Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) \(3x - 6y\)

b) \(\dfrac{2}{5}x^2 + 5x^3 + x^2y\)

c) \(14x^2y - 21xy^2 + 28x^2y^2\)

d) \(\dfrac{2}{5}x(y - 1) - \dfrac{2}{5}y(y - 1)\)

e) \(10x(x - y) - 8y(y - x)\)

Phương pháp giải

Phân tích các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\;3x - 6y = 3.x - 3.2y = 3\left( {x - 2y} \right)\)

Câu b

\(\frac{2}{5}\;{x^2} + 5{x^3} + {x^2}y = {x^2}(\;\frac{2}{5}\; + {\rm{ }}5x + y)\)

Câu c

\(\begin{array}{l} 14{x^2}y-21x{y^2} + 28{x^2}{y^2}\;\\ = 7xy.2x - 7xy.3y + 7xy.4xy\\ = 7xy\left( {2x - 3y + 4xy} \right) \end{array}\)

Câu d

\(\;\frac{2}{5}x\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - \frac{2}{5}y\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = \;\frac{2}{5}\;\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y} \right)\)

Câu e

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} 10x\left( {x - y} \right) - 8y\left( {y - x} \right){\rm{ }}\\ = 10x\left( {x - y} \right) - 8y\left[ { - \left( {x - y} \right)} \right] \end{array}\\ { = 10x\left( {x - y} \right) + 8y\left( {x - y} \right)}\\ { = 2\left( {x - y} \right)\left( {5x + 4y} \right)} \end{array}\)

Tính giá trị của biểu thức

a) \(15.91,5 + 150.0,85\)

b) \(x(x - 1) - y(1 - x)\) tại \(x = 2001\) và \(y = 1999\)

Phương pháp giải

a) Phân tích các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung ra ngoài.

b) Phân tích các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung. Chú ý: \(1-x=-(x-1)\)

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta thay giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\) vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức đó.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} 15.91,5 + 150.0,85{\rm{ }}\\ = 15.91,5 + 15.8,5 \end{array}\\ \begin{array}{l} = 15\left( {91,5 + 8,5} \right){\rm{ }}\\ = 15.100 = 1500 \end{array} \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} x\left( {x - 1} \right) - y\left( {1 - x} \right){\rm{ }}\\ = {\rm{ }}x\left( {x - 1} \right) - y\left[ { - \left( {x - 1} \right)} \right] \end{array}\\ { = x\left( {x - 1} \right) + y\left( {x - 1} \right)}\\ { = \left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)} \end{array}\)

Tại x = 2001, y = 1999 ta được:

(2001 - 1)(2001 + 1999) = 2000 . 4000 = 8000000

Tìm \(x,\) biết

a) \(5x(x - 2000) - x + 2000 = 0\)

b) \(x^3 - 13x = 0\)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
• \(A.B=0\) suy ra \(A=0\) hoặc \(B=0\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\,5x\left( {x - 2000} \right) - x + 2000 = 0}\\
{5x\left( {x - 2000} \right) - \left( {x - 2000} \right) = 0}\\
\begin{array}{l}
\left( {x - 2000} \right)\left( {5x - 1} \right) = 0
\end{array}
\end{array}\)

\(\Rightarrow x-2000=0\) hoặc \(5x-1=0\)

Với \(x-2000=0 \Rightarrow x=2000\)

Với \( 5x-1=0 \Rightarrow 5x=1\)\(\Rightarrow x=\dfrac{1}5\)

Vậy \(x = \dfrac{1}{5}\) hoặc \(x = 2000\)

Câu b

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\,{\rm{ }}{x^3}-13x = 0}\\x.x^2-13x=0\\
\begin{array}{l}
x\left( {{x^2} - {\rm{ 1}}3} \right) = 0
\end{array}
\end{array}\)

\(\Rightarrow x=0\) hoặc \(x^2-13=0\)

Với \(x^2-13=0 \Rightarrow x^2=13\)

\(\Rightarrow x=\sqrt {13}\) hoặc \(x=-\sqrt {13}\) 

Vậy \( x = 0\) hoặc \(x =  \pm \sqrt {13} \)

Chứng minh rằng \(55^{n + 1} – 55^n\) chia hết cho \(54\) (với \(n\) là số tự nhiên)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Tính chất chia hết của một tích cho một số.

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\eqalign{
& {55^{n + 1}} - {55^n} = {55^n}.55 - {55^n} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\, = {55^n}.\left( {55 - 1} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \;\;\,= {55^n}.54 \cr} \)

Vì \(54\) chia hết cho \(54\) nên \({55^n}.54\) chia hết cho \(54\) với mọi \(n \) là số tự nhiên.

Vậy \({55^{n + 1}} - {55^n}\) chia hết cho \(54 \) (với \(n\) là số tự nhiên).