Giải bài tập SGK Toán 6 Ôn tập cuối năm

Điền kí hiệu (∈, ∉, ⊂, ∩) thích hợp vào ô vuông:

$\displaystyle {{ - 3} \over 4}\, \square \, {\rm{ }}Z;$           $0 \, \square \, N ;$            $3,275 \, \square \, N;$ 

$N \, \square \, Z = N;$           $N \, \square \, Z.$ 

Hướng dẫn giải

$\displaystyle {{ - 3} \over 4} \notin Z;$            $0 ∈ N;$          $3,275 ∉ N;$

$N ∩ Z = N;$          $N ⊂ Z.$ 

Điền vào chỗ trống:

a) Với $a, n ∈ N$

${a^n} = \underbrace {a.a.a.\,...\,.a}_{...\,\,thừa\,\,số}$ với $...$

Với $a ≠ 0$ thì $a^0= ...$

b) Với $a, m, n ∈ N$

${a^m}.{a^n} =...$

${a^m}:{a^n} = ...$ với ..... 

Hướng dẫn giải

Câu a

Với $a, n ∈ N$

${a^n} = \underbrace {a.a.a.\,...\,.a}_{n\,\,thừa\,\,số}$ với $n ≠ 0$

Với $a ≠ 0$ thì $a^0= 1$

Câu b

Với $a, m, n ∈ N$

${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$

${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$ với $a≠ 0$ và $m ≥ n$ 

Tìm giao của tập hợp C các số chẵn và tập hợp L các số lẻ. 

Hướng dẫn giải

Gọi một số $m ∈ Z$ thì $2m$ là số chẵn và $2m +1$ là số lẻ. Ta có:

$C = \{x ∈ Z / x = 2m\}$

$L = \{ x ∈ Z / x = 2m + 1\}$  

Suy ra $C ∩ L = Ø$ vì không có số nào vừa chẵn vừa lẻ.

Tính giá trị các biểu thức sau:

$A = 27 + 46 + 79 + 34 + 53;$

$B = - 377 - (98 - 277)$

$C = - 1,7. 2,3 + 1,7. (- 3,7) - 1,7.3 - 0,17:0,1$

$\displaystyle D = 2{3 \over 4}.\left( { - 0,4} \right) - 1{3 \over 5}.2,75 + \left( { - 1,2} \right):{4 \over {11}}$

$E = \displaystyle {{\left( {{2^3}.5.7} \right)\left( {{5^2}{{.7}^3}} \right)} \over {{{\left( {{{2.5.7}^2}} \right)}^2}}}$

Hướng dẫn giải

$\displaystyle A = 27 + 46 + 79 + 34 + 53$$\displaystyle = (27 + 53)  +  (46 + 34) + 79$$\displaystyle = 80 + 80 + 79 = 239$

$\displaystyle B = - 377 - (98 - 277)$

   $\displaystyle = - 377 - 98 + 277$

   $\displaystyle =  (- 377+ 277)-98$

   $\displaystyle = -100-98$ 

   $\displaystyle =           -198$

$\displaystyle C = - 1,7. 2,3 + 1,7. (- 3,7)$$\displaystyle - 1,7.3 - 0,17:0,1$

  $\displaystyle = - 1,7. 2,3 + 1,7. (- 3,7)$$\displaystyle - 1,7.3 - 0,17.10$

 $\displaystyle = - 1,7. 2,3 - 1,7.  3,7$$\displaystyle - 1,7.3 - 1,7$

  $\displaystyle = -1,7. (2,3 + 3,7 + 3 + 1)$

  $\displaystyle = -1,7 . 10$

  $\displaystyle =  -17.$

$\displaystyle D=2{3 \over 4}.\left( { - 0,4} \right) - 1{3 \over 5}.2,75$$\displaystyle + \left( { - 1,2} \right):{4 \over {11}}$

$\displaystyle ={{11} \over 4}.{{ - 4} \over {10}} - {8 \over 5}.{{275} \over 100} + {{ - 12} \over 10}.{{11} \over 4}$

   $\displaystyle ={{11} \over 4}.{{ - 2} \over {5}} - {8 \over 5}.{{11} \over 4} + {{ - 6} \over 5}.{{11} \over 4}$

   $\displaystyle ={{11} \over 4}.\left( {{{ - 2} \over {5}} - {8 \over 5} + {{ - 6} \over 5}} \right)$

   $\displaystyle  = {{11} \over 4}.{{ - 2 - 8 - 6} \over 5}$

   $\displaystyle  = {{11} \over 4}.{{ - 16} \over 5}$

   $\displaystyle  = {{ - 44} \over 5}$ 

$\displaystyle E = {{\left( {{2^3}.5.7} \right).\left( {{5^2}{{.7}^3}} \right)} \over {{{\left( {{{2.5.7}^2}} \right)}^2}}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{{2^3}{{.5.7.5}^2}{{.7}^3}}}{{{2^2}{{.5}^2}.{{\left( {{7^2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{2^3}{{.5}^{1 + 2}}{{.7}^{1 + 3}}}}{{{2^2}{{.5}^2}{{.7}^{2.2}}}}\\ = \dfrac{{{2^3}{{.5}^3}{{.7}^4}}}{{{2^2}{{.5}^2}{{.7}^4}}} = \dfrac{{2.5.1}}{{1.1.1}} = 10 \end{array}$

Chia đều $60$ chiếc kẹo cho tất cả học sinh lớp 6C thì còn dư $13$ chiếc. Hỏi lớp 6C có bao nhiêu học sinh? 

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh của lớp 6C là $x$ (học sinh) và số kẹo mỗi học sinh nhận được là $m$ (kẹo) thì ta có:

$60 = x. m +13,$ với $13 < x.$

Chuyển vế ta được: $x . m = 60 – 13$ hay $x. m = 47.$

Vì $13 < x$ và $47$ là số nguyên tố nên $47 = 47.1.$ Do đó $x = 47$ và $m = 1$

Vậy lớp 6C có $47$ học sinh. 

Cách lập luận khác: 

Chia đều 60 chiếc kẹo cho tất cả học sinh lớp 6C còn dư 13 chiếc, nên số học sinh lớp 6C là ước của:

$60 - 13 = 47$

Vì 47 là số nguyên tố, chỉ có hai ước là 1 và 47 nên số học sinh lớp 6C là 47 học sinh.

(Số học sinh không thể bằng 1 vì phép chia 60 cho số học sinh có số dư là 13 > 1)

Một ca nô xuôi một khúc sông hết $3$ giờ và ngược khúc sông đó hết $5$ giờ. Biết vận tốc dòng nước là $3$ km/h. Tính độ dài khúc sông đó.

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài khúc sông là $x$ (km).

Vì ca nô xuôi 1 khúc sông hết $\displaystyle 3$ giờ nên vận tốc xuôi dòng của ca nô là: $\displaystyle {x \over 3}$ (km/h)

Suy ra vận tốc thực của ca nô là $\displaystyle {x \over 3} - 3$ km/h

Vì ca nô ngược khúc sông đó hết $\displaystyle 5$ giờ nên vận tốc ngược dòng của ca nô là: $\displaystyle {x \over 5}$  (km/h).

Suy ra vận tốc thực của ca nô là $\displaystyle {x \over 5} + 3$ km/h

Vì vận tốc thực của ca nô bằng nhau nên ta có:

$\displaystyle {x \over 3} - 3 = {x \over 5} + 3$

$\dfrac{{x - 9}}{3} = \dfrac{{x + 15}}{5}$

$5(x-9)=3(x+15)$

$\displaystyle 5x - 45 = 3x + 45$ 

Chuyển vế ta được: $\displaystyle 2x = 90$ nên $x=90:2=45$

Vậy $\displaystyle x = 45$ (km). 

Cách khác:

Khi xuôi dòng, $1$ giờ ca nô đi được $\displaystyle {1 \over 3}$ khúc sông.

Khi ngược dòng, $1$ giờ ca nô đi được $\displaystyle {1 \over 5}$ khúc sông.

$1$ giờ dòng nước chảy được chảy được $\dfrac{1}{2} \cdot \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}} \right) = \dfrac{1}{{15}}$ (khúc sông) ứng với $3$km.

Độ dài khúc sông đó là :  $3:\dfrac{1}{{15}} = 45\left( {km} \right)$

Đáp số : $45$ (km). 

So sánh hai biểu thức A và B biết rằng:

$\displaystyle A = {{2000} \over {2001}} + {{2001} \over {2002}}$

$\displaystyle B = {{2000 + 2001} \over {2001 + 2002}}$ 

Hướng dẫn giải

Ta có: $\displaystyle {{2000} \over {2001}} > {{2000} \over {2001 + 2002}}$ (hai phân số dương có cùng tử, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn)

$\displaystyle {{2001} \over {2002}} > {{2001} \over {2001 + 2002}}$   (hai phân số dương có cùng tử, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn) 

Cộng vế với vế ta được:

$\displaystyle {{2000} \over {2001}} + {{2001} \over {2002}} > {{2000} \over {2001 + 2002}} + {{2001} \over {2001 + 2002}}$

Hay $\displaystyle {{2000} \over {2001}} + {{2001} \over {2002}} > {{2000+2001} \over {2001 + 2002}}$

Vậy $\displaystyle A > B$ 

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Biết rằng để chảy được nửa bể, một mình vòi A phải mất 4 giờ 30 phút còn một mình vòi B chỉ mất 2 giờ 15 phút. Hỏi cả hai vòi cùng chảy vào bể đó thì sau bao lâu bể sẽ đầy? 

Hướng dẫn giải

Đổi 4 giờ 30 phút = $\displaystyle {9 \over 2}$ giờ, 2 giờ 15 phút $= \displaystyle {9 \over 4}$ giờ.

Vì để chảy được nửa bể, một mình vòi A phải mất 4 giờ 30 phút tức là  $\displaystyle {9 \over 2}$ giờ nên mỗi giờ vòi A chảy vào được $\displaystyle {1 \over 2}:{9 \over 2} = {1 \over 9}$ (bể).

Tương tự: Mỗi giờ vòi B chảy vào được: $\displaystyle {1 \over 2}:{9 \over 4} = {2 \over 9}$ (bể).

Suy ra mỗi giờ, cả hai vòi chảy được $\displaystyle {1 \over 9} + {2 \over 9} = {1 \over 3}$ (bể).

Vậy để đầy bể thì cả hai vòi cùng chảy vào trong $\displaystyle 1:{1 \over 3} = 3$ (giờ).

Tính:

a) $\displaystyle 1{{13} \over {15}}.{\left( {0,5} \right)^2}.3 + \left( {{8 \over {15}} - 1{{19} \over {60}}} \right):1{{23} \over {24}}$

b) $\dfrac{{\left( {\dfrac{{{{11}^2}}}{{200}} + 0,415} \right):0,01}}{{\dfrac{1}{{12}} - 37,25 + 3\dfrac{1}{6}}}$

Hướng dẫn giải

Câu a

( \displaystyle 1{{13} \over {15}}.{\left( {0,5} \right)^2}.3 + \left( {{8 \over {15}} - 1{{19} \over {60}}} \right):1{{23} \over {24}}\)

$\displaystyle = {{28} \over {15}}.{\left( {{1 \over 2}} \right)^2}.3 + \left( {{8 \over {15}} - {{79} \over {60}}} \right):{{47} \over {24}}$ 

$\displaystyle = {{28} \over {15}}.{1 \over 4}.3 + {{8.4 - 79} \over {60}}:{{47} \over {24}}$

$\displaystyle = {7 \over 5} + {{ - 47} \over {60}}.{{24} \over {47}}$

$\displaystyle = {7 \over 5} + {{ - 2} \over 5}$

$\displaystyle = {5 \over 5} = 1$

Câu b

$\displaystyle \dfrac{{\left( {\dfrac{{{{11}^2}}}{{200}} + 0,415} \right):0,01}}{{\dfrac{1}{{12}} - 37,25 + 3\dfrac{1}{6}}}$

$= \dfrac{{\left( {\dfrac{{121}}{{200}} + \dfrac{{415}}{{1000}}} \right):\dfrac{1}{{100}}}}{{\dfrac{1}{{12}} - \dfrac{{149}}{4} + \dfrac{{19}}{6}}}$

$= \dfrac{{\left( {\dfrac{{121}}{{200}} + \dfrac{{83}}{{200}}} \right):\dfrac{1}{{100}}}}{{\dfrac{{1 - 447 + 38}}{{12}}}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{\dfrac{{204}}{{200}}:\dfrac{1}{{100}}}}{{\dfrac{{ - 408}}{{12}}}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{102}}{{100}}.100}}{{ - 34}}\\ = \dfrac{{102}}{{ - 34}} = - 3 \end{array}$

Độ C và độ F

Ở nước ta và nhiều nước khác, nhiệt độ được tính theo độ C (chữ dầu của Celsius, đọc là Xen – xi - ớt – xơ ).

Ở Anh, Mỹ và một số nước khác, nhiệt độ được tính theo độ F (chữ đầu của Fahrenheit, đọc là Phe – rơn – hai – tơ). Công thức đổi từ độ C sang độ F là: $F = \dfrac{9}{5}C + 32$

(F và C ở đây là số độ F và số độ C tương ứng). 

a) Tính xem trong điều kiện bình thường, nước sôi ở bao nhiêu độ F?

b) Lập công thức đổi từ độ F sang độ C rồi tính xem $50^\circ F$ tương đương với bao nhiêu độ C?

c) Ở Bắc cực có một thời điểm mà nhiệt kế đo độ C và nhiệt kế đo độ F cùng chỉ một số. Tìm số đó.

Hướng dẫn giải

Câu a

Vì nước sôi ở $100^0C$ nên thay $C=100$ vào công thức đổi từ nhiệt độ C sang nhiệt độ F, ta có:

 $\displaystyle F = {9 \over 5}C + 32 = {9 \over 5}.100 + 32$$\displaystyle = 180 + 32 = 212{(^0}F)$

Vậy nước sôi ở $212^0F$ 

Câu b

Từ công thức $\displaystyle F = {9 \over 5}C + 32$ 

Suy ra:

$\begin{array}{l} \dfrac{9}{5}C = F - 32\\ C = \left( {F - 32} \right):\dfrac{9}{5} \end{array}$

$\displaystyle C = {5 \over 9}\left( {F - 32} \right)$

Vậy $\displaystyle C = {5 \over 9}\left( {F - 32} \right)$

* Thay F = 50 vào công thức $\displaystyle C = {5 \over 9}\left( {F - 32} \right)$ ta được:

$50^0F$ tương đương với $\displaystyle {5 \over 9}\left( {50 - 32} \right)$$\displaystyle = {5 \over 9}.18 = 10^0C$  

Câu c

Hai loại nhiệt kế chỉ cùng một số tức $F=C$ nên $\displaystyle C = {9 \over 5}C + 32$ hay $\displaystyle \left( {{9 \over 5} - 1} \right)C =  - 32$ 

$\displaystyle {4 \over 5}C =  - 32$

$\begin{array}{l} C = - 32:\dfrac{4}{5}\\ C = - 32.\dfrac{5}{4} \end{array}$

$C = -40$ 

Vậy thời điểm cả hai nhiệt kế cùng chỉ một số là $–40.$

“Tỉ số vàng”

Người Cổ Hy Lạp và người Cổ Ai Cập đã ý thức được tỉ số “đẹp” trong các công trình xây dựng. Họ cho rằng hình chữ nhật đẹp là hình chữ nhật có tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng là $1: 0,618$ (các hình chữ nhật: DPLC, APLB, HGLB, … trong hình 17). Vì thê, tỉ số này được gọi là “tỉ số vàng” (theo cách gọi của nhà danh họa và nhà khoa học người Ý nổi tiếng Lê – ô – nác – đô đa Vin – xi). 

Khi nghiên cứu kiến trúc của Đền cổ Pác – tê – nông (h.18) ở A – ten (Hy Lạp), người ta nhận xét kích thước của các hình hình học trong đền phần lớn chịu ảnh hưởng của “tỉ số vàng”.

a) Các kích thước của một hình chữ nhật tuân theo “tỉ số vàng”, biết rằng chiều rộng của nó đo được 3,09m. Tính chiều dài của hình chữ nhật đó.

b) Chiều dài của một hình chữ nhật là 4,5 m. Để có “tỉ số vàng” thì chiều rộng của nó phải là bao nhiêu?

c) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là 15,4m, chiều rộng là 8m. Khu vườn này có đạt “tỉ số vàng” không?

Hướng dẫn giải

Câu a

Gọi $x$ (m) là chiều dài hình chữ nhật $(x > 0).$

Để có tỉ số vàng thì: 

$x : 3,09 = 1 : 0,618$ 

$x =3,09 : 0,618 = 5(m)$ 

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 5m

Câu b

Gọi $y$ (m) là chiều rộng hình chữ nhật $(y > 0).$

Để có tỉ số vàng thì:

$4,5 : y = 1 : 0,618$

$y =4,5:(1:0,618)= 4,5.0,618$$= 2,781(m)$

Vậy chiều rộng hình chữ nhật là 2,781(m)

Câu c

Ta có tỉ số vàng bằng $1 :0,618 \approx 1,618$

Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là:

$15,4 : 8 = 1,925 ≠ 1,618$

Vậy khu vườn không đạt tỉ số vàng.