Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức

Làm tính nhân

a) \(x^2.\left(5x^3 - x - \dfrac{1}{2}\right)\)

b) \((3xy - x^2 + y).\dfrac{2}{3}x^2y\)

c) \((4x^3 - 5xy + 2x)\left(- \dfrac{1}{2}xy\right)\)

Phương pháp giải

Áp dụng: Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l} {x^2}(5{x^3} - x - \frac{1}{2})\\ = {x^2}5{x^3} + {x^2}\left( { - x} \right) - \frac{1}{2}{x^2}\\ = 5{x^5} - {x^3} - \frac{1}{2}{x^2} \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{l} (3xy - {x^2} + y)\frac{2}{3}{x^2}y\\ = \frac{2}{3}{x^2}y.3xy + \frac{2}{3}{x^2}y\left( { - {x^2}} \right) + \frac{2}{3}{x^2}y.y\\ = 2{x^3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^4}y + \frac{2}{3}{x^2}{y^2} \end{array}\)

Câu c

\(\begin{array}{l} (4{x^3} - 5xy + 2x)( - \frac{1}{2}xy)\\ = 4{x^3}( - \frac{1}{2}xy) - 5xy( - \frac{1}{2}xy) + 2x( - \frac{1}{2}xy)\\ = - 2{x^4}y + \frac{5}{2}{x^2}{y^2} - {x^2}y \end{array}\)

Thực hiện phép nhân, rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) \(x(x – y) + y(x + y)\) tại \(x = - 6\) và \(y = 8\)

b) \(x(x^2 – y) – x^2(x+y) + y(x^2 – x)\) tại \(x = \dfrac{1}{2}\) và \(y = -100\)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng số hạng của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
• Sau khi rút gọn ta thay các giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\) để tìm giá trị của biểu thức đó.

Hướng dẫn giải

Câu a 

\(\eqalign{
& x\left( {x - y} \right) + y\left( {x + y} \right) \cr 
& = x.x + x.( - y) + y.x + y.y \cr 
& = {x^2}-xy + yx + {y^2} \cr 
& = {x^2} + {y^2} \cr} \)

Với \(x = -6, y = 8\) biểu thức có giá trị là \({\left( { - 6} \right)^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100\)

Câu b

\(\eqalign{
& x({x^{2}} - {\rm{ }}y) - {x^{2}}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right) + y{\rm{ }}({x^2}-{\rm{ }}x) \cr 
& = x.{x^2} + x.( - y) + ( - {x^2}).x + ( - {x^2}).y + y.{x^2} + y.( - x) \cr 
& = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}y{x^2} - {\rm{ }}yx \cr 
& = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - xy - yx} \right) + \left( { - {x^2}y + y{x^2}} \right) \cr 
& = - 2xy \cr} \)

Với \(x = \dfrac{1}{2}, y = -100\) biểu thức có giá trị là \(-2 . \dfrac{1}{2} . (-100) = 100\).

Tìm \(x,\) biết

a) \(3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30\)

b) \(x(5 – 2x) + 2x(x - 1) = 15\)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Quy tắc nhân đơn thức với đa thức để nhân phá ngoặc.
• Nhóm các hạng tử đồng dạng rồi rút gọn.
• Tìm \(x\).

Hướng dẫn giải

Câu a: 

\(\begin{array}{l} 3x\left( {12x - 4} \right) - 9x\left( {4x - 3} \right) = 30\\ \begin{array}{*{20}{l}} {3x\left( {12x - 4} \right) - {\rm{9}}x\left( {4x - 3} \right) = 30}\\ {36{x^2}-12x-36{x^2} + 27x = 30}\\ {15x = 30} \end{array} \end{array}\\ \;{x = 2}\)

Câu b

\(\begin{array}{l} x\left( {5 - 2x} \right) + 2x\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right) = 15\\ \begin{array}{*{20}{l}} {x\left( {5 - 2x} \right) + 2x\left( {x{\rm{ }} - 1} \right) = 15}\\ {\;5x-2{x^2} + 2{x^2}-2x = {\rm{ }}15}\\ {3x = 15}\\ {\;x = 5} \end{array} \end{array}\)

Đố: Đoán tuổi

Bạn hãy lấy tuổi của mình

- Cộng thêm 5

- Được bao nhiêu đem nhân với 2

- Lấy kết quả trên cộng với 10

- Nhân kết quả vừa tìm được với 5

- Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ đi 100

Tôi sẽ đoán được tuổi của bạn. Giải thích tại sao

Phương pháp giải

• Gọi gọi số tuổi là \(x\), sau đó lập một biểu thức theo cách diễn đạt của bài toán.
• Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để nhân phá ngoặc và rút gọn biểu thức đó.

Hướng dẫn giải

Giả sử tuổi bạn là \(x\). Đem tuổi của mình:

+ Cộng thêm \(5\) ta được \(x + 5\)

+ Được bao nhiêu đem nhân với \( 2\) ta được \((x + 5).2\)

+ Lấy kết quả trên cộng với \(10\) ta được \((x + 5).2 + 10\)

+ Nhân kết quả vừa tìm được với \(5\)  ta được \([(x + 5).2 + 10].5\)

+ Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ đi \(100\) ta được \([(x + 5).2 + 10].5 – 100\)

Rút gọn biểu thức trên

\([(x + 5).2 + 10] . 5 - 100\)

\(= (2x + 10 + 10) . 5 - 100\)

\(= (2x + 20) . 5 - 100\)

\(= 10x + 100 - 100\)

\(= 10x\)

Thực chất kết quả cuối cùng được đọc lên chính là \(10\) lần số tuổi của bạn

Vì vậy, khi đọc kết quả cuối cùng, thì tôi chỉ việc bỏ đi một chữ số \(0\) ở tận cùng (hoặc chia cho 10) là ra số tuổi của bạn. Chẳng hạn bạn đọc là \(130\) thì tuổi của bạn là \(13.\)

Rút gọn biểu thức

a) \(x(x – y) + y(x – y)\)

b) \(x^{n-1}(x + y) – y(x^{n–1} + y^{n–1})\)

Phương pháp giải

- Áp dụng

• Quy tắc nhân đơn thức với đa thức.
• \({a^n}.{a^m} = {a^{n + m}}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l}
\,x\left( {x - y} \right) + y\left( {x - y} \right)\\ =x.x+x.(-y)+y.x+y.(-y)\\= x^2 - x.y + x.y - y^2\\
= {x^2} + \left( {xy - xy} \right) - {y^2} = {x^2} - {y^2}
\end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{l}
\,{x^{n - 1}}\left( {x + y} \right) - y\left( {{x^{n - 1}} + {y^{n - 1}}} \right)\\
= {x^{n - 1}}.x + {x^{n - 1}}.y +(- y).{x^{n - 1}}+( - y).{y^{n - 1}}\\
= {x^n} + \left( {{x^{n - 1}}.y - {x^{n - 1}}.y} \right) - {y^n} \\= {x^n} - {y^n}
\end{array}\)

Đánh dấu x vào ô mà em cho là đáp số đúng

Giá trị của biểu thức \(ax(x – y) + y^3(x + y)\) tại \(x = -1\) và \(y = 1\) (\(a\) là hằng số) là:

Hướng dẫn giải

Thay các giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\) vào biểu thức rồi rút gọn

Hướng dẫn giải

Thay \(x = -1, y = 1\) vào biểu thức \(ax\left( {x - y} \right) + {y^3}\left( {x + y} \right)\), ta được: 

\(a.\left( { - 1} \right).\left( { - 1 - 1} \right) + {1^3}.\left( { - 1 + 1} \right) \)\(= \left( { - a} \right).\left( { - 2} \right) + 1.0 = 2{\rm{a}}\)

Vậy đánh dấu x vào ô trống tương ứng với \( 2a\).