Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Diện tích tam giác
Phần hướng dẫn giải bài tập Hình học 8 Bài Diện tích tam giác sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng, giải bài tập từ SGK Hình học 8 Tập 1
Mục lục nội dung
1. Giải bài 16 trang 121 SGK Toán 8 tập 1
2. Giải bài 17 trang 121 SGK Toán 8 tập 1
3. Giải bài 18 trang 121 SGK Toán 8 tập 1
4. Giải bài 19 trang 122 SGK Toán 8 tập 1
5. Giải bài 20 trang 122 SGK Toán 8 tập 1
6. Giải bài 21 trang 122 SGK Toán 8 tập 1
7. Giải bài 22 trang 122 SGK Toán 8 tập 1
8. Giải bài 23 trang 123 SGK Toán 8 tập 1
Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Diện tích tam giác
1. Giải bài 16 trang 121 SGK Toán 8 tập 1
Giải thích vì sao diện tích của tam giác được tô đậm trong các hình 128,129, 130 bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng:
Phương pháp giải
Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật, diện tích tam giác.
Hướng dẫn giải
Ở mỗi hình 128,129,130: Các hình tam giác tô đậm đều có đáy a và chiều cao h, các hình chữ nhật đều có hai kích thước là h và a.
- Diện tích hình chữ nhật là a.h
- Diện tích tam giác là a.h2
Vậy diện tích của tam giác bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng
2. Giải bài 17 trang 121 SGK Toán 8 tập 1
Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM (h.131). Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức: AB. OM = OA. OB.
Phương pháp giải
Áp dụng cách tính diện tích tam giác thường và tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
Ta có cách tính diện tích tam giác AOB với đường cao OM và cạnh đáy AB:
S=OM.AB2
Ta lại có cách tính diện tích tam giác AOB vuông với hai cạnh góc vuông OA,OB là
S=OA.OB2
⇒OM.AB2=OA.OB2(=S)
⇒OM.AB=OA.OB.
3. Giải bài 18 trang 121 SGK Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM(h. 132). Chứng minh rằng: SAMB = SAMC
Phương pháp giải
- Dựng AH là đường cao của ΔABC.
- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.
Hướng dẫn giải
Dựng AH là đường cao của ΔABC, khi đó ΔABM,ΔAMC có chung chiều cao AH.
Ta có:
SAMB=12BM.AH (chiều cao AH và cạnh đáy BM)
SAMC=12CM.AH (chiều cao AH và cạnh đáy CM)
Mà BM=CM (vì AM là đường trung tuyến)
Vậy SAMB=SAMC.
4. Giải bài 19 trang 122 SGK Toán 8 tập 1
a) Xem hình 133. Hãy chỉ ra các tam giác có cùng diện tích (lấy ô vuông làm đơn vị diện tích)
b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có bằng nhau hay không?
Phương pháp giải
Đếm số ô vuông và áp dụng công thức tính diện tích tam giác.
Hướng dẫn giải
Câu a
Các tam giác số 1,3,6 có cùng diện tích là 4 ô vuông.
Các tam giác số 2,8 có cùng diện tích là 3 ô vuông.
Các tam giác số 4,5,7 không có cùng diện tích với các tam giác nào khác (diện tích tam giác số 4 là 5 ô vuông, tam giác số 5 là 4,5 ô vuông, tam giác số 7 là 3,5 ô vuông).
Câu b
Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì chưa chắc hai tam giác đó đã bằng nhau.
Vì diện tích của tam giác là nửa tích của độ dài đáy với chiều cao tương ứng của đáy, nên chỉ cần tích của đáy với chiều cao bằng nhau thì hai tam giác đó có diện tích bằng nhau, hai cạnh còn lại có thể khác nhau.
- Ví dụ như các tam giác 1,3,6 có cùng diện tích nhưng không bằng nhau.
5. Giải bài 20 trang 122 SGK Toán 8 tập 1
Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng một cạnh của một tam giác cho trước và có diện tích bằng diện tích của tam giác đó. Từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích tam giác.
Phương pháp giải
Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.
Hướng dẫn giải
Cho tam giác ABC với đường cao AH
Gọi M,N,I là trung điểm của AB,AC,AH.
Lấy E đối xứng với I qua M,D đối xứng với I qua N.
⇒ Hình chữ nhật BEDC là hình cần dựng.
Thật vậy:
Vì E đối xứng với I qua M nên M là trung điểm của EI
Do đó, EM=MI
Xét hai tam giác ∆EBM và ∆IAM có:
+) MA=MB (do M là trung điểm của AB)
+) ^BME=^AMI (đối đỉnh)
+) EM=MI (chứng minh trên)
⇒∆EBM=∆IAM ( c-g-c)
⇒SIAM=SEBM
Vì D đối xứng với I qua N nên N là trung điểm của DI
Do đó, NI=ND
Xét hai tam giác ∆IAN và ∆DCN có:
+) IN=ND (chứng minh trên)
+) ^ANI=^DNC (đối đỉnh)
+) AN=NC (do N là trung điểm của AC)
⇒∆IAN=∆DCN ( c-g-c)
⇒SDCN=SIAN
Ta có:
SBEM+SBMNC+SNDC=SAMI+SBMNC+SAIN
⇒SABC=SEBDC=BE.BC=12AH.BC (vì BE=IH=AH2)
Ta đã tìm được công thức tính diện tích tam giác bằng một phương pháp khác.
6. Giải bài 21 trang 122 SGK Toán 8 tập 1
Tính x sao cho diện tích hình chữ nhật ABCD gấp 3 lần diện tích ∆ADE (h.134)
Phương pháp giải
Áp dụng: Công thức tính diện tích tam giác, diện tích hình chữ nhật, biểu diễn diện tích hình chữ nhật theo diện tích của ∆ADE.
Hướng dẫn giải
Ta có: AD=BC=5cm (vì ABCD là hình chữ nhật)
Diện tích ∆ADE là: SADE=EH.AD2=2.52=5(cm2)
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: SABCD=5x(cm2)
Theo đề bài ta có:
SABCD=3SADE⇒5x=3.5=15⇒x=15:5=3cm.
Vậy x=3cm.
7. Giải bài 22 trang 122 SGK Toán 8 tập 1
Tam giác PAF được vẽ trên giấy kẻ ô vuông (h.135).
Hãy chỉ ra:
a) Một điểm I sao cho SPIF=SPAF
b) Một điểm O sao cho SPOF=2.SPAF
c) Một điểm N sao cho SPNF=12SPAF
Phương pháp giải
Áp dụng
- Cách tính diện tích tam giác.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Hướng dẫn giải
a) Nếu lấy điểm I bất kì nằm trên đường thẳng d đi qua A và song song với đường thẳng PF thì SPIF=SPAF
(vì khi đó hai tam giác chung đáy PF và chiều cao hạ từ A hay I xuống PF đều bằng nhau (d//PF))
Có vô số điểm I thỏa mãn yêu cầu bài toán nằm trên đường thẳng d song song với PF.
b) Nếu lấy một điểm O sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng PF bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng PF thì SPOF=2.SPAF
(vì khi đó hai tam giác chung đáy PF và chiều cao hạ từ O xuống PF bằng 2 lần chiều cao hạ từ A xuống PF)
Có vô số điểm O thỏa mãn yêu cầu bài toán nằm trên đường thẳng f song song với PF.
c) Nếu lấy điểm N sao cho khoảng cách từ N đến đường thẳng PF bằng 12 khoảng cách từ A đến PF thì SPNF=12SPAF
(vì khi đó hai tam giác chung đáy PF và chiều cao hạ từ N xuống PF bằng 12 chiều cao hạ từ A xuống PF)
Có vô số điểm N như thế nằm trên đường thẳng g song song với PF.
8. Giải bài 23 trang 123 SGK Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M nằm trong tam giác đó sao cho:
SAMB+SBMC=SMAC
Phương pháp giải
- Kẻ đường cao BH,MK.
- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.
Hướng dẫn giải
Kẻ đường cao BH,MK.
Theo giả thiết, M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho:
SAMB+SBMC=SMAC (1)
Ta lại có: SAMB+SBMC+SMAC=SABC (2)
Thay (1) vào (2) ta được: SMAC+SMAC=SABC
⇒2.SMAC=SABC
⇒SMAC=12SABC
⇒12MK.AC=12(12BH.AC)
⇒MK=12BH
Do đó, M nằm trên đường thẳng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B sao cho khoảng cách từ M đến AC bằng 12 đường cao BH.
Vậy điểm M nằm trong tam giác ABC và nằm trên đường trung bình ứng với cạnh AC của ΔABC
9. Giải bài 24 trang 123 SGK Toán 8 tập 1
Tính diện tích tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.
Phương pháp giải
- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
- Định lí Pytago: Bình phương cạnh huyền bằng tổng cách bình phương của hai cạnh góc vuông.
- Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.
Hướng dẫn giải
Gọi h là chiều cao của tam giác cân có đáy là a và cạnh bên là b.
Xét tam giác ABC cân tại A có AB=b,BC=a và chiều cao AH=h. Ta tính diện tích tam giác ABC.
Vì ΔABC cân tại A (gt) nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân). Suy ra, H là trung điểm của BC.
⇒BH=BC2=a2
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABH ta có:
AH2=AB2−BH2
h2=b2−(a2)2=4b2−a24⇒h=√4b2−a22
Diện tích tam giác ABC là:
S=12ah=12a.√4b2−a22=14a√4b2−a2.
10. Giải bài 25 trang 123 SGK Toán 8 tập 1
Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh là a.
Phương pháp giải
- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
- Định lí Pytago: bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
- Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.
Hướng dẫn giải
Gọi h là chiều cao của tam giác đều cạnh a
Xét tam giác ABC đều cạnh a, chiều cao AH=h. Ta tính diện tích tam giác ABC.
Vì tam giác ABC đều cạnh a có AH vừa là đường cao đồng thời là trung tuyến ứng với cạnh BC (tính chất tam giác đều).
Do đó H là trung điểm của BC.
Hay BH=12BC=a2
Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABH ta có:
AH2=AB2−BH2
h2=a2−(a2)2=3a24
⇒h=a√32
Vậy diện tích tam giác ABC là:
SABC=12ah=12a.a√32=a2√34