Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính $x$ trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

Phương pháp giải

Hình ABC

$AD$ là tia phân giác góc $A$ của $∆ABC$

$\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}$

Suy ra tính được DC = x

Hình PMN

$PQ$ là đường phân giác góc $P$ của $∆PMN$ (gt) nên  $\dfrac{MQ}{MP}= \dfrac{NQ}{NP}$

Hay  $\dfrac{MQ}{6,2} = \dfrac{x}{8,7}$

Từ đó suy ra được x

Hướng dẫn giải

Hình ABC

$AD$ là tia phân giác góc $A$ của $∆ABC$ (gt) nên áp dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác ta có:

 $\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}$

$\Rightarrow DC = \dfrac{BD.AC}{AB}= \dfrac{3,5.7,2}{4,5}$

$\Rightarrow x = 5,6$

Hình PMN

$PQ$ là đường phân giác góc $P$ của $∆PMN$ (gt) nên 

$\dfrac{MQ}{MP}= \dfrac{NQ}{NP}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

Hay  $\dfrac{MQ}{6,2} = \dfrac{x}{8,7}$

Có: $MN=MQ+x=12,5$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\Rightarrow \dfrac{x}{8,7} = \dfrac{MQ}{6,2} = \dfrac{x + MQ}{8,7+ 6,2}= \dfrac{12,5}{14,9}$

$\Rightarrow x = \dfrac{{12,5.8,7}}{{14,9}} \approx 7,3$

Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB= m, AC= n$ và $AD$ là đường phân giác. Chứng minh rẳng tỉ số diện tích tam giác $ABD$ và diện tích tam giác $ACD$ bằng $\dfrac{m}{n}$.

Phương pháp giải

Kẻ $AH ⊥ BC$ 

Chứng tỏ: $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{BD}{DC}$

Mặt khác: $AD$ là đường phân giác của $∆ABC$ (gt)

$\Rightarrow \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{m}{n}$

Vậy $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{m}{n}$

Hướng dẫn giải

Kẻ $AH ⊥ BC$ 

Ta có: 

${S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}AH.BD$

${S_{ACD}} = \dfrac{1}{2}AH.DC$

$\Rightarrow \dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AH.BD}{\dfrac{1}{2}AH.DC} = \dfrac{BD}{DC}$

Mặt khác: $AD$ là đường phân giác của $∆ABC$ (gt)

$\Rightarrow \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{m}{n}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

Vậy $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{m}{n}$ (điều phải chứng minh).

Cho tam giác $ABC$ với đường trung tuyến $AM$. Tia phân giác của góc $AMB$ cắt cạnh $AB$ ở $D$, tia phân giác của góc $AMC$ cắt cạnh $AC$ ở $E$. Chứng minh rằng $DE // BC$ (h25)

Phương pháp giải

Ta có $MD$ là đường phân giác góc $M$ của tam giác $ABM$ (giả thiết)

$\Rightarrow \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AM}{BM}$ (1)

Tương tự ta có: $\dfrac{AE}{CE}= \dfrac{AM}{MC}$ (2); $\dfrac{AM}{BM} = \dfrac{AM}{MC}$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \dfrac{AD}{BD}= \dfrac{AE}{CE}$ 

Vậy $DE // BC$ 

Hướng dẫn giải

Ta có $MD$ là đường phân giác góc $M$ của tam giác $ABM$ (giả thiết)

$\Rightarrow \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AM}{BM}$ (1) (tính chất đường phân giác của tam giác)

$ME$ là đường phân giác góc $M$ của tam giác $ACM$ (giả thiết) 

$\Rightarrow \dfrac{AE}{CE}= \dfrac{AM}{MC}$ (2) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Mà $MB = MC$ (vì $AM$ là đường trung tuyến nên M là trung điểm của $BC$) 

$\Rightarrow \dfrac{AM}{BM} = \dfrac{AM}{MC}$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \dfrac{AD}{BD}= \dfrac{AE}{CE}$ 

$\Rightarrow  DE // BC$ ( theo định lí Talet đảo).

Tam giác $ABC$ có $AB= 5cm, AC= 6cm, BC= 7cm.$ Tia phân giác của góc $BAC$ cắt $BC$ tại $E$. Tính các đoạn $EB, EC$.

Phương pháp giải

Xét tam giác ABC có: $\dfrac{EB}{AB} = \dfrac{EC}{AC}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng ta được:

$\dfrac{EB}{AB} = \dfrac{EC}{AC} = \dfrac{EB+EC}{AB+AC}$$\, = \dfrac{BC}{AB+AC}$  

Từ đó tính được $EB, EC$.

Hướng dẫn giải

$AE$ là đường phân giác của $\widehat {BAC}$ (giả thiết) nên xét tam giác ABC có: 

$\dfrac{EB}{AB} = \dfrac{EC}{AC}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{EB}{AB} = \dfrac{EC}{AC} = \dfrac{EB+EC}{AB+AC}$$\, = \dfrac{BC}{AB+AC}$  

$\Rightarrow  EB = \dfrac{AB.BC}{AB+AC} = \dfrac{5.7}{5+6} =\dfrac{35}{11}$

$EC = BC- EB =7-\dfrac{35}{11}  =\dfrac{42}{11}$

Cho hình thang $ABCD$ ($AB // CD$).

Đường thẳng $a$ song song với $DC$, cắt các cạnh $AD$ và $BC$ theo thứ tự là $E$ và $F.$

Chứng minh rằng:

a) $\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$;

b) $\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{BF}{BC}$

c) $\dfrac{DE}{DA} = \dfrac{CF}{CB}$.

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AO}{OC}$ (1) và $\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{BF}{FC}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$

b) Theo câu a) có: ${{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}}$ từ đó chứng minh ${{BC} \over {BF}} = {{AD} \over {AE}}$ $\Rightarrow {{AE} \over {AD}} = {{BF} \over {BC}}$

c) Theo câu b) có: ${{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}}$ từ đó chứng minh ${{AD} \over {ED}} = {{BC} \over {FC}}$ suy ra ${{DE} \over {DA}} = {{CF} \over {CB}}$

Hướng dẫn giải

a) Nối $AC$ cắt $EF$ tại $O$

$∆ADC$ có $EO // DC$ (giả thiết) $\Rightarrow \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AO}{OC}$       (1) (theo định lí Talet)

$∆ABC$ có $OF // AB$ (giả thiết) $\Rightarrow \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{BF}{FC}$         (2) (theo định lí Talet)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$

b) Theo câu a) ta có: 

$\eqalign{ & {{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}} \Rightarrow {{FC} \over {BF}} = {{ED} \over {AE}} \cr & \Rightarrow {{FC} \over {BF}} + 1 = {{ED} \over {AE}} + 1 \cr & \Rightarrow {{FC + BF} \over {BF}} = {{ED + AE} \over {AE}} \cr & \Rightarrow {{BC} \over {BF}} = {{AD} \over {AE}} \cr & \Rightarrow {{AE} \over {AD}} = {{BF} \over {BC}} \cr}$

c)  Theo câu b) ta có:

$\eqalign{ & {{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}} \cr & \Rightarrow {{AE} \over {ED}} + 1 = {{BF} \over {FC}} + 1 \cr & \Rightarrow {{AE + ED} \over {ED}} = {{BF + FC} \over {FC}} \cr & \Rightarrow {{AD} \over {ED}} = {{BC} \over {FC}} \cr & \Rightarrow {{FC} \over {BC}} = {{ED} \over {AD}}\,\,\,hay\,\,{{DE} \over {DA}} = {{CF} \over {CB}} \cr}$

Cho hình thang $ABCD\; (AB //CD)$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Đường thẳng $a$ qua $O$ và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh $AD, BC$ theo thứ tự $E$ và $F$ (h26)

Chứng minh rằng $OE = OF$.

Phương pháp giải

Chứng minh: $\dfrac{OE}{DC} = \dfrac{AO}{AC}$ (1); $\dfrac{OF}{DC} = \dfrac{BF}{BC}$ (2); $\dfrac{AO}{AC} = \dfrac{BF}{BC}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\dfrac{OE}{DC} = \dfrac{OF}{DC}$ nên $OE = OF$. 

Hướng dẫn giải

$∆ADC$ có $OE // DC$ (gt) nên $\dfrac{OE}{DC} = \dfrac{AO}{AC}$  (1) (hệ quả của định lí TaLet trong tam giác)

$∆BDC$ có $OF // DC$ (gt) nên $\dfrac{OF}{DC} = \dfrac{BF}{BC}$   (2) (hệ quả của định lí TaLet trong tam giác)

$∆BAC$ có $OF // AB$ (gt) nên $\dfrac{AO}{AC} = \dfrac{BF}{BC}$   (3) (hệ quả của định lí TaLet trong tam giác)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\dfrac{OE}{DC} = \dfrac{OF}{DC}$ nên $OE = OF$. 

a) Cho tam giác $ABC$ với đường trung tuyến $AM$ và đường phân giác $AD$. Tính diện tích tam giác $ADM$, biết $AB= m, AC= n\;( n>m)$ và diện tích của tam giác $ABC$ là $S$.

b) Cho $n = 7cm, m = 3cm$. Hỏi diện tích tam giác $ADM$ chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác $ABC$.

Phương pháp giải

a) Chỉ ra được $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}= \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{m}{n}$ 

Chứng minh: $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}= \dfrac{m}{n+m}$ 

Vì $AM$ là trung tuyến của $∆ABC$ (gt) $\Rightarrow S_{ABM}= \dfrac{1}{2}S_{ABC}$.

Có $AB < AC( m<n)$ vì $AD$ là đường phân giác, $AM$ là đường trung tuyến kẻ từ $A$ nên $AD$ nằm giữa $AB$ và $AM$.

Từ đó chưng minh được: $S_{ADM}= \dfrac{S(n -m)}{2(m+n)}$ (với $n>m$)

b) ${S_{A{\rm{D}}M}} = \dfrac{{7 - 3}}{{2\left( {7 + 3} \right)}}.S$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $AD$ là đường phân giác của $∆ABC$ (gt) nên

$\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$ (Tính chất đường phân giác của tam giác)
$\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}$ (do hai tam giác có chung chiều cao từ đỉnh A) 

Nên $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}= \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{m}{n}$ 

$\eqalign{ & \Rightarrow  {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} = {n \over m} \cr & \Rightarrow {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} + 1 = {n \over m} + 1 \cr & \Rightarrow {{{S_{ADC}} + {S_{ABD}}} \over {{S_{ABD}}}} = {{n + m} \over m} \cr}$

$\Rightarrow \dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}+S_{ABD}}= \dfrac{m}{n+m}$ 

hay $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}= \dfrac{m}{n+m}$ 

$\Rightarrow {S_{AB{\rm{D}}}} = \dfrac{{mS}}{{n + m}}$

Vì $AM$ là trung tuyến của $∆ABC$ (gt) $\Rightarrow S_{ABM}= \dfrac{1}{2}S_{ABC}$.

Có $AB < AC( m<n)$ vì $AD$ là đường phân giác, $AM$ là đường trung tuyến kẻ từ $A$ nên $AD$ nằm giữa $AB$ và $AM$.

$\Rightarrow S_{ADM}= S_{ABM}- S_{ABD}$

$\Rightarrow S_{ADM} = \dfrac{1}{2}S -\dfrac{m}{n+m}S$$\,= \dfrac{S(m+n-2m)}{2(m+n)}$

$S_{ADM}= \dfrac{S(n -m)}{2(m+n)}$ (với $n>m$)

b) Khi $n = 7cm, m = 3cm$ ta có:

${S_{A{\rm{D}}M}} = \dfrac{{7 - 3}}{{2\left( {7 + 3} \right)}}.S = \dfrac{S}{5} = \dfrac{{20.S }}{100}$$\,= 20\% S$

Vậy $S_{ADM} = 20\%S_{ABC}$.

Đố: Hình 27 cho biết có 6 góc bằng nhau:

$\widehat{O_{1}} = \widehat {O_{2}} = \widehat {O_{3}}$$= \widehat {O_{4}} = \widehat {O_{5}} = \widehat {O_{6}}$. 

Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức từ kích thước đã cho.

Phương pháp giải

Ta có: 

$OB$ là tia phân giác trong của $∆OAC$ $\Rightarrow$ $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{c}$

$OC$ là tia phân giác trong của $∆OBD$ $\Rightarrow$ $\dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{d}$

Thực hiện tương tự với các ta phân giác còn lại: $OC,OD, OE, OF$

Hướng dẫn giải

$OB$ là tia phân giác trong của $∆OAC$ $\Rightarrow$ $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{c}$

$OC$ là tia phân giác trong của $∆OBD$ $\Rightarrow$ $\dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{d}$

$OD$ là tia phân giác trong của $∆OCE$ $\Rightarrow$ $\dfrac{z}{c}= \dfrac{t}{e}$

$OE$ là tia phân giác trong của $∆ODF$ $\Rightarrow$ $\dfrac{t}{d} = \dfrac{u}{f}$

$OF$ là tia phân giác trong của $∆OEG$ $\Rightarrow$ $\dfrac{u}{e} = \dfrac{v}{g}$

$OC$ là tia phân giác của  $∆AOE$ $\Rightarrow$ $\dfrac{AC}{OA} = \dfrac{CE}{OE}$ hay $\dfrac{x+ y}{a} = \dfrac{z + t}{e}$

$OE$ là phân giác của $∆OCG$ $\Rightarrow$ $\dfrac{z + t}{c} =  \dfrac{u+v }{g}$

$OD$ là phân giác của $∆AOG$ $\Rightarrow$ $\dfrac{x+y+z }{a} = \dfrac{t+u+v }{g}$

$OD$ là phân giác của $∆OBF$ $\Rightarrow$ $\dfrac{y+z}{b} = \dfrac{t + u}{f}$