Giải bài tập SGK Toán 8 Bài: Luyện tập 2

Tìm các dấu hiệu để nhận biết hai tam giác cân đồng dạng.

Phương pháp giải

Áp dụng 3 trường hợp đồng dạng của tam giác thường.

- Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

- Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

Hướng dẫn giải

- Nếu cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân này tỉ lệ với cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Nếu hai tam giác cân có hai góc ở đỉnh bằng nhau thì hai tam giác cân đồng dạng.

- Nếu góc ở đáy của tam giác cân này bằng góc ở đáy của tam giác cân kia thì hai tam giác cân đó đồng dạng.

So sánh các trường hợp đồng dạng của tam giác với các trường hợp bằng nhau của tam giác (nêu lên những điểm giống nhau  và khác nhau).

Phương pháp giải

Áp dụng các trường hợp đồng dạng và bằng nhau của hai tam giác.

- Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

- Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

Hướng dẫn giải

Cho hình bình hành $ABCD$ (h.46) có độ dài các cạnh $AB = 12cm,\, BC = 7cm.$ Trên cạnh $AB$ lấy một điểm $E$ sao cho $AE = 8cm.$ Đường thẳng $DE$ cắt cạnh $CB$ kéo dài tại $F.$

a) Trong hình vẽ đã cho có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau? Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo các đỉnh tương ứng.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng $EF$ và $BF,$ biết rằng $DE = 10cm.$

Phương pháp giải

a) Chứng minh $∆BFE ∽ ∆CFD$ và $∆ADE ∽ ∆BFE$, từ đó suy ra được $∆ADE ∽ ∆CFD$

b) Tính BE, BC

Ta có: $∆ADE ∽ ∆BFE (cmt)$

Xét: $\dfrac{AE}{BE} = \dfrac{AD}{BF} = \dfrac{DE}{EF}$ (tính chất tam giác đồng dạng) 

Từ đó tính được $EF$ và $BF$

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

$BE // DC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành) $\Rightarrow ∆BFE ∽ ∆CFD$   (1)

$AD // BF$ (vì $ABCD$ là hình bình hành) $\Rightarrow ∆ADE ∽ ∆BFE$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $∆ADE ∽ ∆CFD$ 

b) Ta có: $BE = AB - AE = 12 - 8 = 4cm$; $AD=BC=7cm$ (vì ABCD là hình bình hành) 

Ta có: $∆ADE ∽ ∆BFE (cmt)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{BE} = \dfrac{AD}{BF} = \dfrac{DE}{EF}$ (tính chất tam giác đồng dạng) 

$\Rightarrow \dfrac{8}{4} = \dfrac{7}{BF} = \dfrac{10}{EF}$ 

$\eqalign{ & \Rightarrow BF = {{4.7} \over 8} = 3,5\,cm \cr  & \Rightarrow EF = {{10.4} \over 8} = 5\,cm \cr}$

Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $AB= 24cm, AC = 28cm.$ Tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu của $B$ và $C$ trên $AD$.

a) Tính tỉ số $\dfrac{BM}{CN}$

b) Chứng minh rằng $\dfrac{AM}{AN} = \dfrac{DM}{DN}$

Phương pháp giải

a) Tính $\dfrac{DB}{DC}$

Chứng minh $∆BMD ∽ ∆CND$

Suy ra $\dfrac{BM}{CN} = \dfrac{BD}{CD}$, từ đó ta tính được $\dfrac{BM}{CN}$

b) Chứng minh $∆ABM ∽ ∆ACN$

Suy ra: $\dfrac{AM}{AN} = \dfrac{AB}{AC}$; $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{DB}{DC}$; $\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{DM}{DN}$

Vậy $\dfrac{AM}{AN} = \dfrac{DM}{DN}$ 

Hướng dẫn giải

a) AD là đường phân giác của ∆ABC (gt) 

$\Rightarrow \dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

$\Rightarrow \dfrac{DB}{DC} = \dfrac{24}{28} = \dfrac{6}{7}$

Mà $BM // CN$ (cùng vuông góc với AD).

$\Rightarrow  ∆BMD ∽ ∆CND$ (Theo định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho)

$\Rightarrow \dfrac{BM}{CN} = \dfrac{BD}{CD}$ (tính chất 2 tam giác đồng dạng)

Vậy $\dfrac{BM}{CN} = \dfrac{6}{7}$

b) $∆ABM$ và $∆ACN$ có: 

$\widehat{BAM} = \widehat{CAN}$ ($AD$ là phân giác)

$\widehat{BMA} = \widehat{CNA}= {90^o}$

$\Rightarrow ∆ABM ∽ ∆ACN$ (g-g)

$\Rightarrow \dfrac{AM}{AN} = \dfrac{AB}{AC}$ (1) (tính chất 2 tam giác đồng dạng)

Mà  $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{DB}{DC}$ (2) (chứng minh câu a)

Và $\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{DM}{DN}$ (3) (do $∆BMD ∽ ∆CND$)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow \dfrac{AM}{AN} = \dfrac{DM}{DN}$ 

Hai tam giác $ABC$ và $DEF$ có $\widehat{A} = \widehat{D}, \widehat{B} = \widehat{E}$, $AB = 8cm, BC = 10cm, DE= 6cm$. Tính độ dài các cạnh $AC, DF$ và $EF$, biết rằng cạnh $AC$ dài hơn cạnh $DF$ là $3\,cm$.

Phương pháp giải

Chứng minh $∆ABC ∽ ∆DEF (g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{DE}= \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{CA}{FD}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

Hay $\dfrac{8}{6} = \dfrac{10}{EF} = \dfrac{CA}{FD}$

Suy ra độ dài các cạnh $AC, DF$ và $EF$

Hướng dẫn giải

Xét $∆ABC$ và $∆DEF$ có:

$\widehat{A} = \widehat{D}$ (giả thiết)

$\widehat{B} = \widehat{E}$ (giả thiết)

$\Rightarrow ∆ABC ∽ ∆DEF (g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{DE}= \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{CA}{FD}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

Hay $\dfrac{8}{6} = \dfrac{10}{EF} = \dfrac{CA}{FD}$

Suy ra: $EF = 6.10 : 8 = 7,5 cm$

Vì $\dfrac{8}{6} = \dfrac{CA}{FD}$

$\Rightarrow  \dfrac{CA}{8} = \dfrac{FD}{6} = \dfrac{CA - FD}{8-6}= \dfrac{3}{2}$ (Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau).

$\Rightarrow CA = \dfrac{8.3}{2} = 12 cm$

$FD = 12 -3 = 9cm$