Toán 8 Ôn tập chương 4: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình không gian có 6 mặt đều là những hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.

Hai mặt đối diện nhau được xem là mặt đáy của hình hộp chữ nhật, các mặt còn lại được gọi là mặt bên

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là những hình vuông.

a) Thể tích hình hộp chữ nhật

Ta có V = a.b.h

b) Thể thích hình lập phương

Ta có: V = a³.

• Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.
• Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một và chỉ một mặt phẳng.
• Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.

- Hai đường thẳng a, b gọi là song song với nhau nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu a // b.

- Hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt trong không gian có thể:

– Cắt nhau – Song song – Chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng)

a) Đường thẳng song song với mặt phẳng

– Một đường thẳng a gọi là song song với một mặt phẳng ( P ) nếu đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng ( P ) và song song với một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng.

Kí hiệu a // ( P ).

– Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì chúng không có điểm chung.

b) Hai mặt phẳng song song

– Nếu mặt phẳng ( Q ) chứa hai đường thẳng cắt nhau, cùng song song với mặt phẳng ( P ) thì mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( P ). Kí hiệu ( Q )//( P ).

– Hai mặt phẳng song song với nhau thì không có điểm chung.

– Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm chung đó (đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng).

a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

– Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng ( P ) nếu đường thẳng dvuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( P ). Kí hiệu d ⊥ ( P ).

– Nếu một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong ( P ) và đi qua điểm A.

b) Hai mặt phẳng vuông góc

– Mặt phẳng ( P ) gọi là vuông góc với mặt phẳng ( Q ) nếu mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( Q ). Kí hiệu ( Q ) ⊥ ( P ).

– Hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.

– Các cạnh bên song song, bằng nhau và vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài cạnh bên được gọi chiều cao của hình lăng trụ đứng.

– Các mặt bên là những hình chữ nhật và vuông góc với hai mặt phẳng đáy.

– Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình lăng trụ đứng.

– Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

a) Công thức diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao:

S_xq = 2p.h    (p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao)

b) Diện tích toàn phần

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

S_tp = S_xq + 2S    (S: điện tích đáy)

c) Thể tích

Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao:

V = S.h    (S: diện tích đáy, h: chiều cao)

– Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh.

– Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

+ Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.

+ Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.

Hình chóp cụt đều là phần hình chóp đều nằm giữa mặt phẳng đáy của hình chóp và mặt phẳng song song với đáy và cắt hình chóp.

+ Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.

a) Diện tích xung quanh của hình chop đều

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

Sxq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)

b) Diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:

Stp = Sxq + S (S: diện tích đáy)

c) Công thức thể tích của hình chóp đều

Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:

V = \(\frac{1}{3}\).S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ đứng có chiều cao \(h\) và đáy với hình vuông cạnh \(a\);

Hướng dẫn giải

p là nửa chu vi đáy và h là chiều cao lăng trụ.

Diện tích xung quanh là:

\({S_{xq}} = 2p.h = 4.a.{\text{ }}h\)

Diện tích một đáy là :

\({S_đ} = {a^2}\)

Diện tích toàn phần của lăng trụ đứng là :

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_đ} = 4ah + 2{a^2}\)

Thể tích lăng trụ :

\(V = {S_đ}h = {a^2}.h\)

Tính diện tích toàn phần của thanh gỗ như ở hình 142 (mặt trước, mặt sau của thanh gỗ là những hình thang cân, bốn mặt còn lại đều là những hình chữ nhật, cho biết (\(\sqrt {10}  \approx 3,16\)).

Hướng dẫn giải

Thanh gỗ dạng hình lăng trụ đứng, đáy là hình thang cân. Ta tìm chiều cao của hình thang cân. Ta có:

\(\eqalign{
& DH = {1 \over 2}\left( {DC - AB} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {6 - 3} \right) = 1,5\left( {cm} \right) \cr} \)

Chiều cao: 

\(AH =\sqrt {AD^2 - DH^2}= \sqrt {3,{5^2} - 1,{5^2}}  \)\(\,= \sqrt {12,25 - 2,25}  \) \(= \sqrt {10}  \approx 3,16\left( {cm} \right)\) 

Diện tích xung quanh lăng trụ là :

\({S_{xq}}= 2ph = (3 + 6 + 3,5 + 3,5).11,5\)\(\,=16.11,5 = 184 \,(cm^2)\) 

Diện tích một mặt đáy là:

\(S_đ= \dfrac{{\left( {3 + 6} \right).3,16}}{2} = 14,22c{m^2}\)

Diện tích toàn phần :

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_đ}\)\(\,= 184 + 2.14,22 = 212,44 \,(cm^2)\)

Câu 1: Bồn đựng nước có dạng hình lăng trụ đứng các kích thước cho trên hình.

a.Tính diện tích bề mặt của bồn (không tính nắp).

b. Tính thể tích của bồn.

c. Khi bồn đầy ắp nước thì nó chứa được bao nhiêu ?

d. Lượng sơn cần thiết để sơn cả mặt trong và mặt ngoài của bồn là bao nhiêu (một lít sơn phủ được 16 mét vông).

f.Một vòi bơm với công suất 125 lít/phút để bơm một lượng nước vào bồn lên độ ccao cách đáy bồn là 1,05m thì phải mất bao lâu?

Câu 2: Tính diện tích toàn phần của lăng trụ đứng theo các kích thước cho ở hình.

Câu 3: Thùng của một xe tải có dạng hình lăng trụ đứng các kích thước cho ở trên hình

a) Tính thể tích của thùng chứa.

b) Nếu \(1m^3\) cát nặng \(1,6\) tấn và xe chở đến \(\displaystyle {3 \over 4}\) trọng tải của nó thì sức nặng cát lúc đó là bao nhiêu?

c) Khi cát được san phẳng chở đầy thì phần diện tích của nó bên trong thùng xe là bao nhiêu?

Câu 1: Một hình chóp tứ giác đều có chiều cao 35 cm, cạnh đáy 24 cm. Tính độ dài trung đoạn.

A. 37 cm

B. 73 cm

C. 27 cm

D. 57 cm

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có \(A′C = \sqrt{3}\). Tính thể tích của hình lập phương.  

A. \(3a^{3}\sqrt{3}\)

B. \(a^{3}\)

C. \(27a^{3}\)

D. \(9a^{3}\)

Câu 3: Hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và diện tích hình chữ nhật ADC′B′ bằng \(2a^{2}\), diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?

A. S_xq = \(4a^{2}\sqrt{3}\)

B. S_xq = \(2a^{2}\sqrt{3}\)

C. S_xq = \(4a^{2}\)

D. S_xq = \(4a^{2}\sqrt{2}\)

Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2cm, AD = 3cm, AA' = 4cm. Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' ?

A. 12 \(cm^{3}\)

B. 24 \(cm^{3}\)

C. 18 \(cm^{3}\)

D. 15 \(cm^{3}\)  

Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′. Tính diện tích hình chữ nhật ADC′B′ biết AB = 28cm, \(B′D^{2}\) = 3709, DD′ = 45cm.

A. 1950 \(cm^{2}\)

B. 206 \(cm^{2}\)

C. 1509 \(cm^{2}\)

D. 1590 \(cm^{2}\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được khái niệm hình hộp chữ nhật và đường thẳng, hai đường thẳng song song trong không gian.
• Nắm được các yếu tố của hình hộp chữ nhật, biết xác định số mặt, số đỉnh, số cạnh của một hình hộp chữ nhật.