Giải bài tập SGK Toán 8 Ôn tập chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

Giải các phương trình:

a) $3 - 4x\left( {25 - 2x} \right) = 8{x^2} + x - 300$ ;

b) $\dfrac{{2\left( {1 - 3x} \right)}}{5} - \dfrac{{2 + 3x}}{{10}} = 7 - \dfrac{{3\left( {2x + 1} \right)}}{4}$ ;

c) $\dfrac{{5x + 2}}{6} - \dfrac{{8x - 1}}{3} = \dfrac{{4x + 2}}{5} - 5$ ;

d) $\dfrac{{3x + 2}}{2} - \dfrac{{3x + 1}}{6} = 2x + \dfrac{5}{3}$ .

Phương pháp giải

Bước 1: Quy đồng khử mẫu

Bước 2: Chuyển vế các hạng tử đưa phương trình về dạng $ax=b$

Bước 3: Giải phương trình bậc nhất một ẩn.

Bước 4: Kết luận

Hướng dẫn giải

Câu a

$3 - 4x\left( {25 - 2x} \right) = 8{x^2} + x - 300$

$\Leftrightarrow 3 - 100x + 8{x^2} = 8{x^2} + x - 300$

$\Leftrightarrow  - 100x -x=  - 300-3$

$\Leftrightarrow  - 101x =  - 303$

$\Leftrightarrow x = \left( { - 303} \right):\left( { - 101} \right)$

$\Leftrightarrow x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$ 

Câu b

$\dfrac{{2\left( {1 - 3x} \right)}}{5} - \dfrac{{2 + 3x}}{{10}} = 7$$\, - \dfrac{{3\left( {2x + 1} \right)}}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{4.2\left( {1 - 3x} \right)}}{{20}} - \dfrac{{2.(2 + 3x)}}{{20}} = \dfrac{{140}}{{20}}$$\,- \dfrac{{5.3\left( {2x + 1} \right)}}{{20}}$

$\Leftrightarrow 8\left( {1 - 3x} \right) - 2\left( {2 + 3x} \right) = 140$ $- 15\left( {2x + 1} \right)$

$\Leftrightarrow 8 - 24x - 4 - 6x = 140 - 30x - 15$

$\Leftrightarrow  - 30x + 4 = 125 - 30x$

$\Leftrightarrow -121 = 0x$ (Vô lí)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu c

$\dfrac{{5x + 2}}{6} - \dfrac{{8x - 1}}{3} = \dfrac{{4x + 2}}{5} - 5$

$\Leftrightarrow \dfrac{{5.(5x + 2)}}{{30}} - \dfrac{{10.(8x - 1)}}{{30}}$$\, = \dfrac{{6.(4x + 2)}}{{30}} - \dfrac{{150}}{{30}}$

$\Leftrightarrow 5\left( {5x + 2} \right) - 10\left( {8x - 1} \right)$ $= 6\left( {4x + 2} \right) - 150$

$\Leftrightarrow 25x + 10 - 80x + 10$ $= 24x + 12 - 150$

$\Leftrightarrow  - 55x + 20 = 24x - 138$

$\Leftrightarrow  - 55x -24x=  - 138-20$

$\Leftrightarrow  - 79x =  - 158$

$\Leftrightarrow x = \left( { - 158} \right):\left( { - 79} \right)$

$\Leftrightarrow x = 2$

Vậy phương có nghiệm $x = 2$.

Câu d

 $\dfrac{{3x + 2}}{2} - \dfrac{{3x + 1}}{6} = 2x + \dfrac{5}{3}$

 $\Leftrightarrow \dfrac{{3.(3x + 2)}}{6} - \dfrac{{3x + 1}}{6} = \dfrac{{6.2x}}{6}$$\, + \dfrac{{5.2}}{6}$

$\Leftrightarrow 3\left( {3x + 2} \right) - \left( {3x + 1} \right) = 12x + 10$

$\Leftrightarrow 9x + 6 - 3x - 1 = 12x + 10$

$\Leftrightarrow 6x + 5 = 12x + 10$

$\Leftrightarrow  6x-12x=  10-5$

$\Leftrightarrow - 6x = 5$

$\Leftrightarrow x =\dfrac{{ - 5}}{6}$

Vậy phương trình có nghiệm $x =\dfrac{{ - 5}}{6}$.

Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) $\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)$

b) $4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)$

c) ${\left( {x + 1} \right)^2} = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right);$

d) $2{x^3} + 5{x^2} - 3x = 0$

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp tách và hằng đẳng thức để đưa phương trình về dạng phương trình tích.

Hướng dẫn giải

Câu a

$\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)$

$\Leftrightarrow$$\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) - \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)$ $= 0$

$\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2 - 5x + 8} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {6- 2x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x + 1 = 0} \cr {6 - 2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \dfrac{ - 1} {2}} \cr {x = 3} \cr} } \right.} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{{ - 1}}{2};\; x = {3}$ .

Câu b

$4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)$

$\Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)$ $= \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)$

$\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 1 - 3x + 5} \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {4 - x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x + 1 = 0} \cr {4 - x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \dfrac{{ - 1}}{2}} \cr {x = 4} \cr} } \right.} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{{ - 1}}{2};x = 4$

Câu c

${\left( {x + 1} \right)^2} = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)$

$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}$ $= \left[ {2(x - 1} \right){]^2}$ 

$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {2x - 2} \right)^2} = 0$            

$\Leftrightarrow \left( {x + 1 - 2x + 2} \right)\left( {x + 1 + 2x - 2} \right)$ $= 0$

$\Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{3 - x = 0} \cr {3x - 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 3} \cr {x = \dfrac{1}{3}} \cr} } \right.} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 3;\; {x = \dfrac{1}{3}}$

Câu d

$2{x^3} + 5{x^2} - 3x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {2{x^2} + 5x - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x(2{x^2} + 6x - x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow x\left[ {2x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x + 3 = 0} \cr {2x - 1 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = - 3} \cr {x =\dfrac{1}{2}} \cr} } \right.$

Vậy phương trình có ba nghiệm $x = 0;\; x = -3;\;  x =\dfrac{1}{2}$.

Giải các phương trình:

a) $\dfrac{1}{{2x - 3}} - \dfrac{3}{{x\left( {2x - 3} \right)}} = \dfrac{5}{x}$ ;

b) $\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}$ ;

c) $\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}};$

d) $\left( {2x + 3} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)$ $= \left( {x - 5} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)$

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. 

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận, trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a

$\dfrac{1}{{2x - 3}} - \dfrac{3}{{x\left( {2x - 3} \right)}} = \dfrac{5}{x}$ 

ĐKXĐ: $x \ne 0;x \ne \dfrac{3}{2}$

Quy đồng mẫu hai vế ta có:

$\dfrac{x}{{x.(2x - 3)}} - \dfrac{3}{{x\left( {2x - 3} \right)}}$$\,= \dfrac{{5.(2x - 3)}}{{x.(2x - 3)}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x\left( {2x - 3} \right)}} = \dfrac{{5.(2x - 3)}}{{x.(2x - 3)}}$ 

Khử mẫu ta được:

$x - 3 = 5\left( {2x - 3} \right)$

$\Leftrightarrow x - 3 = 10x - 15$

$\Leftrightarrow- 9x =  - 12$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 12}}{{ - 9}}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{4}{3}$ ( thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{4}{3}$.

Câu b

$\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}$

ĐKXĐ:$x \ne 0;\;x \ne 2$

Quy đồng mẫu hai vế ta có: 

$\dfrac{{x(x + 2)}}{{x(x - 2)}} - \dfrac{{x - 2}}{{x(x - 2)}} = \dfrac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{x(x + 2) - (x - 2)}}{{x(x - 2)}} = \dfrac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}$

Khử mẫu ta được:$x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 2$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2x - x + 2 = 2$

$\Leftrightarrow {x^2} + x = 0$

$\Leftrightarrow x \left( {x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x + 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0 }\text{ (loại)} \cr {x = - 1} \text{ (thỏa mãn)}\cr} } \right.} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x =-1$ 

Câu c

$\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}$

ĐKXĐ : $x \ne 2;\; x \ne  - 2$

Quy đồng mẫu hai vế ta có:

$\dfrac{{(x + 1)(x + 2)}}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{{(x - 1)(x - 2)}}{{{x^2} - 4}}$$\, = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}$ 

$\Leftrightarrow \dfrac{{(x + 1)(x + 2) + (x - 1)(x - 2)}}{{{x^2} - 4}}$$\,= \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}$ 

Khử mẫu ta được: 

$\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)$$\,= 2\left( {{x^2} + 2} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} + x + 2x + 2 + {x^2} - x - 2x + 2$ $=2{x^2} + 4$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 4 = 2{x^2} + 4$

$\Leftrightarrow 0x = 0 \left( \text{ luôn đúng } {\forall x \in\mathbb R} \right)$

Mà ĐKXĐ :$x \ne  \pm 2$

Vậy phương trình có vô số nghiệm $x \in\mathbb R;x \ne 2;x \ne  - 2$.

Câu d

$\left( {2x + 3} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)$$\,= \left( {x - 5} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)$
ĐKXĐ: $x \ne \dfrac{2}{7}$

Phương trình đã cho tương đương với:

$\left( {2x + 3} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)$$- \left( {x - 5} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)\left( {2x + 3 - x + 5} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{3x + 8 + 2 - 7x}}{{2 - 7x}}} \right)\left( {x + 8} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{10 - 4x}}{{2 - 7x}}} \right)\left( {x + 8} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{{\dfrac{{10 - 4x}}{{2 - 7x}}} =0\cr {x + 8 = 0} \cr}\right.$

$\Rightarrow \left[ \matrix{{10 - 4x = 0} \cr {x + 8 = 0} \cr}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left[\matrix{{x = \dfrac{5}{2}}\text{( thỏa mãn)} \cr {x = - 8}\text{ (thỏa mãn)} \cr}  \right.$

Cả hai giá trị đều thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình có hai nghiệm :$x = \dfrac{5}{2};\; x =  - 8$

Giải phương trình:

$\dfrac{{x + 1}}{9} + \dfrac{{x + 2}}{8} = \dfrac{{x + 3}}{7} + \dfrac{{x + 4}}{6}$

Phương pháp giải

Cộng $2$ vào hai vế của phương trình sau đó giải phương trình mới để tìm $x$.

Hướng dẫn giải

Cộng $2$ vào hai vế của phương trình, ta được:

$\dfrac{{x + 1}}{9} + 1 + \dfrac{{x + 2}}{8} + 1 = \dfrac{{x + 3}}{7} + 1$$\, + \dfrac{{x + 4}}{6} + 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{{x + 10}}{9} + \dfrac{{x + 10}}{8} = \dfrac{{x + 10}}{7}$$\,+ \dfrac{{x + 10}}{6}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{x + 10}}{9} + \dfrac{{x + 10}}{8} - \dfrac{{x + 10}}{7}$$\, - \dfrac{{x + 10}}{6}=0$

$\Leftrightarrow \left( {x + 10} \right)\left( {\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6}} \right) = 0{\kern 1pt}$$\;(*)$

Vì $\dfrac{1}{9} < \dfrac{1}{7};\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{6}$ nên $\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6} < 0$

 $(*) \Leftrightarrow   x+10 = 0$

$\Leftrightarrow  x= -10$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -10$.

Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất $4$ giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất $5$ giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là $2 km/h$.

Phương pháp giải

Áp dụng công thức của bài toán chuyển động trên dòng nước:

Vận tốc xuôi dòng  = Vận tốc thực + vận tốc dòng nước.

Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - vận tốc dòng nước.

Vận tốc xuôi dòng $-$ vận tốc ngược dòng $=$ vận tốc dòng nước $\times 2$.

Bước 1: Gọi khoảng cách giữa A và B là ẩn, đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn

Bước 3: Lập phương trình thông qua các mối liên hệ giữa các đại lượng, giải phương trình

Bước 4: Kết luận

Hướng dẫn giải

Gọi $x \,(km)$ là khoảng cách giữa hai bến A và B, với $x > 0$.

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là:$\dfrac{x}{4}\, (km/h)$

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: $\dfrac{x}{5}\,\, (km/h)$

Vận tốc dòng nước là: $2 km/h$

Hiệu vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng bằng $2$ lần vận tốc dòng nước, do đó:

$\dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{5} = 2.2$

$\Leftrightarrow \dfrac{{5.x}}{{20}} - \dfrac{{4.x}}{{20}} = \dfrac{{80}}{{20}}$

$\Leftrightarrow 5{\rm{x}} - 4{\rm{x}} = 80$

$\Leftrightarrow x = 80$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy khoảng cách giữa hai bến A và B là $80 km$.

(Giải thích tại sao hiệu vận tốc xuôi dòng và ngược dòng bằng 2 lần vận tốc dòng nước:

Nếu gọi vận tốc canô là v (km/h), vận tốc dòng nước là a (km/h), ta có:

Khi xuôi dòng: vận tốc canô là: v + a

Khi ngược dòng: vận tốc canô là: v - a

Hiệu vận tốc $= v + a - (v - a) = 2.a$ hay chính là 2 lần vận tốc dòng nước.)

Biết rằng $200$g một dung dịch chứa $50$g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa $20\%$ muối?

Phương pháp giải

Áp dụng công thức để tính nống độ muối:

 $\text{Nồng độ phần trăm}= \dfrac{\text{khối lượng muối}}{\text{khối lượng dung dịch}}\times 100\%$

Bước 1: Gọi khối lượng nước phải pha thêm là ẩn, đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác thông qua ẩn.

Bước 3: Lập phương trình biểu diễn mối liên hệ của ẩn và các đại lượng khác, giải phương trình.

Bước 4: Kết luận

Hướng dẫn giải

Gọi $x (g)$ là khối lượng nước phải pha thêm, với $x > 0$.

Khối lượng dung dịch mới là $200 + x \; (g)$.

Vì dung dịch mới có nồng độ $20\%$ nên ta có phương trình:

$\eqalign{ & {{50} \over {200 + x}} = {{20} \over {100}} \cr & \Leftrightarrow {{50} \over {200 + x}} = {1 \over 5} \cr & \Leftrightarrow {{5.50} \over {5\left( {200 + x} \right)}} = {{200 + x} \over {5\left( {200 + x} \right)}} \cr & \Rightarrow 250 = 200 + x \cr & \Leftrightarrow x = 250 - 200 \cr & \Leftrightarrow x = 50 \text{ (thỏa mãn)}\cr}$

Vậy phải pha thêm $50g$ nước thì được dung dịch chứa $20\%$ muối.

Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa là nếu người sử dụng càng dùng nhiều điện thì giá mỗi số điện $(1kWh)$ càng tăng lên theo các mức như sau:

Mức thứ nhất: Tính cho $100$ số điện đầu tiên;

Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ $101$ đến $150$, mỗi số đắt hơn $150$ đồng so với mức thứ nhất;

Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ $151$ đến $200$, mỗi số đắt hơn $200$ đồng so với mức thứ hai;

v.v…

Ngoài ra, người sử dụng còn phải trả thêm $10\%$ thuê giá trị gia tăng (thuế VAT).

Tháng vừa qua, nhà Cường dùng hết $165$ số điện và phải trả $95700$ đồng. Hỏi mỗi số điện ở mức thứ nhất giá là bao nhiêu?

Phương pháp giải

- Gọi $x$ (đồng) là giá điện ở mức thứ nhất $x>0$.

- Số tiền phải trả ở mức 1: $100x$ (đồng).

- Số tiền phải trả ở mức 2: $50(x + 150)$ (đồng).

- Số tiền phải trả ở mức 3: $15(x + 150 +200)=15(x + 350)$ (đồng).

- Số tiền phải trả chưa tính thuế VAT là: $100x + 50(x + 150) + 15(x + 350)$

- Số tiền thuế VAT = 10% của  $100x + 50(x + 150) + 15(x + 350)$

- Số tiền phải trả = Số tiền phải trả chưa tính thuế VAT + Số tiền thuế VAT

Giải phương trình biểu diễn số tiền phải trả ta tìm được số tiền của mỗi số điện ở mức thứ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (đồng) là giá điện ở mức thứ nhất $x>0$.

Nhà Cường dùng hết 165 số điện mà $165= 100 + 50 + 15$

Như vậy nhà Cường phải đóng cho 100 số điện ở mức 1, 50 số điện ở mức 2 và 15 số điện ở mức 3.

Số tiền phải trả ở mức 1 là: $100x$ (đồng).

Số tiền phải trả ở mức 2 là: $50(x + 150)$ (đồng).

Số tiền phải trả ở mức 3 là: $15(x + 150 +200)=15(x + 350)$ (đồng).

Số tiền phải trả chưa tính thuế VAT là:

$100x + 50(x + 150) + 15(x + 350)$

$= 100x + 50x + 7500 + 15x + 5250$

$= 165x + 12750$

Số tiền thuế VAT là  $(165 x+12750). 10\%$ $= (165 x+12750).0,1$ 

Vì tổng số tiền phải trả là $95700$ đồng nên ta có:

$165x + 12750 + (165x + 12750).0,1$ $= 95700$

$\Leftrightarrow  (165x + 12750) (1 + 0,1) = 95700$

$\Leftrightarrow  (165x + 12750).1,1 = 95700$

$\Leftrightarrow (165x + 12750) = 95700:1,1$

$\Leftrightarrow  165x + 12750 = 87000$

$\Leftrightarrow 165x = 87000 - 12750$

$\Leftrightarrow  165x = 74250$

$\Leftrightarrow x = 74250:165$

$\Leftrightarrow  x = 450$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá mỗi số điện ở mức thứ nhất là $450$ đồng.