Toán 8 Chương 1 Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Ví dụ: Thực hiện phép chia: 

\((2{x^5} + 3{x^3} + x):(2{x^2} + 1)\)

Ta thực hiện như sau

• Đầu tiên ta đặt phép chia:

\(\begin{array}{*{20}{c}}
{2{x^5} + 3{x^3} + x}\\
{\,\,\,}
\end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2{x^2} + 1}\\
\hline
{\,\,\,}
\end{array}} \right.\)

• Sau đó lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử bâc cao nhất của đa thức chia:

\(2{x^5}:2{x^2} = {x^3}\)

• Nhân thương vừa tìm được cho đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ cho tích vừa tìm được ta được dư thứ nhất.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^5} + 3{x^3} + x}\\
{\underline {2{x^5} + {x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} }\\
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2{x^3} + x}\\
{}\\
{}
\end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2{x^2} + 1}\\
\hline
{{x^3}}\\
{}\\
{}\\
{}
\end{array}} \right.\)

• Lấy hạng tử lũy thừa cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia ta được:

\(2{x^3}:2{x^2} = x\)

• Thực hiện lại như bước trên ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^5} + 3{x^3} + x}\\
{\underline {2{x^5} + {x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} }\\
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2{x^3} + x}\\
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline {2{x^3} + x} }\\
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0}
\end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2{x^2} + 1}\\
\hline
{{x^3} + x}\\
{}\\
{}\\
{}
\end{array}} \right.\)

• Vì phần dư là 0 nên phép chia trên là phép chia hết.

Vậy kết quả của phép chia \((2{x^5} + 3{x^3} + x):(2{x^2} + 1)\) là \({x^3} + x\)

Lưu ý:

• Phép chia có số dư bằng 0 là phép chia hết.
• Nếu phép chia có phần dư khác 0 ta thực hiện theo cách trên cho đến khi lũy thừa cao nhất của phần dư nhỏ hơn lũy thừa cao nhất của đa thức chia.

Câu 1: Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia 

\(\left( {x + 1 + 2{x^3} + {x^2}} \right):\left( {x - 1} \right)\)

Hướng dẫn giải

- Sắp xếp theo lùy thừa giảm dần của biến ta được \(2{x^3} + {x^2} + x + 1\) 

- Thực hiện phép chia ta được

Câu 2: Thực hiện phép chia sau và xác định thương và phần dư:

\(\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 6x - 4\,\,} \right):\,\,\left( {{x^2} - x + 3\,\,} \right)\,\)

Hướng dẫn giải

Vậy ta tìm được thương là \(2x-1\) và phần dư là \(-x-1\)

Câu 3: Tìm giá trị nguyên của n để A chia hết cho B biết

\(A = 2{x^4} - {x^3} - {x^2} - x + n\,\,\,\,\,B = {x^2} + 1\)

Hướng dẫn giải

 Thực hiện phép chia ta được

A chia hết cho B \( \Leftrightarrow n - 3 = 0 \Leftrightarrow n = 3\)

Vậy giá trị cần tìm là n = 3

Câu 1: Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia 

\(\left( 2-7x+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right):\left( x-2 \right)\)

Câu 2: Thực hiện phép chia sau và xác định thương và phần dư

\(\left( 2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+5x+1 \right):\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)\)

Câu 3: Tìm giá trị nguyên của n để A chia hết cho B biết

\(A=2{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-9x+n;\,\,B={{x}^{2}}-3\)

Câu 1: Sắp xếp đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến ta được kết quả nào sau đây?

\({x^4} - 3 + 3{x^5} - 2{x^2} - {x^3}\)

A. \(3{x^5} + {x^4} - {x^3} - 2{x^2} - 3\)

B. \(3 - 2{x^2} - {x^3} + {x^4} + 3{x^5}\)

C. \({x^4} - 3 + 3{x^5} - 2{x^2} - {x^3}\)

D. \({x^4} - {x^3} + 3{x^5} - 2{x^2} - 3\)

Câu 2: Kết quả của phép chia \(\left( {{x^3} - {x^2} - 7x + 3} \right):\left( {x - 3} \right)\) là :

A. \({x^2} - 2x + 1\)

B. \({x^2} + 2x - 1\)

C. \({x^2} - x - 1\)

D. \({x^2} - x + 1\)

Câu 3: Với giá trị nào của n thì \(6{n^2} - n + 5\,\,\) chia hết cho \(2n + 1\) với  \(n \in Z\)

A. \(n \in \left\{ { - 1;3} \right\}\)

B. \(n \in \left\{ { - 1;0;3} \right\}\)

C. \(n \in \left\{ { - 4; - 3; - 1;0} \right\}\)

D. \(n \in \left\{ { - 4; - 1;0;3} \right\}\)

Câu 4: Cho \(A = {x^3} + {x^2} - 2x + 1\) và \(B = x - 1\) Tìm phần dư R và thương Q trong phép chia A cho B  rồi viết A dưới dạng A = B.Q +R ta được kết quả nào sau đây?

A. \({x^3} + {x^2} - 2x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x} \right) + 3\)

B. \({x^3} + {x^2} - 2x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x} \right) + 1\)

C. \({x^3} + {x^2} - 2x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 3\)

D. \({x^3} + {x^2} - 2x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 1\)

Câu 5: Cho \(A = 8{x^2} - 26x + m\) và  \(B = 2x - 3\) Tìm m để A chia hết cho B

A. m = 12

B. m =14

C. m = 21

D. m =41

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Biết sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần (giảm dần) của biến.
• Thực hiện được phép chia đa thức.
• Vận dụng được chia đa thức để giải các bài toán liên quan.