Giải bài tập SGK Toán 6 Bài 16: Ước chung và bội chung

Điền kí hiệu \(∈\) hoặc \(\notin\) vào ô vuông cho đúng:

a) \(4\) \(\square\) \(ƯC (12, 18)\);                          b) \(6\) \(\square\) \(ƯC (12, 18)\);

c) \(2\) \(\square\) \(ƯC (4, 6, 8)\);                          d) \(4\) \(\square\) \(ƯC (4, 6, 8)\);

e) \(80\) \(\square\) \(BC (20, 30)\);                        g) \(60\) \(\square\) \(BC (20, 30)\)

h) \(12\) \(\square\) \(BC (4, 6, 8)\);                         i) \(24\) \(\square\) \(BC (4, 6, 8)\)

Phương pháp giải

- ƯỚC CHUNG của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
\(x \in ƯC\left( {a,b} \right) \,khi\, a \vdots x,\,\,b \vdots x\)

- BỘI CHUNG của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

\(x \in BC\left( {a,b} \right)\,\,khi\,\,x \vdots a,\,\,x \vdots b\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì \(18\,\not{\vdots}\,4\) nên \(4 ∉ ƯC(12, 18).\)

Câu b: Vì \(12\, ⋮ \,6; 18 \,⋮ \,6\) nên \(6 ∈ ƯC (12, 18).\) 

Câu c: Vì \(4 \,⋮ \,2; 6\, ⋮ \,2; 8\, ⋮ \,2\) nên \(2 ∈ ƯC (2, 4, 6).\)

Câu d: Vì \(6\,\not{\vdots}\,4\) nên \(4 ∉ ƯC (4, 6, 8). \)

Câu e: Vì \(80\,\not{\vdots}\,30\) nên \(80 ∉ BC (20, 30).\)

Câu g: Vì \(60 \,⋮ \,30; 60\, ⋮ \,20\) nên \(60 ∈ BC (20, 30).\)

Câu h: Vì \(12\,\not{\vdots}\,8\) nên \(12 ∉ BC (4, 6, 8).\)

Câu i: Có \(24\, ⋮\, 4; 24\, ⋮\, 6; 24 \,⋮ \,8\) nên \(24 ∈ BC (4, 6, 8).\)

 Viết các tập hợp

a) \(Ư (6), Ư (9), ƯC (6, 9)\)

b) \(Ư (7), Ư (8), ƯC (7, 8)\)

c) \(ƯC (4, 6, 8)\).

Phương pháp giải

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ta có thể tìm các ước của \(a \;(a > 1)\) bằng cách lần lượt chia \(a\) cho các số tự nhiên từ \(1\) đến \(a\) để xét xem \(a\) chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của \(a.\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(Ư (6) = \left\{ {1;2;3;6} \right\}\),

\(Ư (9) =\left\{ {1;3;9} \right\}\),

\(ƯC (6, 9) = Ư(6) ∩ Ư(9)= \left\{ {1;3} \right\}\).  

Câu b: \(Ư (7) = \left\{ {1;7} \right\}\),

\(Ư (8) = \left\{ {1;2;4;8} \right\}\),

Câu c: \(Ư (4) = \left\{ {1;2;4} \right\}\),

\(Ư (6) = \left\{ {1;2;3;6} \right\}\),

\(Ư (8) = \left\{ {1;2;4;8} \right\}\),

\(ƯC (4, 6, 8) = \left\{ {1;2} \right\}\).

Viết tập hợp \(A\) các số tự nhiên nhỏ hơn \(40\) là bội của \(6\). 

Viết tập hợp \(B\) các số tự nhiên nhỏ hơn \(40\) là bội của \(9\).
Gọi \(M\) là giao của hai tập hợp \(A\) và \(B\).

a) Viết các phần tử của tập hợp \(M\).

b) Dùng kí hiệu  \(⊂\) để thể hiện quan hệ giữa tập hợp \(M\) với mỗi tập hợp \(A\) và \(B\).

Phương pháp giải

• Ta có thể tìm các bội của một số khác \(0\) bằng cách nhân số đó lần lượt với \(0,1,2,3,...\)
• Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó. Kí hiệu giao của hai tập hợp \(A\) và \(B\) là \(A ∩ B\)

Hướng dẫn giải

Nhân 6 lần lượt với 0; 1; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; … ta được bội của 6 là 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; …

Tập hợp bội của 6 nhỏ hơn 40 là \(A = \left\{0;6; 12; 18; 24; 30; 36\right\}\)

Tập hợp bội của 9 nhỏ hơn 40 là \(B = \left\{0;9; 18; 27; 36\right\}\).

Câu a: Các phần tử của tập hợp M là các phần tử chung của hai tập hợp A và B.

Ta có: \(M = A ∩ B = \left\{0;18; 36\right\}\).

Câu b: Ta thấy: Mỗi phần tử của M đều là phần tử của A và B nên \(M⊂ A, M ⊂ B\).

Tìm giao của hai tập hợp \(A\) và \(B\), biết rằng:
a) \(A=\left\{\text{cam,táo,chanh}\right\}\)
    \(B=\left\{\text{cam,chanh, quýt}\right\}\)

b) \(A\) là tập hợp các học sinh giỏi môn Văn của một lớp, \(B\) là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán của lớp đó;

c) \(A\) là tập hợp các số chia hết cho \(5\), \(B\) là tập hợp các số chia hết cho \(10\);

d) \(A\) là tập hợp các số chẵn, \(B\) là tập hợp các số lẻ.

Phương pháp giải

Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì A và B có chung 2 phần tử là cam và chanh nên \(A ∩ B = \left\{cam, chanh\right\}\).

Câu b: \(A ∩ B\) là tập hợp các học sinh giỏi cả hai môn Văn và Toán.

Câu c: \(A ∩ B\) là tập hợp các số chia hết cho cả \(5\) và \(10\).

Vì các số chia hết cho \(10\) thì cũng chia hết cho \(5\) nên \(B\) là tập hợp các số chia hết cho cả \(5\) và \(10\). Do đó \(B = A ∩ B\). 

Có \(24\) bút bi, \(32\) quyển vở. Cô giáo muốn chia số bút và số vở đó thành một số phần thưởng như nhau gồm cả bút và vở. Trong các cách chia sau, cách nào thực hiện được ? Hãy điền vào ô trống trong trường hợp chia được.

Phương pháp giải

Ta đi tìm ước chung của \(24\) và \(32.\)

Hướng dẫn giải

Muốn cho mỗi phần thưởng đều có số bút như nhau, số vở như nhau thì số phần thưởng phải là ước chung của \(24\) và \(32\). 

Ta có  \(Ư(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\};\)\( Ư(32) = \{1; 2; 4; 8; 16; 32\}.\)

\(⇒ ƯC(24; 32) = Ư(24) ∩ Ư(32)\)\( = \{1; 2; 4; 8\}.\)

Vì \(6\) không phải là ước chung của \(24\) và \(32\) nên không thể chia thành \(6\) phần thưởng như nhau được.

Ta có thể chia thành \(4\) hoặc \(8\) phần thưởng như nhau.