Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) $x^2 + 2x + 1$

b) $9x^2 + y^2 + 6xy$

c) $25a^2 + 4b^2 - 20ab$

d) $x^2 - x + \dfrac{1}{4}$

Phương pháp giải

Áp dụng: Bình phương của một tổng: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

Hướng dẫn giải

Câu a: ${x^2} + 2x + 1$

$= {x^2} + 2.x.1 + {1^2} = {\left( {x + 1} \right)^2}$

Câu b: $9{x^2} + {y^2} + 6xy$

$= 9{x^2} + 6xy + {y^2}$$= {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.y + {y^2} = {\left( {3x + y} \right)^2}$

Câu c: $25{a^2} + 4{b^2}-20ab$

$= 25{a^2}-20ab + 4{b^2}$

$= {\left( {5a} \right)^2}-2.5a.2b{\rm{ }} + {\left( {2b} \right)^2}$

$= {\left( {5a-2b} \right)^2}$

Hoặc 

$25{a^2} + 4{b^2}-20ab$

$= 4{b^2}-20ab + 25{a^2}$

$= {\left( {2b} \right)^2}-2.2b.5a + {\left( {5a} \right)^2}$

$= {\left( {2b-5a} \right)^2}$

Câu d: ${x^2} - x + \dfrac{1}{4}$

$= {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}$

$= {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Hoặc 

${x^2} - x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} - x + {x^2}$

$= {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - 2.\dfrac{1}{2}.x + {x^2}$$= {\left( {\dfrac{1}{2} - x} \right)^2}$

Chứng minh rằng: $(10a + 5)^2 = 100a . (a + 1) + 25$

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính:  $25^2; \, 35^2; \, 65^2; \, 75^2$

Phương pháp giải

Áp dụng: Bình phương một tổng: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

Hướng dẫn giải

Ta có

$\eqalign{ & {\left( {10a + 5} \right)^2} = {\left( {10a} \right)^2} + 2.10a.5 + {5^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \;\;= 100{a^2} + 100a + 25 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \;\;= 100a\left( {a + 1} \right) + 25. \cr}$

* Cách để tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số $5$ là:

Bước 1: Tìm số tự nhiên $a$, sao cho số đã cho viết được dưới dạng $10a+5$ tức là có dạng $\overline {a5}$ (chẳng hạn số $25$ thì $a=2$)

Bước 2: Lấy $a$ nhân với $a+1$ và nhân với $100$, rồi cộng với $25$.

Áp dụng tính

${25^2}$, ta được $a=2$ nên ${25^2} = 2.\left( {2 + 1} \right).100 + 25 = 625;$

${35^2}$, ta được $a=3$ nên ${35^2} = 3.\left( {3 + 1} \right).100 + 25 = 1225$

Tương tự

${65^2} = 6.\left( {6 + 1} \right).100 + 25 = 4225$

${75^2} = 7.\left( {7 + 1} \right).100 + 25 = 5625.$

Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẵng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

a) $x^2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)^2$

b) $... - 10xy + 25y^2 = ( ... - ...)^2$

Hãy nêu một đề bài tương tự

Phương pháp giải

Áp dụng bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu.

Hướng dẫn giải

Câu a: ${x^2} + 6xy +  \ldots  = {\left( { \ldots  + 3y} \right)^2}$

Suy ra ${x^2} + 2.x.3y +... = {\left( {... + 3y} \right)^2}$

Nhận thấy đây là hằng đẳng thức thứ nhất $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ với $A=x$ và $2AB=2.x.3y$

Suy ra $B=3y$.

Từ đó, ta có: ${x^2} + 2.x.3y + {\left( {3y} \right)^2} = {\left( {x + 3y} \right)^2}$

Vậy: ${x^2} + 6xy + 9{y^2} = {\left( {x + 3y} \right)^2}$

Câu b: $... - 10xy + 25{y^2} = {\left( { \ldots  -  \ldots } \right)^2}$

Suy ra $... - 2.x.5y + {\left( {5y} \right)^2} = {\left( {... -...} \right)^2}$

Nhận thấy đây là hằng đẳng thức thứ hai $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ với $B=5y$ và $2AB=2.x.5y$

Suy ra $A=x$.

Do đó, ta có: ${x^2} - 2.x.5y + {\left( {5y} \right)^2} = {\left( {x - 5y} \right)^2}$

Vậy: ${x^2}-10xy + 25{y^2} = {\left( {x-5y} \right)^2}$

Đề bài tương tự

 $4 + 4y +  \ldots  = {\left( { \ldots  + y} \right)^2}$

Có: ${2^2} + 2.2.y + {y^2} = {\left( {2 + y} \right)^2}$

$\Rightarrow 4 + 4y + {y^2} = {\left( {2 + y} \right)^2}$

Đố. Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.

Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng $a + b,$ bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng $a - b$ ( cho $a > b$). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?

Phương pháp giải

- Biểu diễn phần diện tích còn lại của miếng tôn theo $a,b.$

- Áp dụng

• ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
• ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Hướng dẫn giải

Diện tích của miếng tôn hình vuông ban đầu là ${\left( {a + b} \right)^2}$ 

Diện tích của miếng tôn hình vuông phải cắt là ${\left( {a - b} \right)^2}$.

Phần diện tích miếng tôn còn lại là ${\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2}$.

Ta có

$\eqalign{ & {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} \cr & = {a^2} + 2ab + {b^2} - \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) \cr & = {a^2} + 2ab + {b^2} - {a^2} + 2ab - {b^2} \cr & = \left( {{a^2} - {a^2}} \right) + \left( {{b^2} - {b^2}} \right) + \left( {2ab + 2ab} \right) \cr & = 4ab \cr}$

Vậy phần diện tích hình còn lại là $4ab$ và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

Hoặc ta có thể áp dụng hằng đẳng thức thứ 3 để tính như sau:

$\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2}\\ = \left( {a + b + a - b} \right)\left[ {a + b - \left( {a - b} \right)} \right]\\ = 2a.\left( {a + b - a + b} \right)\\ = 2a.2b\\ = 4ab \end{array}$

Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau: $x^2 + 2xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$

Phương pháp giải

Áp dụng bình phương của một tổng.

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

Hướng dẫn giải

Ta có

$\eqalign{ & {\left( {x + 2y} \right)^2} = {x^2} + 2.x.2y + (2y)^2 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \;\;\,= {\rm{ }}{x^2} + 4xy + 4{y^2} \cr}$

Do đó kết quả ${x^2} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {x + 2y} \right)^2}$ là sai.

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) $9x^2 – 6x + 1$

b) $(2x + 3y)^2 + 2.(2x + 3y) + 1$

Hãy tìm một đề bài tương tự

Phương pháp giải

Áp dụng bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu.

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Hướng dẫn giải

Câu a: $9{x^2}-6x + 1 = {\left( {3x} \right)^2}-2.3x.1 + {1^2}$ $= {\left( {3x-1} \right)^2}$

Hoặc 

$9{x^2}-6x + 1 = 1-6x + 9{x^2}$ $= {1^2} - 2.1.3x + {\left( {3x} \right)^2} = {\left( {1-3x} \right)^2}$        

Câu b: ${\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y} \right)^2} + 2.\left( {2x + 3y} \right) + 1$ $= {\left( {2x + 3y} \right)^2} + 2.\left( {2x + 3y} \right).1 + {1^2}$

Áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất ${A^2} + 2AB + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2}$ với $A=2x+3y$; $B=1$ ta được

${\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y} \right)^2} + 2.\left( {2x + 3y} \right) + 1$

$= {\left( {2x + 3y} \right)^2} + 2.\left( {2x + 3y} \right).1 + {1^2}$

$= {\left[ {\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y} \right) + 1} \right]^2} = {\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y + 1} \right)^2}$

Đề bài tương tự. Chẳng hạn

$1 + 2\left( {x + 2y} \right) + {\left( {x + 2y} \right)^2}$;

$4{x^2}-12x + 9$; …

Tính nhanh

a) $101^2$

b) $199^2$

c) $47.53$

Phương pháp giải

Áp dụng: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

Hướng dẫn giải

Câu a

 $\eqalign{ & {101^2} = {\left( {100 + 1} \right)^2} \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {100^2} + 2.100.1 + {1^2} \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 10000 + 200 + 1 \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 10201 \cr}$

Câu b

$\eqalign{ & {199^2} = {\left( {200 - 1} \right)^2} \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {200^2} - 2.200.1 + {1^2} \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 40000 - 400 + 1 = 39601 \cr}$

Câu c

$\eqalign{ & 47.53 = \left( {50 - 3} \right)\left( {50 + 3} \right) \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {50^2}-{3^2} = 2500 - 9 = 2491 \cr}$

Chứng minh rằng

$(a + b)^2 = (a – b)^2 + 4ab$

$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$

Áp dụng

a) Tính $(a - b)^2,$ biết $a + b = 7$ và $a.b = 12$

b) Tính $(a + b)^2,$ biết $a - b = 20$ và $a.b = 3$

Phương pháp giải

Áp dụng bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu để biến đổi vế trái hoặc vế phải của từng đẳng thức, đưa về bằng vế còn lại

• ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
• ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Hướng dẫn giải

* ${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab$

Cách 1: Biến đổi vế trái:

$\eqalign{ & {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + 4ab \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab \cr}$

Vậy ${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab$

Cách 2: Biến đổi vế phải:

$\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab \cr & = {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \cr & = {a^2} + \left( {4ab - 2ab} \right) + {b^2} \cr & = {a^2} + 2ab + {b^2} \cr  & =(a+b)^2\cr}$

Vậy ${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab$

* ${\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab$

Biến đổi vế phải:

$\eqalign{ & {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \cr & = {a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab \cr & = {a^2} + \left( {2ab - 4ab} \right) + {b^2} \cr & = {a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} \cr}$

Vậy ${\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab$

Áp dụng: Tính:

a) Với $a + b = 7$ và $a . b = 12$ ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab$

                $= {7^2} - 4.12 = 49 - 48 = 1$

b) Với $a - b = 20$ và $a . b = 3$ ta có:

${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab$

                 $= {20^2} + 4.3$

                 $= 400 + 12 = 412$

Tính giá trị của biểu thức $49x^2 – 70x + 25$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $x = 5$
b) $x = \dfrac{1}{7}$

Phương pháp giải

Áp dụng bình phương của một hiệu, sau đó thay lần lượt từng giá trị của $x$ để tính giá trị của biểu thức.

Hướng dẫn giải

Ta có: $49{x^2}-70x + 25$$= {\left( {7x} \right)^2}-2.7x.5 + {5^2} = {\left( {7x-5} \right)^2}$

Câu a: Với $x = 5$ ta có:

${\left( {7.5-5} \right)^2} = {\left( {35-5} \right)^2} = {30^2} = 900$

Câu b: Với $x = \dfrac{1}{7}$ ta có:

${\left( {7.\dfrac{1}{7} - 5} \right)^2} = {\left( {1 - 5} \right)^2} = {\left( { - 4} \right)^2} = 16$

Tính

a) $(a + b + c)^2$

b) $(a + b - c)^2$

c) $(a - b - c)^2$

Phương pháp giải

Áp dụng bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu

• ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
• ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\eqalign{ & \,\,{\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2} \cr  & = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right)c + {c^2} \cr  & = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2} \cr  & = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac \cr}$

Câu b

$\eqalign{ & \,\,\,{\left( {a + b - c} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right) - c} \right]^2} \cr  & = {\left( {a + b} \right)^2} - 2\left( {a + b} \right)c + {c^2} \cr  & = {a^2} + 2ab + {b^2} + \left( { - 2} \right).ac + \left( { - 2} \right).bc + {c^2}\cr& = {a^2} + 2ab + {b^2} - 2ac - 2bc + {c^2} \cr  & = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab - 2bc - 2ac \cr}$

Câu c

$\eqalign{ & \,\,{\left( {a - b - c} \right)^2} = {\left[ {\left( {a - b} \right) - c} \right]^2} \cr  & = {\left( {a - b} \right)^2} - 2\left( {a - b} \right)c + {c^2} \cr  & = {a^2} - 2ab + {b^2} + \left( { - 2} \right).ac + \left( { - 2} \right).\left( { - b} \right).c + {c^2} \cr  & = {a^2} - 2ab + {b^2} - 2ac + 2bc + {c^2} \cr  & = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab + 2bc - 2ac \cr}$