Giải bài tập SGK Toán 6 Bài 12: Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

Trong các số sau, số nào chia hết cho \(3\), số nào chia hết cho \(9\) ?

\(187\);        \(1347\);              \(2515\);                

\(6534\);                 \(93 258\).

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho 3 là: các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3. 
• Dấu hiệu chia hết cho 9 là: các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

Hướng dẫn giải

\(187\) có tổng các chữ số là: \(1+8+7=16\) mà 16 không chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 do đó \(187\) không chia hết cho \(3\), không chia hết cho \(9\)

\(1347\) có tổng các chữ số là: \(1+3+4+7=15\) mà 15 chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 do đó \(1347\) chia hết cho \(3\), không chia hết cho \(9\)

\(2515\) có tổng các chữ số là: \(2+5+1+5=13\) mà 13 không chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 do đó \(2515\) không chia hết cho \(3\), không chia hết cho \(9\)

\(6534\) có tổng các chữ số là: \(6+5+3+4=18\) mà 18 chia hết cho 3 và chia hết cho 9 do đó \(6534\) chia hết cho \(3\), chia hết cho \(9\)

\(93258\) có tổng các chữ số là: \(9+3+2+5+8=27\) mà 27 chia hết cho 3 và chia hết cho 9 do đó \(93258\) chia hết cho \(3\), chia hết cho \(9\)

Những số chia hết cho \(3\) là: \(1347; 6534; 93 258\).

Những số chia hết cho \(9\) là: \(93 258\) và \(6534\). 

Cho các số: \(3564; 4352; 6531; 6570; 1248\) 

a) Viết tập hợp \(A\) các số chia hết cho \(3\) trong các số trên.

b) Viết tập hợp \(B\) các số chia hết cho \(9\) trong các số trên.

c) Dùng kí hiệu \(⊂\) để thể hiện quan hệ giữa hai tập hợp \(A\) và \(B\).

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho \(3\) là: các số có tổng chữ số chia hết cho \(3\) thì chia hết cho \(3\) và chỉ những số đó mới chia hết cho \(3.\)
• Dấu hiệu chia hết cho \(9\) là: các số có tổng chữ số chia hết cho \(9\) thì chia hết cho \(9\) và chỉ những số đó mới chia hết cho \(9.\)

Hướng dẫn giải

\(3564\) có tổng các chữ số là \(3 + 5 + 6 + 4 = 18\), chia hết cho \(3\), chia hết cho \(9\)

\(4352\) có \(4 + 3 + 5 + 2 = 14\) không chia hết cho \(3\), không chia hết cho \(9\);

\(6531\) có \(6 + 5 + 3 + 1 = 15\) chia hết cho \(3\); không chia hết cho \(9\)

\(6570\) có \(6 + 5 + 7 + 0 = 18\) chia hết cho \(3\), chia hết cho \(9\);

\(1248\) có \(1 + 2 + 4 + 8 = 15\) chia hết cho \(3\), không chia hết cho \(9\).

Vậy

Câu a: Tập hợp các số chia hết cho 3 là \(A =\left\{3564; 6531; 6570; 1248\right\}\)

Câu b: Tập hợp các số chia hết cho 9 là \(B = \left\{3564; 6570\right\}\).

Câu c: Vì mỗi phần tử của tập B đều là phần tử của tập A nên \(B ⊂ A\) 

Tổng (hiệu) sau có chia hết cho \(3\) không, có chia hết cho \(9\) không ?

a) \(1251 + 5316\)

b) \(5436 - 1324\)

c) \(1 . 2 .  3 . 4 . 5 . 6 + 27\)

Phương pháp giải

Ta xét từng số trong tổng hoặc hiệu đã cho, nếu tất cả các số mà chia hết cho \(3\) (hoặc chia hết cho \(9\)) thì tổng, hiệu đó chia hết cho \(3\) (hoặc chia hết cho \(9\)).

Còn nếu \(1\) trong các số trong tổng hiệu đó, không chia hết cho \(3\) (hoặc không chia hết cho \(9\)) thì tổng hiệu đó không chia hết cho \(3\) (hoặc không chia hết cho \(9\))

Trong bài này ta có thể tính tổng (hiệu) rồi xét xem kết quả  tìm được có chia hết cho \(3\), cho \(9\) không. Cũng có thể xét xem từng số hạng của tổng (hiệu) có chia hết cho \(3\), cho \(9\) không. 

Hướng dẫn giải

Câu a: \(1251 + 5316\)

\(1251\) có tổng các chữ số là \(1+2+5+1=9\) do đó \(1251\) chia hết cho \(3\) và chia hết cho \(9\).

\(5316\) có tổng các chữ số là \(5+3+1+6=15\) do đó \(5316\) chia hết cho \(3\) nhưng không chia hết cho \(9\)

Do đó

\(1251 \,⋮\, 3\) và \(5316 \,⋮\, 3\) \(⇒ (1251 + 5316) \,⋮\, 3.\) 

\(1251 \,⋮\, 9\) và \(5316\) không chia hết cho \(9\) nên \((1251 + 5316)\) không chia hết cho \(9\).  

Câu b: \(5436 - 1324\)

\(5436\) có tổng các chữ số là \(5+4+3+6=18\) do đó \(5436\) chia hết cho \(3\) và chia hết cho \(9\)

\(1324\) có tổng các chữ số là \(1+3+2+4=10\) do đó \(1324\) không chia hết cho \(3\) và không chia hết cho \(9\) 

Vậy hiệu \((5436-1324)\) không chia hết cho \(3\), không chia hết cho \(9\).

Câu c: Ta có

\(1 . 2 .  3 . 4 . 5 . 6 =720\)

\(720\) có tổng các chữ số là \(7+2+0=9\) do đó \(720\) chia hết cho \(9\) và chia hết cho \(3\)

\(27\) chia hết cho \(9\) và chia hết cho \(3\) 

Do đó tổng \((1 . 2 .  3 . 4 . 5 . 6 + 27)\) chia hết cho \(9\) và chia hết cho \(3\).

Điền chữ số vào dấu \(*\) để

a) \(\overline{5*8}\) chia hết cho \(3\)

b) \(\overline{6 * 3}\) chia hết cho \(9\)

c) \(\overline{43*}\) chia hết cho cả \(3\) và \(5\)

d) \(\overline{*81*}\) chia hết cho cả \(2, 3, 5, 9\). (Trong một số có nhiều dấu \(*\), các dấu \(*\) không nhất thiết thay bởi các chữ số giống nhau).

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho \(3\) là: các số có tổng chữ số chia hết cho \(3\) thì chia hết cho \(3\) và chỉ những số đó mới chia hết cho \(3\).
• Dấu hiệu chia hết cho \(9\) là: các số có tổng chữ số chia hết cho \(9\) thì chia hết cho \(9\) và chỉ những số đó mới chia hết cho \(9\).
• Dấu hiệu chia hết cho \(2\) là: các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho \(2\) và chỉ những số đó mới chia hết cho \(3\).
• Dấu hiệu chia hết cho \(5\) là: các số có chữ số tận cùng là chữ số \(0\) hoặc \(5\) thì chia hết cho \(5\) và chỉ những số đó mới chia hết cho \(5.\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(\overline{5*8}\) chia hết cho \(3\) thì tổng \((5 + * + 8)=( 13 + *)\) chia hết cho \(3\). 

Vì \(* \in {\rm{\{ }}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \) nên \(*\) nhận các giá trị là: \(2;5;8\)

Các số thỏa mãn là: \(528;558;588\)

Câu b: \(\overline{6 * 3}\) chia hết cho \(9\) thì tổng \((6+*+3)=(9+*)\) chia hết cho 9

Vì \(* \in {\rm{\{ }}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \) nên \(*\) nhận các giá trị là: \(0;9\)

Các số thỏa mãn là: \(603;693\) 

Câu c: \(\overline{43*}\) chia hết cho cả \(3\) và \(5\) 

Để số đã cho chia hết cho \(5\) thì phải điền vào dấu \(*\) chữ số \(0\) hoặc chữ số \(5\).

Nếu điền chữ số \(0\) thì ta được số \(430\) có tổng các chữ số là \(4+3+0=7\) nên \(430\) không chia hết cho \(3\).

Nếu điền chữ số \(5\) thì ta được số \(435\) có tổng các chữ số là \(4 + 3 + 5=12\) nên \(435\) chia hết cho 3. Vậy phải điền chữ số \(5\) vào dấu \(*\).

Câu d: \(\overline{*81*}\) chia hết cho cả \(2, 3, 5, 9\) 

Để \(\overline{*81*}\) chia hết cho \(10\) thì chữ số tận cùng là \(0\); tức là \(\overline{*81*}=\overline{*810}\).

Để \(\overline{*810}\) chia hết cho \(9\) thì \((* + 8 + 1 + 0) = (* + 9)\) phải chia hết cho \(9\).

Mà  \(* \in {\rm{\{ }}1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \) nên \(*=9\)

Vậy số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(9810\).

Dùng ba trong bốn chữ số \(4, 5, 3, 0\) hãy ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số sao cho các số đó:

a) Chia hết cho \(9\)

b) Chia hết cho \(3\) mà không chia hết cho \(9\)

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho \(3\) là: các số có tổng chữ số chia hết cho \(3\) thì chia hết cho \(3\) và chỉ những số đó mới chia hết cho \(3.\)
• Dấu hiệu chia hết cho \(9\) là: các số có tổng chữ số chia hết cho \(9\) thì chia hết cho \(9\) và chỉ những số đó mới chia hết cho \(9.\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Số chia hết cho \(9\) phải có tổng các chữ số chia hết cho \(9\). 

Trong \(4\) chữ số \(4;5;3;0\) thì bộ ba số có tổng chia hết cho \(9\) là \((4;5;0)\) (do \(4+5+0=9\,\vdots\,9)\)

Do đó các số cần tìm là: \(450, 540, 405, 504\).

Câu b: Số chia hết cho \(3\) mà không chia hết cho \(9\) phải có tổng các chữ số chia hết cho \(3\) mà không chia hết cho \(9\). 

Trong \(4\) chữ số \(4;5;3;0\) thì bộ ba số có tổng chia hết cho \(3\) mà không chia hết cho \(9\) là \((4;5;3)\) (do \(4+5+3=12\,\vdots\,3\) nhưng \(12\) không chia hết cho \(9).\) 

Do đó các số cần tìm là: \(543, 534, 453, 435, 345, 354.\)

 Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số sao cho số đó:
a) Chia hết cho \(3\)
b) Chia hết cho \(9\)

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho \(3\) là: các số có tổng chữ số chia hết cho \(3\) thì chia hết cho \(3\) và chỉ những số đó mới chia hết cho \(3.\)
• Dấu hiệu chia hết cho \(9\) là: các số có tổng chữ số chia hết cho \(9\) thì chia hết cho \(9\) và chỉ những số đó mới chia hết cho \(9.\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số chia hết cho 3 là 10002.

(vì \(1+0+0+0+2=3\) chia hết cho 3)  

Câu b: Số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số chia hết cho 9 là 10008.

(vì \(1+0+0+0+8=9\) chia hết cho 9) 

Điền dấu "X" vào ô thích hợp trong các câu sau

Phương pháp giải

• Dấu hiệu chia hết cho 3 là: các số có tổng chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
• Dấu hiệu chia hết cho 9 là: các số có tổng chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

Hướng dẫn giải

Giải thích

Câu a: Số chia hết cho \(9\) viết được dưới dạng \(9k, k\in\mathbb N\). Mà \(9\) chia hết cho \(3\) do đó một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3. 

Câu b: Ta lấy một ví dụ chứng minh khẳng định không đúng 

VD. \(15\) chia hết cho \(3\) nhưng không chia hết cho \(9\)

Câu c: Tương tự như câu a do \(15\) chia hết cho \(3\) nên số chia hết cho 15 thì số đó chia hết cho 3.

Câu d: Tương tự như câu a do \(45\) chia hết cho \(9\) nên số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9.

Một số có tổng các chữ số chia cho \(9\) (cho \(3\)) dư \(m\) thì số đó chia cho \(9\) ( cho \(3\)) cũng dư \(m\).

Ví dụ: Số \(1543\) có tổng các chữ số bằng: \(1 + 5 + 4 + 3 = 13\). Số \(13\) chia cho \(9\) dư \(4,\) chia cho \(3\) dư \(1\). Do đó số \(1543\) chia cho \(9\) dư \(4\), chia cho \(3\) dư \(1\).

Tìm số dư khi chia mỗi số sau cho \(9\), cho \(3:\)

\(1546; 1526; 2468; 10^{11}\)

Phương pháp giải

Tính tổng các chữ số của mỗi số rồi tìm số dư khi chia tổng các chữ số đó cho \(3\) (hoặc cho \(9\)) từ đó suy ra số dư của số ban đầu.

Hướng dẫn giải

Chỉ cần tìm dư trong phép chia tổng các chữ số cho \(9\), cho \(3\).

+) Vì \(1 + 5 + 4 + 6 = 16\) chia cho \(9\) dư \(7\) và chia cho \(3\) dư \(1\) nên \(1546\) chia cho \(9\) dư \(7\), chia cho \(3\) dư \(1\); 

+) Vì \(1 + 5 + 2 + 7 = 15\) chia cho \(9\) dư \(6\) và \(15\) chia hết cho \(3\) nên \(1527\) chia cho \(9\) dư \(6\) chia hết cho \(3\);

+ Vì \(2+4+6+8=20\) chia cho 9 dư 2 và chia cho 3 dư 2 nên \(2468\) chia cho \(9\) dư \(2\), chia cho \(3\) dư \(2\);

+) \(10^{11}=100\,000\,000 \,000\) có tổng các chữ số là \(1\) và \(1\) chia cho \(9\) dư \(1\), chia cho \(3\) dư \(1\) nên \(10^{11}\) chia cho \(9\) dư \(1\), chia cho \(3\) dư \(1\).

Gọi \(m\) là số dư của \(a\) khi chia cho \(9\). Điền vào các ô trống:

Trong phép nhân a . b = c, gọi:

m là số dư của a khi chia cho 9, n là số dư của b khi chia cho 9,

r là số dư của tích m . n khi chia cho 9, d là số dư của c khi chia cho 9.

Điền vào các ô trống rồi so sánh r và d trong mỗi trường hợp sau: 

Phương pháp giải

Tính toán theo dữ kiện ở mỗi cột rồi rút ra nhận xét.

Hướng dẫn giải

Ta thấy 

– Ở cột thứ ba : a = 64 ; b = 59 ; c = 3776.

Ta có : 64 = 7.9 + 1 nên 64 chia 9 dư 1 hay m = 1.

59 = 6.9 + 5 nên 59 chia 9 dư 5 hay n = 5.

Tích m.n = 5 chia 9 dư 5 nên r = 5.

c = 3776 có 3 + 7 + 7 + 6 = 23 chia 9 dư 5 nên c chia 9 dư 5 hay d = 5.

– Ở cột thứ tư: a = 72; b = 21; c = 1512.

Ta có : 72 = 8.9 chia hết cho 9 nên m = 0.

21 = 9.2 + 3 nên 21 chia 9 dư 3 hay n = 3. 

Tích m.n = 0 ⋮ 9 nên r = 0.

c = 1512 có 1 + 5 + 1 + 2 = 9 ⋮ 9 nên 1512 ⋮ 9 hay d = 0.

Do đó ta có bảng:

Nhận xét: Ta thấy trong cả 3 trường hợp (ở cả 3 cột dọc: cột thứ 2, 3, 4 từ trái sang) thì r = d