Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) \(x^2 + 6x + 9\)

b) \(10x - 25 - x^2\)

c) \(8x^3 - \dfrac{1}{8}\)

d) \(\dfrac{1}{25}x^2 - 64y^2\)

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

Hương dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l} {x^2} + 6x + 9{\rm{ }}\\ = {x^2}\; + 2.x.3 + {3^2}\;\\ = {\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} 10x-25-{x^2}\;\\ = - \left( { - 10x + 25 + {x^2}} \right){\rm{ }}\\ = - \left( {25-10x + {x^2}} \right) \end{array}\\ \begin{array}{l} \; = - \left( {{5^2}\;-2.5.x-{x^2}} \right){\rm{ }}\\ = - {\left( {5-x} \right)^2} \end{array} \end{array}\)

Câu c

\(\begin{array}{l} 8{x^3} - \frac{1}{8}\;\;\\ = {\left( {2x} \right)^3}-{(\frac{1}{2})^3}\\ = (2x - \frac{1}{2})[{\left( {2x} \right)^2}\; + 2x.\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})^2}]\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\\ = (2x - \frac{1}{2})(4{x^2}\; + {\rm{ }}x + \;\frac{1}{4})\; \end{array}\)

Câu d

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{25}}{x^2}-64{y^2}\\ ={\left( {\frac{1}{5}x} \right)^2} - {\left( {8y} \right)^2}\\ =(\frac{1}{5}x + 8y)(\frac{1}{5}x - 8y) \end{array}\)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) \(x^3 + \dfrac{1}{27}\)

b) \((a + b)^3 - (a - b)^3\)

c) \((a + b)^3 + (a - b)^3\)

d) \(8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3\)

e) \(-x^3 + 9x^2 -27x + 27\)

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l} {x^3}\; + \;\frac{1}{{27}}\;\\ = {x^3}\; + {(\frac{1}{3})^3}\;\\ = (x + \;\frac{1}{3})({x^2}-x.\frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})^2})\\ = (x + \;\frac{1}{3})({x^2}-\frac{1}{3}x + \;\frac{1}{9}) \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^3}-{{\left( {a - b} \right)}^3}\;\;{\rm{ }}\;}\\ { = \left[ {\left( {a + b} \right)-\left( {a-b} \right)} \right]\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + \left( {a + b} \right).\left( {a-b} \right) + {{\left( {a-b} \right)}^2}} \right]}\\ { = \left( {a + b-a + b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2} + {a^2}-{b^2} + {a^2}-2ab + {b^2}} \right)}\\ { = {\rm{ }}2b\left( {3{a^3} + {b^2}} \right)} \end{array}\)

Câu c

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^3} + {\left( {a-b} \right)^3}\;\\ = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a-b} \right)} \right]\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2}-\left( {a + b} \right)\left( {a-b} \right) + {{\left( {a-b} \right)}^2}} \right] \end{array}\\ { = \left( {a + b + a-b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}-{a^2}\; + {b^{2}} + {a^2}-2ab + {b^2}} \right]}\\ { = 2a.\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right)} \end{array}\)
Câu d

\(\begin{array}{l} 8{x^3}\; + {\rm{ }}12{x^2}y + 6x{y^2}\; + {\rm{ }}{y^3}\;\\ = {\left( {2x} \right)^3} + 3.{\left( {2x} \right)^2}.y\; + 3.2x.y + {y^3}\;\\ = {\left( {2x + y} \right)^3} \end{array}\)

Câu e

\(\begin{array}{l} - {x^{3}} + 9{x^2}-27x + 27\\ = 27-27x + 9{x^2}-{x^3}\\ = {3^3}-{3.3^2}.x + 3.3.{x^2}-{x^3}\\ = {\left( {3-x} \right)^3} \end{array}\)

Tìm \(x,\) biết

a) \(2 - 25x^2 = 0\)

b) \(x^2 - x + \dfrac{1}{4}\)

Phương pháp giải

• Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ
• Phân tích các biểu thức ở vế trái thành nhân tử, sau đó áp dụng tính chất: \(A.B = 0 \Rightarrow A=0\) hoặc \(B=0\) 

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(\begin{array}{l} 2 - 25{x^2} = 0\\ {(\sqrt 2 )^2} - {(5x)^2} = 0\\ (\sqrt 2 - 5x)(\sqrt 2 + 5x) = 0 \end{array}\)

Hoặc\(\sqrt 2 - 5x = 0 \Rightarrow 5x = \sqrt 2 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\)

Hoặc\(\sqrt 2 + 5x = 0 \Rightarrow 5x = - \sqrt 2 \Rightarrow x = - \frac{{\sqrt 2 }}{5}\)

Câu b

\(\begin{array}{l} {x^2}\; - x + \frac{1}{4}\; = 0{\rm{ }}\\ \Rightarrow \;{x^2}-2.x.\;\frac{1}{2}\; + {\rm{ }}{(\frac{1}{2})^2} = 0\;{\rm{ }}\;\\ \Rightarrow {(x - \;\frac{1}{2})^2}\; = 0{\rm{ }}\\ = > x - \frac{1}{2}\; = 0{\rm{ }}\\ = > x{\rm{ }} = \frac{1}{2} \end{array}\)

Tính nhanh

a) \(73^2 - 27^2 \)

b) \(37^2 - 13^2 \)

c) \(2002^2 - 2^2\)

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích các đa thức đó thành nhân tử.

\(3)\,{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\({73^2} - {27^2} \)

\(= \left( {73 + 27} \right)\left( {73 - 27} \right) \)

\(= 100.46 = 4600\)

Câu b

\({37^2} - {13^2} \)

\(= \left( {37 + 13} \right)\left( {37 - 13} \right)\)

\(= 50.24 = 50.2.12 = 100.12 = 1200\)

Câu c

\({2002^2} - {2^2}\)

\(= \left( {2002 + 2} \right)\left( {2002 - 2} \right)\)

\(= 2004.2000 = 4008000\).