Giải bài tập SGK Toán 8 Bài: Luyện tập

Ở hình 51, tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và có đường cao $AH.$

a) Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau? (Hãy chỉ rõ từng cặp tam giác đồng dạng và viết theo các đỉnh tương ứng).

b) Cho biết $AB = 12,45cm,\, AC = 20,50cm.$ Tính độ dài các đoạn thẳng $BC, \,AH,\, BH$ và $CH.$

Phương pháp giải

a) Chứng minh $∆ABC$ đồng dạng $∆HBA$ (1)

Chứng minh $∆ABC$ đồng dạng $∆HAC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $∆HAC ∽ ∆HBA$ (vì cùng đồng dạng với $∆ABC$) 

b) Tính độ dài cạnh BC

Do $∆ABC ∽ ∆HBA$ (chứng minh câu a)

Nên $\dfrac{AB}{HB} =  \dfrac{BC}{BA}$, suy ra tìm được độ dài cạnh CH

Tương tự ta tính được độ dài AH do $∆ABC ∽ ∆HBA$ theo câu a

Hướng dẫn giải

a) Xét $∆ABC$ và $∆HBA$ có:

$\widehat{A} =  \widehat{H}={90^o}$

$\widehat{B}$ chung

$\Rightarrow ∆ABC ∽ ∆HBA$ (1) (g-g)

Xét $∆ABC$ và $∆HAC$ có:

$\widehat{A} = \widehat{H}={90^o}$

$\widehat{C}$ chung

$\Rightarrow ∆ABC ∽ ∆HAC$ (2) (g-g)

Từ (1) và (2) suy ra $∆HAC ∽ ∆HBA$ (vì cùng đồng dạng với $∆ABC$) 

b) $∆ABC$ vuông tại $A$ (giả thiết) nên áp dụng định lí Pitago ta có:

$\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr  & \;\;\;\;\;\;\;\;= 12,{45^2} + 20,{50^2} = 575,2525 \cr  & \Rightarrow BC = \sqrt {575,2525} \approx 24\,cm \cr}$

$∆ABC ∽ ∆HBA$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow  \dfrac{AB}{HB} =  \dfrac{BC}{BA}$ 

$\Rightarrow  HB =  \dfrac{AB^{2}}{BC} ≈  \dfrac{12,45^{2}}{24}≈ 6,5 cm$

$\Rightarrow CH = BC - BH \approx  24 - 6,5$$\,= 17,5 cm.$ 

Mặt khác: $\dfrac{AC}{AH} =  \dfrac{BC}{BA}$ (do $∆ABC ∽ ∆HBA$ theo câu a)

$\Rightarrow  AH = \dfrac{AB.AC}{BC}  \approx   \dfrac{12,45.20,50}{24}$ 

$\Rightarrow  AH  \approx  10,6 cm$.

Bóng của một ống khói nhà máy trên mặt đất có độ dài $36,9m$. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao $2,1 m$ cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài $1,62m$. Tính chiều cao của ống khói.

Phương pháp giải

Giả sử thanh sắt là $A'B'$, có bóng là $A'C'$.

Chứng minh hai tam giác vuông $ABC$ và $A'B'C'$ đồng dạng

Suy ra được $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'}$

Từ đó ta tìm được độ dài cạnh AB chính là chiều cao của ống khói.

Hướng dẫn giải

Chân đường cao $AH$ của tam giác vuông $ABC$ chia cạnh huyền $BC$ thành hai đoạn có độ dài $25cm$ và $36cm$. Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông đó (h.53)

Hướng dẫn: Trước tiên tìm cách $AH$ từ các tam giác vuông đồng dạng, sau đó tính các cạnh của tam giác $ABC.$

Phương pháp giải

- Do $∆AHB ∽ ∆CHA$ (g.g), xét tỉ số $\dfrac{AH}{CH }= \dfrac{BH}{AH}$

Từ đó tìm được độ dài cạnh AH

Suy ra: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}.AH.BC$

- Áp dụng Py-ta-go cho 2 tam giác vuông $ABH$ và $ACH$

Từ đó tìm được độ dài cạnh AB, AC

Vậy chu vi tam giác ABC là: $P = AB + AC + BC$

Hướng dẫn giải

$∆AHB ∽ ∆CHA$ (g.g) vì $\widehat{AHB} = \widehat{AHC}=90^o$ , $\widehat{BAH} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ với $\widehat {HAC}$)

$\Rightarrow \dfrac{AH}{CH }= \dfrac{BH}{AH}$

$\Rightarrow A{H^2}=CH.BH = 25.36$

$\Rightarrow A{H^2}= 900  \Rightarrow  AH = 30cm$

Vậy $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}.AH.BC$$\,= \dfrac{1}{2}.30.(25 + 36) = 915$ cm²

Áp dụng Py-ta-go cho 2 tam giác vuông $ABH$ và $ACH$ ta được: 

$\begin{array}{l} A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {25^2} + {30^2} = 1525\\ \Rightarrow AB \approx 39,05cm\\ A{C^2} = C{H^2} + A{H^2}\\ \Rightarrow A{C^2} = {36^2} + {30^2} = 2196\\ \Rightarrow AC \approx 46,86cm \end{array}$

Chu vi tam giác ABC là: $P = AB + AC + BC$ $= 39,05 + 46,86 + 61 = 146,91cm$

Cho một tam giác vuông, trong đó có cạnh huyền dài $20cm$ và một cạnh góc vuông dài $12cm$. Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền.

Phương pháp giải

Bước 1: Chứng minh $ΔHBA \backsim ΔABC$ để được tỉ lệ thức $\dfrac{HB}{AB} = \dfrac{BA}{BC}$

Bước 2: Tính $HB$

Bước 3: Tính $HC$

Hướng dẫn giải

Giả sử $ΔABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = 20cm;$ cạnh $AB = 12cm$ và đường cao $AH.$

Khi đó $HB$ và $HC$ lần lượt là hình chiếu của cạnh $AB$ và $AC$ lên cạnh huyền $BC.$

Xét $ΔHBA$ và $ΔABC$ có:

$\widehat{BAC} = \widehat{AHB}$ ( $= 90^o$)

$\widehat{B}$ chung

$\Rightarrow ΔHBA \backsim ΔABC$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{HB}{AB} = \dfrac{BA}{BC}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow HB = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{12^2}{20} = 7,2 \, (cm)$

Lại có: $HC = BC - HB = 20 - 7,2 = 12,8 \, (cm)$