Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 2: Nhân đa thức với đa thức

Phần hướng dẫn giải bài tập Nhân đa thức với đa thức sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng, giải bài tập từ SGK Đại số 8 Tập 1

Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 2: Nhân đa thức với đa thức

1. Giải bài 7 trang 8 SGK Toán 8 tập 1

Làm tính nhân

a) \((x^2 - 2x + 1)(x - 1)\)

b) \((x^3 - 2x^2 + x - 1)(5- x)\)

Từ câu b), hãy suy ra kết quả của phép nhân: \((x^3 - 2x^2 + x - 1)( x - 5) \)

Phương pháp giải

Áp dụng

  • Qui tắc nhân đa thức với đa thức.
  • Qui tắc phá dấu ngoặc.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(({x^2}-2x + 1)\left( {x-1} \right)\)

\( = {x^2}.\left( {x - 1} \right) + \left( { - 2x} \right).\left( {x - 1} \right) \)\(\,+ 1.\left( {x - 1} \right)\)

\( = {x^2}.x + {x^2}.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2x} \right).x \)\(+ \left( { - 2x} \right).\left( { - 1} \right) + 1.x + 1.\left( { - 1} \right)\)                  

\(= {x^3} - {x^{2}} - 2{x^2} + 2x + x-1\)

\( = {x^3} + \left( { - {x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {2x + x} \right) - 1\)

\(= {x^3} - 3{x^2} + 3x-1.\)

Câu b

\(({x^3}-2{x^{2}} + x - 1)\left( {5-x} \right)\)

\( = {x^3}\left( {5 - x} \right) - 2{x^2}\left( {5 - x} \right) + x\left( {5 - x} \right)\)\(\, - 1.\left( {5 - x} \right)\)

\(= {x^3}.5 + {x^3}.\left( { - x} \right) + ( - 2{x^2}).5 \)\(+ ( - 2{x^2}).\left( { - x} \right) + x.5 + x.\left( { - x} \right) \)\(+ \left( { - 1} \right).5 + \left( { - 1} \right).\left( { - x} \right)\)

\( = 5{x^3}-{x^4}-10{x^2} + 2{x^3} + 5x-{x^2}\)\(-5 + x\)

\( =  - {x^4} + \left( {5{x^3} + 2{x^3}} \right) + \left( { - 10{x^2} - {x^2}} \right)\)\(\, + \left( {5x + x} \right) - 5\)

\( =  - {x^4} + 7{x^3}-11{x^2} + 6x - 5.\)

Suy ra kết quả của phép nhân

\(\matrix{
{\left( {{x^3}-2{x^2} + x - 1} \right)\left( {x - 5} \right)} \hfill \cr 
{ = \left( {{x^3}-2{x^2} + x - 1} \right)\left[ { - \left( {5 - x} \right)} \right]} \hfill \cr 
{ = - \left( {{x^3}-2{x^2} + x - 1} \right)\left( {5-x} \right)} \hfill \cr 
{ = - \left( { - {x^4} + 7{x^3}-11{x^2} + 6x - 5} \right)} \hfill \cr 
{ = {x^4} - 7{x^3} + 11{x^2} - 6x + 5} \hfill \cr} \)

(Ở đây ta biến đổi: \(x - 5 = - (5 - x)\))

2. Giải bài 8 trang 8 SGK Toán 8 tập 1

Làm tính nhân

a) \(\left(x^2y^2 - \dfrac{1}{2}xy + 2y\right)(x - 2y)\)

b) \((x^2 - xy + y^2)(x + y)\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l} \left( {{x^2}{y^2} - xy + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)\\ = {x^2}{y^2}x + {x^2}{y^2}( - 2y) - xy.x - xy( - 2y) + 2y.x + 2y.( - 2y)\\ = {x^3}{y^2} - 2{x^2}{y^3} - {x^2}y + 2x{y^2} + 2xy - 4{y^2} \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \left( {{x^2}-xy + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\\ = {x^2}.x + {x^2}.y + \left( { - xy} \right).{\rm{ }}x + \left( { - xy} \right).{\rm{ }}y + {y^2}.{\rm{ }}x + {y^2}.y \end{array}\\ \begin{array}{l} = {x^3} + {x^2}.y - {x^2}.y - x{y^2} + x{y^2} + {y^{3\;}}\\ {\rm{ = }}{x^3} - {y^3} \end{array} \end{array}\)

3. Giải bài 9 trang 8 SGK Toán 8 tập 1

Điền kết quả tính được vào bảng

Phương pháp giải

  • Áp dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.
  • Thay giá trị \(x, y\) tương ứng để tính giá trị của biểu thức.

Hướng dẫn giải

Trước hết, ta làm tính nhân để rút gọn biểu thức, ta được

\({\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}\)

\( = x\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - y\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

\( = x.{x^2} + x.xy + x.{y^2} + \left( { - y} \right).{x^2} \)\(+ \left( { - y} \right).xy + \left( { - y} \right).{y^2}\)

\( = {x^3} + {x^2}y + x{y^2}-y{x^2}-x{y^2}-{y^3} \)

\( = {x^3} + \left( {{x^2}y - y{x^2}} \right) + \left( {x{y^2} - x{y^2}} \right)\)\(\, - {y^3}\)

\(= {x^3}-{y^3}\)

Sau đó tính giá trị của biểu thức: \( A={x^3}-{y^3}\)

Ta có

Khi \(x = -10; y = 2\) thì \(A = {\left( { - 10} \right)^3}-{2^3} =  - 1000-8 \)\(=  - 1008\)

Khi \(x = -1; y = 0\) thì \(A = {\left( { - 1} \right)^3}-{0^3} =  - 1\)

Khi \(x = 2; y = -1\) thì \(A = {2^3}-{\left( { - 1} \right)^3} = 8 + 1 = 9\)

Khi \(x = -0,5; y = 1,25\) thì

\(A = {\left( { - 0,5} \right)^3}-1,{25^3} \)\(=  - 0,125-1,953125 =  - 2,078125\)

4. Giải bài 10 trang 8 SGK Toán 8 tập 1

Thực hiện phép tính

a) \((x^2 - 2x + 3)\left(\dfrac{1}{2}x - 5\right)\)

b) \((x^2 - 2xy + y^2)(x - y)\)

Phương pháp giải

 Áp dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l} \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {\frac{1}{2}x - 5} \right)\\ = \frac{1}{2}{x^3} - 5{x^2} - {x^2} + 10x + \frac{3}{2}x - 15\\ = \frac{1}{2}{x^3} - 6{x^2} + \frac{{23}}{2}x - 15 \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{l} \left( {{x^2}-2xy + {y^2}} \right)\left( {x-y} \right)\\ \begin{array}{*{20}{l}} { = {x^3} - {x^2}y - 2{x^2}y + 2x{y^2} + x{y^2} - {y^3}}\\ { = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}} \end{array} \end{array}\)

5. Giải bài 11 trang 8 SGK Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: \( (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức, kết quả cuối cùng là hằng số thì giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {x - 5} \right)\left( {2x + 3} \right) - 2x\left( {x - 3} \right) + x + 7}\\ { = 2{x^2} + 3x - 10x-{\rm{ }}15-2{x^2} + 6x + x + 7}\\ \begin{array}{l} = 2{x^2}-2{x^2}-7x + 7x-15 + 7{\rm{ }}\\ = - 8 \end{array} \end{array}\)

Vậy sau khi rút gọn biểu thức ta được hằng số -8 nên giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

6. Giải bài 12 trang 8 SGK Toán 8 tập 1

Tính giá trị của biểu thức \((x^2 - 5)(x + 3) + (x + 4)(x - x^2)\) trong mỗi trường hợp sau

a) \(x = 0 \)

b) \(x = 15 \)

c) \(x = -15 \)

d) \(x = 0,15\)

Phương pháp giải

  • Áp dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.
  • Thay giá trị của \(x\) vào biểu thức đã được rút gọn để tính giá trị của biểu thức.

Hướng dẫn giải

Trước hết thực hiện phép tính và rút gọn, ta được

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {{x^2}-5} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 4} \right)\left( {x-{x^2}} \right)}\\ { = {x^3}+ 3{x^2} - 5x-15+{x^2}-{x^3}+4x-4{x^2}}\\ { = {x^3}-{x^3} + {4x^2}-4{x^{2\;}}-5x + 4x - 15}\\ { = - x - 15} \end{array}\)

Câu a: Với \(x = 0\) giá trị của biểu thức đã cho là: \(- 0 - 15 = -15\)

Câu b: Với \(x = 15\) giá trị của biểu thức đã cho là: \(- 15 - 15 = -30\)

Câu c: Với \(x = -15\) giá trị của biểu thức đã cho là: \(-(-15) - 15 = 15 -15 = 0\)

Câu d: Với \(x = 0,15\) giá trị của biểu thức đã cho là: \(  -0,15 - 15 = -15,15.\)

7. Giải bài 13 trang 9 SGK Toán 8 tập 1

Tìm \(x,\) biết: \((12x -5)(4x - 1) + (3x - 7)(1 - 16x) = 81\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức, sau đó tìm \(x.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \((12x - 5)(4x - 1) + (3x - 7)(1 - 16x) = 81\)
\(\Leftrightarrow 48x^2 - 12x - 20x + 5 + 3x - 48x^2 - 7 + 112x = 81\)
\(\Leftrightarrow 83x - 2 = 81\)
\(\Leftrightarrow 83x = 83\)
\(\Rightarrow x = 1\)

8. Giải bài 14 trang 9 SGK Toán 8 tập 1

Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192.

Phương pháp giải

  • Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau \(2\) đơn vị.
  • Gọi ba số chẵn liên tiếp là \(a, a + 2, a + 4\); lập biểu thức biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn.
  • Thực hiện nhân đa thức với đa thức để rút gọn biểu thức rồi tìm giá trị của số chẵn bé nhất, sau đó tìm được hai số còn lại.

Hướng dẫn giải

Gọi ba số chẵn liên tiếp là \(a, a + 2, a + 4\) \(\left( {a \text{ là số chẵn};a \in\mathbb N} \right)\)

Tích hai số sau là: \((a + 2)(a + 4)\)

Tích hai số đầu là: \(a(a + 2)\)

Theo đề bài tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là \(192\) nên ta có:

\((a + 2)(a + 4) - a(a + 2) = 192\)

\(a\left( {a + 4} \right) + 2\left( {a + 4} \right) - a\left( {a + 2} \right) = 192\)

\(a.a + a.4 + 2.a + 2.4 + ( - a).a + ( - a).2 = 192\)

\({a^2} + 4a + 2a + 8 - {a^2} - 2a = 192\)

\(\left( {{a^2} - {a^2}} \right) + \left( {4a + 2a - 2a} \right) = 192 - 8\)

\(4a= 184\)

  \(a=184:4\)

  \(a = 46\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy ba số đó là \(46, 48, 50.\)

9. Giải bài 15 trang 9 SGK Toán 8 tập 1

Làm tính nhân

a) \(\left(\dfrac{1}{2}x + y\right)\left(\dfrac{1}{2}x + y\right)\)

b) \(\left(x -\dfrac{1}{2} y\right)\left(x -\dfrac{1}{2} y\right)\)

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.

Hướng dẫn giải

Câu a

(\begin{array}{l} (\frac{1}{2}x + y)(\frac{1}{2}x + y){\rm{ }}\\ = \frac{1}{2}x.\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x.y + y.\frac{1}{2}x + y.y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{2}xy + \frac{1}{2}xy + {y^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ = \frac{1}{4}{x^2} + xy + {y^2}\;\\ \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{l} (x - \;\frac{1}{2}y)(x - \;\frac{1}{2}y){\rm{ }}\\ = x.x + x( - \frac{1}{2}y) + ( - \frac{1}{2}y.x) + ( - \frac{1}{2}y)( - \frac{1}{2}y)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ }}\\ = {x^2} - \frac{1}{2}\;xy{\rm{ }} - \frac{1}{2}\;xy{\rm{ }} + \;\frac{1}{4}\;{y^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ }}\\ = {x^2} - xy + \;\frac{1}{4}{y^2}\\ \end{array}\)

Ngày:16/07/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM