{2}\)

D. \(\,2x{y^2}\)

Câu 2: Phân thức\(\frac{2}{{5xy}}\,\,\)bằng phân thức nào sau đây?

A. \(\,\,\frac{{10}}{{xy}}\,\)

B. \(\,\,\,\frac{3}{{8xy}}\)

C. \(\,\,\frac{{8x}}{{20{x^2}y}}\)

D. \(\,\,\frac{{8x}}{{10{x^2}y}}\)

Câu 3: Biểu thức nào dưới đây không phải là phân thức đại số

A. \(\frac{{x + 2}}{x}\)

B. \(\frac{1}{x}\,\)

C. \(\frac{{x + 2}}{0}\)

D. \({x^2} - 4\)

Câu 4: Cho phân thức \(\frac{{2x{y^2}}}{3}\). Phân thức nào sau đây bằng phân thức đã cho 

A. \(\frac{{4x{y^2}}}{{6x}}\)

B. \(\frac{{2{x^3}{y^3}}}{{3{x^2}y}}\)

C. \(\,\,\frac{{2x}}{{3{y^2}}}\,\,\)

D. \(\frac{{2{x^2}{y^2}}}{{3{y^2}}}\)

Câu 5: Chọn ý sai

A. \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\)  (M là một đa thức khác đa thức 0)

B. \(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) ( N là một nhân tử chung)

C. \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\) nếu AC = BD

D. \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\) nếu AD = BC

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm vững tính chất cơ bản của phân thức để làm cơ sở cho việc rút gọn phân thức
• Hiểu rõ qui tắc đổi dấu được suy ra từ tính chất cơ bản của phân thức
• Vận dụng tốt tính chất cơ bản của phân thức và qui tắc đổi dấu.