Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a) $A = 3x + 2 + |5x|$ trong hai trường hợp: $x ≥ 0$ và $x < 0$;

b) $B = |-4x| -2x + 12$ trong hai trường hợp: $x ≤ 0$ và $x > 0$;

c) $C = |x - 4| - 2x + 12$ khi $x > 5$;

d) $D = 3x + 2 + |x + 5|$

Phương pháp giải

- Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

- Rút gọn các biểu thức đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a

$A = 3x + 2 + |5x|$ 

- Khi $x ≥ 0$ ta có $5x ≥ 0$ nên $|5x| =5x$.

Do đó  $A = 3x + 2 + 5x = 8x + 2$  khi $x ≥ 0$.

- Khi $x < 0$ ta có $5x < 0$ nên $|5x| = -5x$.

Do đó  $A = 3x + 2 - 5x = -2x + 2$  khi $x <0$.

Vậy $A = 8x + 2$ khi $x ≥ 0$;

$A = -2x + 2$ khi $x < 0$.

Câu b

$B =   |-4x| -2x + 12$ 

- Khi $x  \leq 0$ ta có $-4x \geq 0$ nên $|-4x| =-4x$.

Do đó  $B = -4x -2x + 12 = -6x +12$  khi $x\leq  0$.

- Khi $x > 0$ ta có $-4x < 0$ nên $|-4x| = -(-4x) =4x$.

Do đó  $B = 4x -2x + 12 = 2x +12$  khi $x <0$.

Vậy $B = -6x + 12$ khi $x \leq 0$;

$B = 2x + 12$ khi $x < 0$.

Câu c

$C = |x - 4| - 2x + 12$ 

Với $x > 5$ ta có $x - 4 > 1$  hay $x - 4>0$ nên $|x-4| = x-4$.

Do đó: $C = x - 4 - 2x + 12 = -x + 8$.

Vậy với $x > 5$ thì $C = -x + 8$.

Câu d

$D = 3x + 2 + |x + 5|$

- Khi $x + 5 ≥ 0$ hay $x ≥ -5$ ta có $|x + 5| =x+5$.

Do đó: $D= 3x + 2 + x+ 5 =4x+7$ khi $x ≥ -5$

- Khi $x + 5 < 0$ hay $x < -5$ ta có $|x + 5| = -(x+5)$.

Do đó: $D= 3x + 2 - (x+5)$ $=3x+2-x-5=2x-3$ khi $x < -5$

Vậy $D = 4x + 7$ khi $x ≥ -5$

$D = 2x - 3$ khi $x < -5$

Giải các phương trình:

a) $|2x| = x - 6$

b) $|-3x| = x - 8$

c) $|4x| = 2x + 12$

d) $|-5x| - 16 = 3x$

Phương pháp giải

Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải các phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối

Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét

Bước 4: Kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải

Câu a

$|2x| = x - 6$ 

Ta có:  $|2x| =2x$ khi  $x ≥ 0$;

$|2x| =-2x$ khi  $x < 0$.

- Với $x ≥ 0$ ta có:  $|2x| = x - 6 ⇔ 2x = x - 6$ $⇔ x = -6$ 

Giá trị $x= -6$ không thoả mãn điều kiện $x ≥ 0$.

- Với $x < 0$ ta có:  $|2x| = x - 6 ⇔ -2x = x - 6$ $⇔ -3x = -6 ⇔ x = 2$ 

Giá trị $x= 2$ không thoả mãn điều kiện $x <0$.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu b

$|-3x| = x - 8$ 

Ta có:  $|-3x| =-3x$ khi  $-3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0$;

$|-3x| =3x$ khi  $-3x < 0 ⇔ x > 0$.

- Với $x ≤ 0$ ta có: 

  $|-3x| = x - 8  ⇔ -3x = x - 8$ $⇔ 4x = 8 ⇔ x = 2$ 

Giá trị $x=2$ không thoả mãn điều kiện $x ≤ 0$.

- Với $x > 0$ ta có: 

$|-3x| = x - 8  ⇔ 3x = x - 8$ $⇔ 2x = -8  ⇔  x = -4$ 

Giá trị $x= -4$ không thoả mãn điều kiện $x >0$.

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu c

$|4x| = 2x + 12$

Ta có:  $|4x| =4x$ khi  $x ≥ 0$;

           $|4x| =-4x$ khi  $x < 0$.

- Với $x ≥ 0$ ta có:  $|4x| = 2x +12 ⇔ 4x = 2x +12$ $⇔  2x = 12⇔ x = 6$ 

Giá trị $x= 6$  thoả mãn điều kiện $x ≥ 0$.

- Với $x < 0$ ta có:  $|4x| = 2x +12 ⇔ -4x = 2x +12$ $⇔  -6x = 12⇔ x = -2$ 

Giá trị $x= -2$  thoả mãn điều kiện $x <0$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \{-2; \; 6\}$.

Câu d

$|-5x| - 16 = 3x$

Ta có:  $|-5x| =-5x$ khi  $-5x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0$;

$|-5x| =5x$ khi  $-5x < 0 ⇔ x > 0$.

- Với $x ≤ 0$ ta có: 

$|-5x| - 16 = 3x ⇔ -5x - 16 = 3x$ 

$⇔ 8x = -16 ⇔ x = -2$ 

Giá trị $x=-2$ thoả mãn điều kiện $x ≤ 0$.

- Với $x > 0$ ta có: 

$|-5x| - 16 = 3x ⇔ 5x -16 = 3x$

$⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8$ 

Giá trị $x= 8$  thoả mãn điều kiện $x >0$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \{-2; \; 8\}$.

Giải các phương trình:

a) $|x - 7| = 2x + 3$                   

b) $|x + 4| = 2x - 5$

c) $|x + 3| = 3x - 1$                

d) $|x - 4| + 3x = 5$

Phương pháp giải

Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 2: Giải các phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét.

Bước 4: Kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải

Câu a

$|x - 7| = 2x + 3$

Ta có: $|x – 7| = x – 7$ khi $x – 7 ≥ 0$ hay $x ≥ 7.$

$|x – 7| = -(x – 7) = 7 – x$ khi $x – 7 < 0$ hay $x < 7.$

- Với $x \geqslant 7$

$|x - 7| = 2x + 3$

$⇔ x - 7 = 2x + 3$

$\Leftrightarrow -7-3=2x-x$

$⇔ x = -10$  (không thoả mãn điều kiện $x ≥ 7$).

- Với $x<7$

$|x - 7| = 2x + 3$

$⇔ -x + 7 = 2x + 3$ 

$\Leftrightarrow 7-3=2x+x$

$⇔ 3x = 4$

$⇔ x = \dfrac{4}{3}$ (thoả mãn điều kiện $x < 7$)

Vậy phương trình có nghiệm $x =  \dfrac{4}{3}$.

Câu b

$|x + 4| = 2x - 5$

Ta có: $|x + 4| = x + 4$ khi $x + 4 ≥ 0$ hay $x ≥ -4.$

$|x + 4| = -(x + 4) = -x – 4$ khi $x + 4 < 0$ hay $x < -4.$

- Với $x \geqslant  - 4$

 $|x + 4| = 2x - 5$

$⇔ x + 4 = 2x - 5$

$\Leftrightarrow 4+5=2x-x$

$⇔ x  = 9$ ( thoả mãn điều kiện $x ≥ -4$)

- Với $x<-4$

$|x + 4| = 2x - 5$

$⇔ -x - 4 = 2x - 5$ 

$\Leftrightarrow -4+5=2x+x$

$⇔ 3x = 1$

$⇔ x =  \dfrac{1}{3}$ (không thoả mãn điều kiện $x < -4$)

Vậy phương trình có nghiệm $x = 9$.

Câu c

$|x + 3| = 3x - 1$

Ta có : $|x + 3| = x + 3$ khi $x + 3 ≥ 0$ hay $x ≥ -3.$

$|x + 3| = -(x + 3) = -x – 3$ khi $x + 3 < 0$ hay $x < -3.$

- Với $x \geqslant  - 3$ ta có:

$|x + 3| = 3x - 1$

$⇔ x + 3 = 3x - 1$ 

$\Leftrightarrow x-3x=-1-3$

$⇔ -2x = -4$

$⇔ x =  2$ (thoả mãn điều kiện $x ≥ -3$ )

- Với $x<-3$ ta có:

$|x + 3| = 3x - 1$

$⇔ -x - 3 = 3x - 1$

$\Leftrightarrow -x-3x=-1+3$

$⇔ -4x = 2$

$⇔ x =  -\dfrac{1}{2}$ (không thoả mãn điều kiện $x < -3$)

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$.

Câu d

$|x - 4| + 3x = 5$ 

Ta có: $|x - 4| = x – 4$ nếu $x-4 \ge 0$ hay $x ≥ 4$

$| x- 4| = - (x – 4) = 4 - x$ nếu $x - 4 < 0$ hay $x < 4$

- Với $x \geqslant 4$ ta có: 

$|x - 4| + 3x = 5$

$⇔ x - 4 + 3x = 5$

$\Leftrightarrow x + 3x = 5 + 4$

$⇔ 4x = 9$

$⇔ x =  \dfrac{9}{4}$ (không thoả mãn điều kiện $x ≥ 4$)

- Với $x<4$ ta có:

$|x - 4| + 3x = 5$

$⇔ -x + 4 + 3x = 5$

$\Leftrightarrow  - x + 3x = 5 - 4$

$⇔ 2x  = 1$

$⇔ x =  \dfrac{1}{2}$  (thoả mãn điều kiện $x < 4$)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm  $x  =  \dfrac{1}{2}$.