Giải bài tập SGK Toán 6 Bài 12: Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

Trong các số sau, số nào chia hết cho $3$, số nào chia hết cho $9$ ?

$187$;        $1347$;              $2515$;                

$6534$;                 $93 258$.

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho 3 là: các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3. 
• Dấu hiệu chia hết cho 9 là: các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

Hướng dẫn giải

$187$ có tổng các chữ số là: $1+8+7=16$ mà 16 không chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 do đó $187$ không chia hết cho $3$, không chia hết cho $9$

$1347$ có tổng các chữ số là: $1+3+4+7=15$ mà 15 chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 do đó $1347$ chia hết cho $3$, không chia hết cho $9$

$2515$ có tổng các chữ số là: $2+5+1+5=13$ mà 13 không chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 do đó $2515$ không chia hết cho $3$, không chia hết cho $9$

$6534$ có tổng các chữ số là: $6+5+3+4=18$ mà 18 chia hết cho 3 và chia hết cho 9 do đó $6534$ chia hết cho $3$, chia hết cho $9$

$93258$ có tổng các chữ số là: $9+3+2+5+8=27$ mà 27 chia hết cho 3 và chia hết cho 9 do đó $93258$ chia hết cho $3$, chia hết cho $9$

Những số chia hết cho $3$ là: $1347; 6534; 93 258$.

Những số chia hết cho $9$ là: $93 258$ và $6534$. 

Cho các số: $3564; 4352; 6531; 6570; 1248$ 

a) Viết tập hợp $A$ các số chia hết cho $3$ trong các số trên.

b) Viết tập hợp $B$ các số chia hết cho $9$ trong các số trên.

c) Dùng kí hiệu $⊂$ để thể hiện quan hệ giữa hai tập hợp $A$ và $B$.

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho $3$ là: các số có tổng chữ số chia hết cho $3$ thì chia hết cho $3$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $3.$
• Dấu hiệu chia hết cho $9$ là: các số có tổng chữ số chia hết cho $9$ thì chia hết cho $9$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $9.$

Hướng dẫn giải

$3564$ có tổng các chữ số là $3 + 5 + 6 + 4 = 18$, chia hết cho $3$, chia hết cho $9$

$4352$ có $4 + 3 + 5 + 2 = 14$ không chia hết cho $3$, không chia hết cho $9$;

$6531$ có $6 + 5 + 3 + 1 = 15$ chia hết cho $3$; không chia hết cho $9$

$6570$ có $6 + 5 + 7 + 0 = 18$ chia hết cho $3$, chia hết cho $9$;

$1248$ có $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ chia hết cho $3$, không chia hết cho $9$.

Vậy

Câu a: Tập hợp các số chia hết cho 3 là $A =\left\{3564; 6531; 6570; 1248\right\}$

Câu b: Tập hợp các số chia hết cho 9 là $B = \left\{3564; 6570\right\}$.

Câu c: Vì mỗi phần tử của tập B đều là phần tử của tập A nên $B ⊂ A$ 

Tổng (hiệu) sau có chia hết cho $3$ không, có chia hết cho $9$ không ?

a) $1251 + 5316$

b) $5436 - 1324$

c) $1 . 2 .  3 . 4 . 5 . 6 + 27$

Phương pháp giải

Ta xét từng số trong tổng hoặc hiệu đã cho, nếu tất cả các số mà chia hết cho $3$ (hoặc chia hết cho $9$) thì tổng, hiệu đó chia hết cho $3$ (hoặc chia hết cho $9$).

Còn nếu $1$ trong các số trong tổng hiệu đó, không chia hết cho $3$ (hoặc không chia hết cho $9$) thì tổng hiệu đó không chia hết cho $3$ (hoặc không chia hết cho $9$)

Trong bài này ta có thể tính tổng (hiệu) rồi xét xem kết quả  tìm được có chia hết cho $3$, cho $9$ không. Cũng có thể xét xem từng số hạng của tổng (hiệu) có chia hết cho $3$, cho $9$ không. 

Hướng dẫn giải

Câu a: $1251 + 5316$

$1251$ có tổng các chữ số là $1+2+5+1=9$ do đó $1251$ chia hết cho $3$ và chia hết cho $9$.

$5316$ có tổng các chữ số là $5+3+1+6=15$ do đó $5316$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9$

Do đó

$1251 \,⋮\, 3$ và $5316 \,⋮\, 3$ $⇒ (1251 + 5316) \,⋮\, 3.$ 

$1251 \,⋮\, 9$ và $5316$ không chia hết cho $9$ nên $(1251 + 5316)$ không chia hết cho $9$.  

Câu b: $5436 - 1324$

$5436$ có tổng các chữ số là $5+4+3+6=18$ do đó $5436$ chia hết cho $3$ và chia hết cho $9$

$1324$ có tổng các chữ số là $1+3+2+4=10$ do đó $1324$ không chia hết cho $3$ và không chia hết cho $9$ 

Vậy hiệu $(5436-1324)$ không chia hết cho $3$, không chia hết cho $9$.

Câu c: Ta có

$1 . 2 .  3 . 4 . 5 . 6 =720$

$720$ có tổng các chữ số là $7+2+0=9$ do đó $720$ chia hết cho $9$ và chia hết cho $3$

$27$ chia hết cho $9$ và chia hết cho $3$ 

Do đó tổng $(1 . 2 .  3 . 4 . 5 . 6 + 27)$ chia hết cho $9$ và chia hết cho $3$.

Điền chữ số vào dấu $*$ để

a) $\overline{5*8}$ chia hết cho $3$

b) $\overline{6 * 3}$ chia hết cho $9$

c) $\overline{43*}$ chia hết cho cả $3$ và $5$

d) $\overline{*81*}$ chia hết cho cả $2, 3, 5, 9$. (Trong một số có nhiều dấu $*$, các dấu $*$ không nhất thiết thay bởi các chữ số giống nhau).

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho $3$ là: các số có tổng chữ số chia hết cho $3$ thì chia hết cho $3$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $3$.
• Dấu hiệu chia hết cho $9$ là: các số có tổng chữ số chia hết cho $9$ thì chia hết cho $9$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $9$.
• Dấu hiệu chia hết cho $2$ là: các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho $2$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $3$.
• Dấu hiệu chia hết cho $5$ là: các số có chữ số tận cùng là chữ số $0$ hoặc $5$ thì chia hết cho $5$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $5.$

Hướng dẫn giải

Câu a: $\overline{5*8}$ chia hết cho $3$ thì tổng $(5 + * + 8)=( 13 + *)$ chia hết cho $3$. 

Vì $* \in {\rm{\{ }}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ nên $*$ nhận các giá trị là: $2;5;8$

Các số thỏa mãn là: $528;558;588$

Câu b: $\overline{6 * 3}$ chia hết cho $9$ thì tổng $(6+*+3)=(9+*)$ chia hết cho 9

Vì $* \in {\rm{\{ }}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ nên $*$ nhận các giá trị là: $0;9$

Các số thỏa mãn là: $603;693$ 

Câu c: $\overline{43*}$ chia hết cho cả $3$ và $5$ 

Để số đã cho chia hết cho $5$ thì phải điền vào dấu $*$ chữ số $0$ hoặc chữ số $5$.

Nếu điền chữ số $0$ thì ta được số $430$ có tổng các chữ số là $4+3+0=7$ nên $430$ không chia hết cho $3$.

Nếu điền chữ số $5$ thì ta được số $435$ có tổng các chữ số là $4 + 3 + 5=12$ nên $435$ chia hết cho 3. Vậy phải điền chữ số $5$ vào dấu $*$.

Câu d: $\overline{*81*}$ chia hết cho cả $2, 3, 5, 9$ 

Để $\overline{*81*}$ chia hết cho $10$ thì chữ số tận cùng là $0$; tức là $\overline{*81*}=\overline{*810}$.

Để $\overline{*810}$ chia hết cho $9$ thì $(* + 8 + 1 + 0) = (* + 9)$ phải chia hết cho $9$.

Mà  $* \in {\rm{\{ }}1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ nên $*=9$

Vậy số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $9810$.

Dùng ba trong bốn chữ số $4, 5, 3, 0$ hãy ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số sao cho các số đó:

a) Chia hết cho $9$

b) Chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho $3$ là: các số có tổng chữ số chia hết cho $3$ thì chia hết cho $3$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $3.$
• Dấu hiệu chia hết cho $9$ là: các số có tổng chữ số chia hết cho $9$ thì chia hết cho $9$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $9.$

Hướng dẫn giải

Câu a: Số chia hết cho $9$ phải có tổng các chữ số chia hết cho $9$. 

Trong $4$ chữ số $4;5;3;0$ thì bộ ba số có tổng chia hết cho $9$ là $(4;5;0)$ (do $4+5+0=9\,\vdots\,9)$

Do đó các số cần tìm là: $450, 540, 405, 504$.

Câu b: Số chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$ phải có tổng các chữ số chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$. 

Trong $4$ chữ số $4;5;3;0$ thì bộ ba số có tổng chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$ là $(4;5;3)$ (do $4+5+3=12\,\vdots\,3$ nhưng $12$ không chia hết cho $9).$ 

Do đó các số cần tìm là: $543, 534, 453, 435, 345, 354.$

 Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số sao cho số đó:
a) Chia hết cho $3$
b) Chia hết cho $9$

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho $3$ là: các số có tổng chữ số chia hết cho $3$ thì chia hết cho $3$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $3.$
• Dấu hiệu chia hết cho $9$ là: các số có tổng chữ số chia hết cho $9$ thì chia hết cho $9$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $9.$

Hướng dẫn giải

Câu a: Số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số chia hết cho 3 là 10002.

(vì $1+0+0+0+2=3$ chia hết cho 3)  

Câu b: Số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số chia hết cho 9 là 10008.

(vì $1+0+0+0+8=9$ chia hết cho 9) 

Điền dấu "X" vào ô thích hợp trong các câu sau

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho 3 là: các số có tổng chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
• Dấu hiệu chia hết cho 9 là: các số có tổng chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

Hướng dẫn giải

Giải thích

Câu a: Số chia hết cho $9$ viết được dưới dạng $9k, k\in\mathbb N$. Mà $9$ chia hết cho $3$ do đó một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3. 

Câu b: Ta lấy một ví dụ chứng minh khẳng định không đúng 

VD. $15$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9$

Câu c: Tương tự như câu a do $15$ chia hết cho $3$ nên số chia hết cho 15 thì số đó chia hết cho 3.

Câu d: Tương tự như câu a do $45$ chia hết cho $9$ nên số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9.

Một số có tổng các chữ số chia cho $9$ (cho $3$) dư $m$ thì số đó chia cho $9$ ( cho $3$) cũng dư $m$.

Ví dụ: Số $1543$ có tổng các chữ số bằng: $1 + 5 + 4 + 3 = 13$. Số $13$ chia cho $9$ dư $4,$ chia cho $3$ dư $1$. Do đó số $1543$ chia cho $9$ dư $4$, chia cho $3$ dư $1$.

Tìm số dư khi chia mỗi số sau cho $9$, cho $3:$

$1546; 1526; 2468; 10^{11}$

Phương pháp giải

Tính tổng các chữ số của mỗi số rồi tìm số dư khi chia tổng các chữ số đó cho $3$ (hoặc cho $9$) từ đó suy ra số dư của số ban đầu.

Hướng dẫn giải

Chỉ cần tìm dư trong phép chia tổng các chữ số cho $9$, cho $3$.

+) Vì $1 + 5 + 4 + 6 = 16$ chia cho $9$ dư $7$ và chia cho $3$ dư $1$ nên $1546$ chia cho $9$ dư $7$, chia cho $3$ dư $1$; 

+) Vì $1 + 5 + 2 + 7 = 15$ chia cho $9$ dư $6$ và $15$ chia hết cho $3$ nên $1527$ chia cho $9$ dư $6$ chia hết cho $3$;

+ Vì $2+4+6+8=20$ chia cho 9 dư 2 và chia cho 3 dư 2 nên $2468$ chia cho $9$ dư $2$, chia cho $3$ dư $2$;

+) $10^{11}=100\,000\,000 \,000$ có tổng các chữ số là $1$ và $1$ chia cho $9$ dư $1$, chia cho $3$ dư $1$ nên $10^{11}$ chia cho $9$ dư $1$, chia cho $3$ dư $1$.

Gọi $m$ là số dư của $a$ khi chia cho $9$. Điền vào các ô trống:

Trong phép nhân a . b = c, gọi:

m là số dư của a khi chia cho 9, n là số dư của b khi chia cho 9,

r là số dư của tích m . n khi chia cho 9, d là số dư của c khi chia cho 9.

Điền vào các ô trống rồi so sánh r và d trong mỗi trường hợp sau: 

Phương pháp giải

Tính toán theo dữ kiện ở mỗi cột rồi rút ra nhận xét.

Hướng dẫn giải

Ta thấy 

– Ở cột thứ ba : a = 64 ; b = 59 ; c = 3776.

Ta có : 64 = 7.9 + 1 nên 64 chia 9 dư 1 hay m = 1.

59 = 6.9 + 5 nên 59 chia 9 dư 5 hay n = 5.

Tích m.n = 5 chia 9 dư 5 nên r = 5.

c = 3776 có 3 + 7 + 7 + 6 = 23 chia 9 dư 5 nên c chia 9 dư 5 hay d = 5.

– Ở cột thứ tư: a = 72; b = 21; c = 1512.

Ta có : 72 = 8.9 chia hết cho 9 nên m = 0.

21 = 9.2 + 3 nên 21 chia 9 dư 3 hay n = 3. 

Tích m.n = 0 ⋮ 9 nên r = 0.

c = 1512 có 1 + 5 + 1 + 2 = 9 ⋮ 9 nên 1512 ⋮ 9 hay d = 0.

Do đó ta có bảng:

Nhận xét: Ta thấy trong cả 3 trường hợp (ở cả 3 cột dọc: cột thứ 2, 3, 4 từ trái sang) thì r = d