Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức

Làm tính nhân

a) $x^2.\left(5x^3 - x - \dfrac{1}{2}\right)$

b) $(3xy - x^2 + y).\dfrac{2}{3}x^2y$

c) $(4x^3 - 5xy + 2x)\left(- \dfrac{1}{2}xy\right)$

Phương pháp giải

Áp dụng: Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

$\begin{array}{l} {x^2}(5{x^3} - x - \frac{1}{2})\\ = {x^2}5{x^3} + {x^2}\left( { - x} \right) - \frac{1}{2}{x^2}\\ = 5{x^5} - {x^3} - \frac{1}{2}{x^2} \end{array}$

Câu b

$\begin{array}{l} (3xy - {x^2} + y)\frac{2}{3}{x^2}y\\ = \frac{2}{3}{x^2}y.3xy + \frac{2}{3}{x^2}y\left( { - {x^2}} \right) + \frac{2}{3}{x^2}y.y\\ = 2{x^3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^4}y + \frac{2}{3}{x^2}{y^2} \end{array}$

Câu c

$\begin{array}{l} (4{x^3} - 5xy + 2x)( - \frac{1}{2}xy)\\ = 4{x^3}( - \frac{1}{2}xy) - 5xy( - \frac{1}{2}xy) + 2x( - \frac{1}{2}xy)\\ = - 2{x^4}y + \frac{5}{2}{x^2}{y^2} - {x^2}y \end{array}$

Thực hiện phép nhân, rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) $x(x – y) + y(x + y)$ tại $x = - 6$ và $y = 8$

b) $x(x^2 – y) – x^2(x+y) + y(x^2 – x)$ tại $x = \dfrac{1}{2}$ và $y = -100$

Phương pháp giải

Áp dụng

• Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng số hạng của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
• Sau khi rút gọn ta thay các giá trị tương ứng của $x$ và $y$ để tìm giá trị của biểu thức đó.

Hướng dẫn giải

Câu a 

$\eqalign{ & x\left( {x - y} \right) + y\left( {x + y} \right) \cr  & = x.x + x.( - y) + y.x + y.y \cr  & = {x^2}-xy + yx + {y^2} \cr  & = {x^2} + {y^2} \cr}$

Với $x = -6, y = 8$ biểu thức có giá trị là ${\left( { - 6} \right)^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100$

Câu b

$\eqalign{ & x({x^{2}} - {\rm{ }}y) - {x^{2}}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right) + y{\rm{ }}({x^2}-{\rm{ }}x) \cr  & = x.{x^2} + x.( - y) + ( - {x^2}).x + ( - {x^2}).y + y.{x^2} + y.( - x) \cr  & = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}y{x^2} - {\rm{ }}yx \cr  & = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - xy - yx} \right) + \left( { - {x^2}y + y{x^2}} \right) \cr  & = - 2xy \cr}$

Với $x = \dfrac{1}{2}, y = -100$ biểu thức có giá trị là $-2 . \dfrac{1}{2} . (-100) = 100$.

Tìm $x,$ biết

a) $3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30$

b) $x(5 – 2x) + 2x(x - 1) = 15$

Phương pháp giải

Áp dụng

• Quy tắc nhân đơn thức với đa thức để nhân phá ngoặc.
• Nhóm các hạng tử đồng dạng rồi rút gọn.
• Tìm $x$.

Hướng dẫn giải

Câu a: 

$\begin{array}{l} 3x\left( {12x - 4} \right) - 9x\left( {4x - 3} \right) = 30\\ \begin{array}{*{20}{l}} {3x\left( {12x - 4} \right) - {\rm{9}}x\left( {4x - 3} \right) = 30}\\ {36{x^2}-12x-36{x^2} + 27x = 30}\\ {15x = 30} \end{array} \end{array}\\ \;{x = 2}$

Câu b

$\begin{array}{l} x\left( {5 - 2x} \right) + 2x\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right) = 15\\ \begin{array}{*{20}{l}} {x\left( {5 - 2x} \right) + 2x\left( {x{\rm{ }} - 1} \right) = 15}\\ {\;5x-2{x^2} + 2{x^2}-2x = {\rm{ }}15}\\ {3x = 15}\\ {\;x = 5} \end{array} \end{array}$

Đố: Đoán tuổi

Bạn hãy lấy tuổi của mình

- Cộng thêm 5

- Được bao nhiêu đem nhân với 2

- Lấy kết quả trên cộng với 10

- Nhân kết quả vừa tìm được với 5

- Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ đi 100

Tôi sẽ đoán được tuổi của bạn. Giải thích tại sao

Phương pháp giải

• Gọi gọi số tuổi là $x$, sau đó lập một biểu thức theo cách diễn đạt của bài toán.
• Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để nhân phá ngoặc và rút gọn biểu thức đó.

Hướng dẫn giải

Giả sử tuổi bạn là $x$. Đem tuổi của mình:

+ Cộng thêm $5$ ta được $x + 5$

+ Được bao nhiêu đem nhân với $2$ ta được $(x + 5).2$

+ Lấy kết quả trên cộng với $10$ ta được $(x + 5).2 + 10$

+ Nhân kết quả vừa tìm được với $5$  ta được $[(x + 5).2 + 10].5$

+ Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ đi $100$ ta được $[(x + 5).2 + 10].5 – 100$

Rút gọn biểu thức trên

$[(x + 5).2 + 10] . 5 - 100$

$= (2x + 10 + 10) . 5 - 100$

$= (2x + 20) . 5 - 100$

$= 10x + 100 - 100$

$= 10x$

Thực chất kết quả cuối cùng được đọc lên chính là $10$ lần số tuổi của bạn

Vì vậy, khi đọc kết quả cuối cùng, thì tôi chỉ việc bỏ đi một chữ số $0$ ở tận cùng (hoặc chia cho 10) là ra số tuổi của bạn. Chẳng hạn bạn đọc là $130$ thì tuổi của bạn là $13.$

Rút gọn biểu thức

a) $x(x – y) + y(x – y)$

b) $x^{n-1}(x + y) – y(x^{n–1} + y^{n–1})$

Phương pháp giải

- Áp dụng

• Quy tắc nhân đơn thức với đa thức.
• ${a^n}.{a^m} = {a^{n + m}}$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\begin{array}{l} \,x\left( {x - y} \right) + y\left( {x - y} \right)\\ =x.x+x.(-y)+y.x+y.(-y)\\= x^2 - x.y + x.y - y^2\\ = {x^2} + \left( {xy - xy} \right) - {y^2} = {x^2} - {y^2} \end{array}$

Câu b

$\begin{array}{l} \,{x^{n - 1}}\left( {x + y} \right) - y\left( {{x^{n - 1}} + {y^{n - 1}}} \right)\\ = {x^{n - 1}}.x + {x^{n - 1}}.y +(- y).{x^{n - 1}}+( - y).{y^{n - 1}}\\ = {x^n} + \left( {{x^{n - 1}}.y - {x^{n - 1}}.y} \right) - {y^n} \\= {x^n} - {y^n} \end{array}$

Đánh dấu x vào ô mà em cho là đáp số đúng

Giá trị của biểu thức $ax(x – y) + y^3(x + y)$ tại $x = -1$ và $y = 1$ ($a$ là hằng số) là:

Hướng dẫn giải

Thay các giá trị tương ứng của $x$ và $y$ vào biểu thức rồi rút gọn

Hướng dẫn giải

Thay $x = -1, y = 1$ vào biểu thức $ax\left( {x - y} \right) + {y^3}\left( {x + y} \right)$, ta được: 

$a.\left( { - 1} \right).\left( { - 1 - 1} \right) + {1^3}.\left( { - 1 + 1} \right)$$= \left( { - a} \right).\left( { - 2} \right) + 1.0 = 2{\rm{a}}$

Vậy đánh dấu x vào ô trống tương ứng với $2a$.