Giải bài tập SGK Toán 6 Bài 18: Bội chung nhỏ nhất

Tìm BCNN của:

a) $60$ và $280$

b) $84$ và $108$

c) $13$ và $15$

Phương pháp giải

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Hướng dẫn giải

Câu a: Phân tích ra thừa số nguyên tố:

$60 = 2^2. 3 . 5$; 

$280 = 2^3. 5 .7$

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng: 2; 3; 5; 7 (số mũ lớn nhất của 2 là 3; số mũ lớn nhất của 3; 5; 7 là 1)

$BCNN (60, 280) = 2^3. 3 . 5 . 7 = 840$ 

Câu b: Phân tích ra thừa số nguyên tố:

$84 = 2^2. 3 . 7$;

$108 = 2^2. 3^3$

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng: 2; 3; 7 (số mũ lớn nhất của 2 là 2; số mũ lớn nhất của 3 là 3; số mũ lớn nhất của 7 là 1)

$BCNN (84, 108) = 2^2. 3^3. 7 = 756$.

Câu c: Phân tích ra thừa số nguyên tố:

$13=13$

$15=3.5$ 

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng: 3; 5; 13 (số mũ lớn nhất của 3; 5; 13 là 1)

$BCNN (13, 15) = 3.5.13=195$.

Tìm BCNN của

a) $10, 12, 15$ 

b) $8, 9, 11$  

c) $24, 40, 168$

Phương pháp giải

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Hướng dẫn giải

Câu a: $10 = 2 . 5$

$12 = 2^2. 3$

$15 = 3 . 5$

$BCNN (10, 12, 15) = 2^2. 3 . 5 = 60$;

Câu b: $8=2^3$

$9=3^2$

$11=11$

$BCNN (8, 9, 11) = 2^3 .3^2  . 11 = 792$;

Câu c: $24 = 2^3. 3$

$40 = 2^3. 5$

$168 = 2^3. 3 . 7$

$BCNN (24, 40, 168) = 2^3. 3 . 5 . 7 = 840$. 

Hãy tính nhẩm BCNN của các số sau bằng cách nhân số lớn nhất lần lượt với $1, 2, 3,...$ cho đến khi được kết quả là một số chia hết cho các số còn lại:

a) $30$ và $150$

b) $40, 28, 140$ 

c) $100, 120, 200$

Phương pháp giải

Nhân số lớn nhất lần lượt với $1, 2, 3,...$ cho đến khi được kết quả là một số chia hết cho các số còn lại. Số đó chính là BCNN của các số đã cho.  

Hướng dẫn giải

Câu a: $BCNN (30, 150) = 150$ vì $150$ chia hết cho $30$;

Câu b: $140 . 2 = 280$.

Vì $280$ chia hết cho cả $40;$ $28$ và $140$ nên $BCNN (40, 28, 140)=280$.

Câu c: $200$ không chia hết cho $120; 200 . 2 = 400$ cũng không chia hết cho $120$, nhưng $200 . 3 = 600$ chia hết cho cả $100$ và $120$ nên $BCNN (100, 120, 200) = 600$.  

Tìm số tự nhiên $a$ nhỏ nhất khác $0$, biết rằng $a$ $\vdots$ $15$ và $a$ $\vdots$ $18$.

Phương pháp giải

$a$ ở đây chính là BCNN của hai số $15$ và $18.$

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn $1$, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Hướng dẫn giải

Số tự nhiên $a$ nhỏ nhất khác $0$ chia hết cho cả $15$ và $18$, chính là $BCNN (15, 18)$.

$15=3.5$

$18=2.3^2$

$BCNN(15,18)=2.3^2.5=90$

Vậy $a=90$

Tìm các bội chung nhỏ hơn $500$ của $30$ và $45$.

Phương pháp giải

Cách tìm bội chung thông qua tìm BCNN

Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố 

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Hướng dẫn giải

$30=2.3.5$

$45=3^2.5$ 
$BCNN (30, 45) =2.3^2.5=90$. 

Do đó các bội chung nhỏ hơn $500$ của $30$ và $45$ là các số tự nhiên chia hết cho $90$ và nhỏ hơn $500$

$BC (30, 45)=B(90)$$= \{0; 90; 180; 270; 360; 450; 540; 630; …\}$

Vậy các số thỏa mãn điều kiện của bài toán là: $0, 90, 180, 270, 360, 450$.

Học sinh lớp $6C$ khi xếp hàng $2$, hàng $3$, hàng $4$, hàng $8$ đều vừa đủ hàng. Biết số học sinh lớp đó trong khoảng từ $35$ đến $60$. Tính số học sinh lớp 6C. 

Phương pháp giải

Số học sinh của lớp 6C chính là bội chung của các số 2,3,4,8.

Cách tìm bội chung thông qua tìm BCNN

Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố 

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh lớp 6C là $a$ với $a\in \mathbb N^*$

Học sinh xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ nên a là bội của 2, 3, 4, 8.

Hay $a ∈ BC(2; 3; 4; 8).$ 

Tìm $BC(2; 3; 4; 8)$ thông qua $BCNN(2 ; 3 ; 4 ; 8)$ 

Ta có: $2 = 2; 3 = 3; 4 = 2^2; 8 = 2^3$

$⇒ BCNN(2 ; 3 ; 4 ; 8) = 2^3. 3 = 24.$

$⇒ BC(2; 3; 4; 8) = B(24) = \{0; 24; 48; 72; …\}.$

Vì số học sinh trong khoảng từ 35 đến 60 nên $a = 48.$ 

Vậy lớp 6C có 48 học sinh.

 Cho bảng

a) Điền vào các ô trống của bảng. 

b) So sánh tích $ƯCLN (a, b) . BCNN (a, b)$ với tích $a . b$.

Phương pháp giải

- Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước như sau:

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm

- Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

+) $150=2.3.5^2$

$20=2^2.5$

$ƯCLN(a,b)=2.5=10$

$BCNN(a,b)=2^2.3.5^2=300$

$ƯCLN(a,b).BCNN(a,b) = 3000$

$a.b=150.20=3000$

+) $28=2^2.7$

$15=3.5$

$ƯCLN(a,b)=1$

$BCNN(a,b)=2^2.3.5.7=420$

$ƯCLN(a,b).BCNN(a,b) = 420$

$a.b=28.15=420$

+) $50=2.5^2$

$ƯCLN(a,b)=50$

$BCNN(a,b)=50$

$ƯCLN(a,b).BCNN(a,b) = 2500$

$a.b=50.50=2500$ 

Câu b: Từ bảng trên ta có $ƯCLN (a, b) . BCNN (a, b)=a.b$ 

Tìm số tự nhiên $x$, biết rằng:

$x$ $\vdots$ $12$,            $x$ $\vdots$ $21$,                  

$x$ $\vdots$ $28$ và $150 < x < 300$.

Phương pháp giải

Ta đi tìm bội chung của các số 12, 21, 268 và bội chung đó phải thỏa mãn điều kiện $150 < x < 300$

Cách tìm bội chung thông qua tìm BCNN

Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau: 

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Hướng dẫn giải

Theo đầu bài $x$ $\vdots$ $12$, $x$ $\vdots$ $21$, $x$ $\vdots$ $28$ nên $x ∈ BC(12; 21; 28)$ và thỏa mãn điều kiện $150 < x < 300$. 

Ta có: 

$12=2^2.3$ 

$21=3.7$

$28=2^2.7$

$⇒  BCNN (12, 21, 28) = 2^2.3.7=84$.

$⇒ x ∈ BC(12, 21, 28) = B(84)$$= \{0; 84; 168; 252; 336; 420; …\}$

Vì $150 < x < 300$ nên $x = 168$ hoặc $x=252.$

Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. An cứ $10$ ngày lại trực nhật, Bách cứ $12$ ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai cùng trực nhật vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật ?

Phương pháp giải

Ta phải đi tìm BCNN của 2 số 10, 12 để tìm được sau ít nhất bao nhiêu ngày thì 2 bạn cùng trực nhật.

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Hướng dẫn giải

Giả sử sau $x$ ngày An và Bách lại cùng trực nhật. 

An cứ 10 ngày trực nhật một lần nên $x$ là bội của 10.

Bách cứ 12 ngày trực nhật một lần nên $x$ là bội của 12.

Suy ra $x ∈ BC(10; 12).$

Mà $x$ ít nhất nên $x = BCNN(10; 12).$

Ta có

$10 = 2.5; 12 = 2^2. 3$

$⇒ x = BCNN(10; 12) = 2^2.3.5 = 60.$

Vậy sau 60 ngày An và Bách lại cùng trực nhật.

Hai đội công nhân nhận trồng một số cây như nhau. Mỗi công nhân đội I phải trồng $8$ cây, mỗi công nhân đội II phải trồng $9$ cây. Tính số cây mỗi đội phải trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ $100$ đến $200$.

Phương pháp giải

Đưa về bài toán tìm BC của 8 và 9 thông qua tìm BCNN của chúng

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố 

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Hướng dẫn giải

Giả sử mỗi đội phải trồng $x$ cây $(100 < x < 200)$ 

Mỗi công nhân đội I phải trồng $8$ cây nên $x$ là bội của $8$

Mỗi công nhân đội II phải trồng $9$ cây nên $x$ là bội của $9$

Mà hai đội trồng số cây là như nhau nên $x$ phải là bội chung của $8$ và $9$

Ta có

$8=2^3$

$9=3^2$ 

$BCNN (8, 9) = 72$

$\Rightarrow x ∈ BC(8, 9) = B(72)$$= \{0; 72; 144; 216; 288; …\}$

Mà $100 < x < 200$ nên $x=144$

Vậy số cây mỗi đội phải trồng là $144$ cây.