Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Trên hình 50 hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?

Phương pháp giải

Áp dụng trường hợp: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

Hướng dẫn giải

Xét \(∆DAC\) và \(∆BAE\) ta có:

 \(\widehat A\) chung

\( \widehat{D}\) = \(\widehat{B}\) = 90⁰

\(\Rightarrow ∆DAC ∽ ∆BAE\) (g-g)

Xét \(∆DFE\) và \(∆BFC\) có:

\(\widehat{D}\) = \(\widehat{B}\) = 90⁰ 

 \( \widehat{DFE}\) = \( \widehat{BFC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow ∆DFE ∽ ∆BFC\) (g-g)

Xét \(∆DFE\)  và \(∆BAE\) ta có:

 \(\widehat{D}\) = \(\widehat{B}\) = 90⁰ 

 \(\widehat E\) chung

\(\Rightarrow ∆DFE ∽ ∆BAE\) (g-g)

Do đó: \(∆DAC ∽ ∆BAE∽ ∆DFE\)\(\,∽ ∆BFC\)

Tam giác ABC có độ dài các cạnh là \(3cm, 4cm, 5cm\). Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là \(54c{m^2}\)

Tính độ dài cách cạnh của tam giác \(A'B'C'\).

Phương pháp giải

Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông theo định lý đảo của định lý Pytago

Sử dụng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng để tính độ dài các cạnh cảu tam giác A'B'C'

Hướng dẫn giải

Xét \(∆ABC\) có \(AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm\).

Ta có:

\({3^2} + {4^2} = 25 = {5^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lí Pitago đảo)

Nên \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6c{m^2}\) 

Vì \(∆ABC ∽ ∆A'B'C'\) (gt)

\(\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}}\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)

\(  \Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = {\left( {\dfrac{{AB}}{{A'B'}}} \right)^2}\) (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

Do đó: \( \dfrac{6}{54} =  {\left( {\dfrac{{AB}}{{A'B'}}} \right)^2}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {\left( {{{AB} \over {A'B'}}} \right)^2} = {1 \over 9} \cr
& \Rightarrow {{AB} \over {A'B'}} = {1 \over 3} \cr
& \Rightarrow A'B' = 3AB = 3.3 = 9cm \cr} \)

Tức là độ dài mỗi cạnh của tam giác \(A'B'C'\) gấp \(3\) lần độ dài mỗi cạnh của cạnh của tam giác \(ABC\).

Vậy ba cạnh của tam giác \(A'B'C'\) là \(A'B'=9cm,A'C'= 12cm, \)\(\,B'C'=15cm\).

Bóng của một cột điện trên mặt đất có độ dài là \(4,5m\). Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao \(2,1m\) cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài \(0,6m\). Tính chiều cao của cột điện.

Phương pháp giải

Bước 1: Biểu diễn cột điện, cái bóng là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông và thành sắt, bóng cũng là hai cạnh của một tam giác vuông.

Bước 2: Chứng minh hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Bước 3: Viết các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ để tính chiều cao cột điện

Hướng dẫn giải

Giả sử cột điện là \(AC,\) có bóng trên mặt đất là \(AB.\)

Thanh sắt là \(A'C'\) có bóng trên mặt đất là \(A'B'.\)

Vì cột điện và thanh sắt đều vuông góc với mặt đất nên hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) đều là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm tia sáng chiếu nên ta suy ra \(\widehat{ACB} = \widehat{A'C'B'}\)

Xét \(ΔABC\) và \(ΔA'B'C'\) có:

\( \widehat{ACB} = \widehat{A'C'B'}\)  (chứng minh trên)

\( \widehat{A} = \widehat{A'}= 90^o\)

\( \Rightarrow ΔABC \backsim ΔA'B'C'\) (g.g)

\(\Rightarrow \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{AB}{A'B'}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) 

Hay \(\dfrac{x}{2,1} = \dfrac{4,5}{0,6}\)

\(\Rightarrow x = \dfrac{4,5.2,1}{0,6} = 15,75 \,(m)\)

Vậy chiều cao cột điện là \(15,75m.\)