Giải bài tập SGK Toán 6 Bài 7: Lũy thừa với số mũ tự nhiên và nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lũy thừa:

a) \(5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5\)            

b) \(6 . 6 . 6 . 3 . 2\)

c) \(2 . 2 . 2 . 3 . 3\) 

d) \(100 . 10 . 10 . 10\)

Phương pháp giải

Lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a.\,....a}_\text{n thừa số}\,\,\,\,\left( {n \ne 0} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 =  {5^6}\)      

Câu b: \(6 . 6 . 6 . 3 . 2 = 6. 6. 6. 6 = {6^4}\)

Câu c: \( 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = {2^3}{.3^2}\)             

Câu d: \(100 . 10 . 10 . 10 = (10. 10). 10. 10. 10 =  {10^5}\)

Hoặc \(100 . 10 . 10 . 10 =100.10^3\)\(=10^2.10^3=10^{2+3}=10^5\) 

Tính giá trị các lũy thừa sau

a) \({2^3},{2^4},{2^5},{2^6},{2^7},{2^8},{2^9},{2^{10}};\)

b) \({3^2},{3^3},{3^4},{3^5};\)        

c) \({4^2},{4^3},{4^4};\)                                                        

d) \({5^2},{5^3},{5^4};\)               

e) \({6^2},{6^3},{6^4}\)

Phương pháp giải

Lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a.\,....a}_\text{n thừa số}\,\,\,\,\left( {n \ne 0} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \({2^3} = 2.2.2 = 8\) 

\({2^4} = {2^3}.2 = 8.2 = 16\)

\({2^5} = {2^4}.2 = 16.2 = 32\)

\({2^6} = {2^5}.2 = 32.2 = 64\)

\({2^7} = {2^6}.2 = 64.2 = 128\)

\({2^8} = {2^7}.2 = 128.2 = 256\)

\({2^9} = {2^8}.2 = 256.2 = 512\)

\({2^{10}} = {2^9}.2 = 512.2 = 1024\)

Câu b: \({3^2} = 3.3 = 9\)

\({3^3} = {3^2}.3 = 9.3 = 27\)

\({3^4} = {3^3}.3 = 27.3 = 81\)

\({3^5} = {3^4}.3 = 81.3 = 243\)

Câu c: \({4^2} = 4.4 = 16\)

\({4^3} = {4^2}.4 = 16.4 = 64\)

\({4^4} = {4^3}.4 = 64.4 = 256\)

Câu d: \({5^2} = 5.5 = 25\)

\({5^3} = {5^2}.5 = 25.5 = 125\)

\({5^4} = {5^3}.5 = 125.5 = 625\)

Câu e: \({6^2} = 6.6 = 36\)

\({6^3} = {6^2}.6 = 36.6 = 216\)

\({6^4} = {6^3}.6 = 216.6 = 1296\)

a) Lập bảng bình phương của các số tự nhiên từ 0 đến 20.

b) Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên: 64; 169; 196.

Phương pháp giải

Ta có: \({a^2} = a.a\) . Dựa vào đây ta tính được bình phương của 1 số.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta lập được bảng bình phương các số tự nhiên từ 0 đến 20 như sau

Câu b: Từ bảng ở câu a ta có

64 = 82; 169 = 132 ; 196 = 142

a) Lập bảng lập phương của các số tự nhiên từ 0 đến 10.

b) Viết mỗi số sau thành lập phương của một số tự nhiên: 27; 125; 216

Phương pháp giải

Ta có: \({a^3} = a.a.a\) . Dựa vào đây ta tính được lập phương của 1 số.

Hướng dẫn giải

Câu a: Bảng lập phương các số tự nhiên từ 0 đến 10 

Câu b

Cách 1

Theo bảng trên ta có: 27 = 33;   125 = 53;   216 = 63.   

Cách 2

27=3.3.3=33 

125 = 5.5.5 = 53;

216 = 6.6.6 = 63.

Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 3³ . 3⁴;                    b) 5² . 5⁷;                 c) 7⁵ . 7.

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số:

a^m . an = a^{m + n}

Hướng dẫn giải

a) 3³ . 3⁴ = 3³⁺⁴ = 3⁷ 

b) 5² . 5⁷ = 5^{2+ 7}  = 5⁹ 

c) 7⁵ . 7 =7⁵⁺¹ = 7⁶ 

Trong các số sau, số nào là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn \(1\) (chú ý rằng có những số có nhiều cách viết dưới dạng lũy thừa):

\(8, 16, 20, 27, 60, 64, 81, 90, 100\)?

Phương pháp giải

Một số viết được dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn \(1\) nếu số đó viết được dưới dạng: \({a^n}\) với \(n > 1\)

Hướng dẫn giải

Các số viết được dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn \(1\) là:

\(8 = 2.2.2 = {2^3}\)

\(16 = 4.4 = 4^2\) hoặc \(16 = 2.2.2.2 = 2^4\)

\(27 = 3.3.3 = 3^3\)

\(64 = 8.8 =  8^2\) hoặc \(64 = 2.2.2.2.2.2 = 2^6\) hoặc \(64 = 4.4.4 =4^3\)

\(81 = 9.9 = 9^2\) hoặc \(81 = 3.3.3.3 = 3^4;\)

\(100 = 10.10 =  10^2\)

Số \(20, 60, 90\) không viết được dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên.

a) Tính: \(10^2 ; 10^3; 10^4; 10^5; 10^6\)

b) Viết mỗi số sau dưới dạng lũy thừa của \(10\)

\(1000\);            \(1 000 000\);              

\(1\) tỉ;               \(1 00...0\) (\(12\) chữ số \(0\))

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: \({a^n} = \underbrace {a.a.\,....a}_\text{n thừa số}\,\,\,\,\left( {n \ne 0} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(10^2= 10. 10 =  100\);

\(10^3= 10.10.10 =  1000\);

\(10^4= 10.10.10.10 = 10000\);

\(10^5= 10.10.10.10.10 = 100000\);

\(10^6= 10.10.10.10.10.10 =  1000000\);

Câu b: Sử dụng lưu ý

\(10^n=1\underbrace {00.\,....0}_{n\,\,\text{chữ số}\,\,0}\, \)

Nên ta có

\(1000 = 10^3\)

\(1 000 000 = 10^6\)

\(1\) tỉ \(=1000000000=10^9\) 

\(1\underbrace {00.\,....0}_{12\,\,\text{chữ số}\,\,0}\, = {10^{12}}\,\)

Điền dấu "x" vào ô thích hợp:

Phương pháp giải

Áp dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(2^3.2^2=2^{3+2}=2^5\) nên dòng a) sai và dòng b) đúng.

Câu b: \(5^4.5=5^{4+1}=5^5\) nên dòng c) sai.

Ta có bảng sau

Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:

a) \({2^3}{.2^2}{.2^4}\)                            

b) \({10^2}{.10^3}{.10^5}\)

c) \(x . x^5\)

d) \({a^3}.{a^2}.{a^{5}}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc: \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\) và quy ước \({a^1} = a\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \({2^3}{.2^2}{.2^4} = {2^{3 + 2 + 4}} = {2^9}\); 

Câu b: \({10^2}{.10^3}{.10^5} = {10^{2 + 3 + 5}} = {10^{10}}\)

Câu c: \(x.{x^5} = x^1.x^5={x^{1 + 5}} = {x^6}\)

Câu d: \({a^3}.{a^2}.{a^5} = {a^{3 + 2 + 5}} = {a^{10}}\)

Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số sau ?

a) \({2^3}\) và \({3^2}\)

b) \({2^4}\) và \({4^2}\)

c) ({2^5}\) và \({5^2}\)

d) \({2^{10}}\) và \(100.\)

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: \({a^n} = \underbrace {a.a...a}_\text{n thừa số a}\,\,\left( {n \ne 0} \right)\) sau đó tính được kết quả từng lũy thừa rồi so sánh chúng với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì \({2^3}= 2.2.2 = 8\)

\({3^2}= 3.3 =  9\)   

Có \(8 < 9\) nên  \({2^3}<{3^2}\)             

Câu b: Vì \({2^4}= 2.2.2.2 =  16\)

\({4^2}= 4.4 =  16\)

Có \(16 = 16\) nên \({2^4}={4^2}\)

Câu c: Vì \({2^5}= 2.2.2.2.2 =  32\)

\({5^2}= 5.5 = 25\)  

Có: \(32 > 25\) nên \({2^5}>{5^2}\)            

Câu d: Vì \(2^{10}= 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 1024 > 100\)

nên  \({2^{10}}>100.\)

Ta biết 11² = 121;    111² = 12321.

Hãy dự đoán: 1111² bằng bao nhiêu? Kiểm tra lại dự đoán đó

Phương pháp giải

Sử dụng dữ kiện đề bài để dự đoán kết quả

Kiểm tra lại bằng cách sử dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng.

Hướng dẫn giải

Ta có \(11^2=121;111^2=12321\) nên ta dự đoán  \(1111^2= 1234321.\)

Thật vậy,  

\(1111^2 = 1111.1111 \)\(= 1111.(1000 + 100 + 10 + 1)\)

\(= 1111.1000 + 1111.100 \)\(+ 1111.10 + 1111\)

\(= 1111000 + 111100 + 11110 + 11\)

\(= 1234321.\)

Tương tự ta có thể kết luận

\(11111^2 = 123454321 ;\)

\(111111^2 = 12345654321;\)

\(1111111^2 = 1234567654321.\)