Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao Bài 40: Các định luật Kê-ple. Chuyển động của vệ tinh

Trong hệ quy chiếu nhật tâm, tâm của Trái Đất khi quay quanh Mặt Trời vẽ một quỹ đạo gần có bán kính trung bình bằng 150 triệu km.

a) Tìm chu kì của chuyển động của Trái Đất.

b) Trong một chu kì, tâm Trái Đất đi được quãng đường bằng bao nhiêu ?

c) Tìm vận tốc trung bình của tâm Trái Đất.

Phương pháp giải

a) Chu kì chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời là một năm 365,25 ngày

b) Áp dụng công thức:

\(S = 2\pi r \) để tính chiều dài quỹ đạo

v) Vận tốc trung bình của tâm Trái Đất được tính theo công thức: v=S/T

Hướng dẫn giải

Trong hệ quy chiếu nhật tâm

a) Chu kì chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời là một năm.

\(T = 365,25.24.3600 = {3,15.10^7}(s)\)

b) Độ dài quỹ đạo:

\(S = 2\pi r = {2.3,14.150.10^6} = {942.10^6}(km)\)

c) Vận tốc trung bình của tâm Trái Đất:

v=S/T=30(km/s)

Từ định luật III Kê-ple, hãy suy ra hệ quả: Bình phương của vận tốc của một hành tinh tại vị trí trên quỹ đạo thì tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời.

\(\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \frac{{v_2^2}}{{v_1^2}}\)

Kết quả này phù hợp với nội dung định luật II Kê-ple. Nó có mâu thuẫn với công thức v=ω.r  chuyển động tròn hay không?

Phương pháp giải

Để trả lời câu hỏi này, ta làm theo cách sau:

- Xác định tỉ số giữa r và v theo công thức:

\(\begin{array}{l} \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{v_2^2}}{{v_1^2}} \end{array}\)

- Suy ra được: r.v²= hằng số và \(r{v^2} = {\omega ^2}{r^3}\,\) cũng là hằng số

⇒ hai công thức này không mâu thuẫn với nhau

Hướng dẫn giải

- Ta có: 

\(\begin{array}{l} \frac{{r_1^3}}{{T_1^2}} = \frac{{r_2^3}}{{T_2^2}} \Leftrightarrow \frac{{r_1^3}}{{\frac{{4{\pi ^2}r_1^2}}{{v_1^2}}}} = \frac{{r_2^3}}{{\frac{{4{\pi ^2}r_2^2}}{{v_2^2}}}}\\ \Leftrightarrow {r_1}v_1^2 = {r_2}v_2^2 \Leftrightarrow \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{v_2^2}}{{v_1^2}} \end{array}\)

- Công thức:

\(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{v_2^2}}{{v_1^2}}\,\,hay\,\,{r_1}v_1^2 = {r_2}v_2^2\)

- Với chuyển động của một hành tinh quanh Mặt Trời thì tích:

r.v²= hằng số     (1)

- Còn công thức v=ω.r là liên hệ giữa ba đại lượng không thay đổi của một chuyển động tròn đều, nó có thể viết thành:

\(r{v^2} = {\omega ^2}{r^3}\,\,hay\,\,r{v^2}\) là hằng số   (2)

Từ (1) và (2) ta thấy hai công thức không mâu thuẫn với nhau, (2) chỉ là trường hợp riêng của (1) mà thôi.

Tìm khối lượng của Trái Đất, biết khoảng cách Trái Đất-Mặt Trăng r=384000km và chu kì quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất T=27,5 ngày.

Phương pháp giải

Áp dụng công thức:

\({M_{TD}} = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}\) để tính khối lượng trái đất

Hướng dẫn giải

- Ta có:

\({M_{TD}} = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}\)

- Với r là bán kính quỹ đạo (coi là tròn) và T là chu kì quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất, khối lượng trái đất là:

\({M_{TD}} = \frac{{{{4.3,14}^2}.{{\left( {{{384.10}^6}} \right)}^3}}}{{{{6,67.10}^{ - 11}}{{\left( {27,5.24.3600} \right)}^2}}} = {5,98.10^{24}}(kg)\)