Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 2: Nhân đa thức với đa thức

Làm tính nhân

a) \((x^2 - 2x + 1)(x - 1)\)

b) \((x^3 - 2x^2 + x - 1)(5- x)\)

Từ câu b), hãy suy ra kết quả của phép nhân: \((x^3 - 2x^2 + x - 1)( x - 5) \)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Qui tắc nhân đa thức với đa thức.
• Qui tắc phá dấu ngoặc.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(({x^2}-2x + 1)\left( {x-1} \right)\)

\( = {x^2}.\left( {x - 1} \right) + \left( { - 2x} \right).\left( {x - 1} \right) \)\(\,+ 1.\left( {x - 1} \right)\)

\( = {x^2}.x + {x^2}.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2x} \right).x \)\(+ \left( { - 2x} \right).\left( { - 1} \right) + 1.x + 1.\left( { - 1} \right)\)                  

\(= {x^3} - {x^{2}} - 2{x^2} + 2x + x-1\)

\( = {x^3} + \left( { - {x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {2x + x} \right) - 1\)

\(= {x^3} - 3{x^2} + 3x-1.\)

Câu b

\(({x^3}-2{x^{2}} + x - 1)\left( {5-x} \right)\)

\( = {x^3}\left( {5 - x} \right) - 2{x^2}\left( {5 - x} \right) + x\left( {5 - x} \right)\)\(\, - 1.\left( {5 - x} \right)\)

\(= {x^3}.5 + {x^3}.\left( { - x} \right) + ( - 2{x^2}).5 \)\(+ ( - 2{x^2}).\left( { - x} \right) + x.5 + x.\left( { - x} \right) \)\(+ \left( { - 1} \right).5 + \left( { - 1} \right).\left( { - x} \right)\)

\( = 5{x^3}-{x^4}-10{x^2} + 2{x^3} + 5x-{x^2}\)\(-5 + x\)

\( =  - {x^4} + \left( {5{x^3} + 2{x^3}} \right) + \left( { - 10{x^2} - {x^2}} \right)\)\(\, + \left( {5x + x} \right) - 5\)

\( =  - {x^4} + 7{x^3}-11{x^2} + 6x - 5.\)

Suy ra kết quả của phép nhân

\(\matrix{
{\left( {{x^3}-2{x^2} + x - 1} \right)\left( {x - 5} \right)} \hfill \cr 
{ = \left( {{x^3}-2{x^2} + x - 1} \right)\left[ { - \left( {5 - x} \right)} \right]} \hfill \cr 
{ = - \left( {{x^3}-2{x^2} + x - 1} \right)\left( {5-x} \right)} \hfill \cr 
{ = - \left( { - {x^4} + 7{x^3}-11{x^2} + 6x - 5} \right)} \hfill \cr 
{ = {x^4} - 7{x^3} + 11{x^2} - 6x + 5} \hfill \cr} \)

(Ở đây ta biến đổi: \(x - 5 = - (5 - x)\))

Làm tính nhân

a) \(\left(x^2y^2 - \dfrac{1}{2}xy + 2y\right)(x - 2y)\)

b) \((x^2 - xy + y^2)(x + y)\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l} \left( {{x^2}{y^2} - xy + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)\\ = {x^2}{y^2}x + {x^2}{y^2}( - 2y) - xy.x - xy( - 2y) + 2y.x + 2y.( - 2y)\\ = {x^3}{y^2} - 2{x^2}{y^3} - {x^2}y + 2x{y^2} + 2xy - 4{y^2} \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \left( {{x^2}-xy + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\\ = {x^2}.x + {x^2}.y + \left( { - xy} \right).{\rm{ }}x + \left( { - xy} \right).{\rm{ }}y + {y^2}.{\rm{ }}x + {y^2}.y \end{array}\\ \begin{array}{l} = {x^3} + {x^2}.y - {x^2}.y - x{y^2} + x{y^2} + {y^{3\;}}\\ {\rm{ = }}{x^3} - {y^3} \end{array} \end{array}\)

Điền kết quả tính được vào bảng

Phương pháp giải

• Áp dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.
• Thay giá trị \(x, y\) tương ứng để tính giá trị của biểu thức.

Hướng dẫn giải

Trước hết, ta làm tính nhân để rút gọn biểu thức, ta được

\({\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}\)

\( = x\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - y\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

\( = x.{x^2} + x.xy + x.{y^2} + \left( { - y} \right).{x^2} \)\(+ \left( { - y} \right).xy + \left( { - y} \right).{y^2}\)

\( = {x^3} + {x^2}y + x{y^2}-y{x^2}-x{y^2}-{y^3} \)

\( = {x^3} + \left( {{x^2}y - y{x^2}} \right) + \left( {x{y^2} - x{y^2}} \right)\)\(\, - {y^3}\)

\(= {x^3}-{y^3}\)

Sau đó tính giá trị của biểu thức: \( A={x^3}-{y^3}\)

Ta có

Khi \(x = -10; y = 2\) thì \(A = {\left( { - 10} \right)^3}-{2^3} =  - 1000-8 \)\(=  - 1008\)

Khi \(x = -1; y = 0\) thì \(A = {\left( { - 1} \right)^3}-{0^3} =  - 1\)

Khi \(x = 2; y = -1\) thì \(A = {2^3}-{\left( { - 1} \right)^3} = 8 + 1 = 9\)

Khi \(x = -0,5; y = 1,25\) thì

\(A = {\left( { - 0,5} \right)^3}-1,{25^3} \)\(=  - 0,125-1,953125 =  - 2,078125\)

Thực hiện phép tính

a) \((x^2 - 2x + 3)\left(\dfrac{1}{2}x - 5\right)\)

b) \((x^2 - 2xy + y^2)(x - y)\)

Phương pháp giải

 Áp dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l} \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {\frac{1}{2}x - 5} \right)\\ = \frac{1}{2}{x^3} - 5{x^2} - {x^2} + 10x + \frac{3}{2}x - 15\\ = \frac{1}{2}{x^3} - 6{x^2} + \frac{{23}}{2}x - 15 \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{l} \left( {{x^2}-2xy + {y^2}} \right)\left( {x-y} \right)\\ \begin{array}{*{20}{l}} { = {x^3} - {x^2}y - 2{x^2}y + 2x{y^2} + x{y^2} - {y^3}}\\ { = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}} \end{array} \end{array}\)

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: \( (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức, kết quả cuối cùng là hằng số thì giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {x - 5} \right)\left( {2x + 3} \right) - 2x\left( {x - 3} \right) + x + 7}\\ { = 2{x^2} + 3x - 10x-{\rm{ }}15-2{x^2} + 6x + x + 7}\\ \begin{array}{l} = 2{x^2}-2{x^2}-7x + 7x-15 + 7{\rm{ }}\\ = - 8 \end{array} \end{array}\)

Vậy sau khi rút gọn biểu thức ta được hằng số -8 nên giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Tính giá trị của biểu thức \((x^2 - 5)(x + 3) + (x + 4)(x - x^2)\) trong mỗi trường hợp sau

a) \(x = 0 \)

b) \(x = 15 \)

c) \(x = -15 \)

d) \(x = 0,15\)

Phương pháp giải

• Áp dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.
• Thay giá trị của \(x\) vào biểu thức đã được rút gọn để tính giá trị của biểu thức.

Hướng dẫn giải

Trước hết thực hiện phép tính và rút gọn, ta được

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {{x^2}-5} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 4} \right)\left( {x-{x^2}} \right)}\\ { = {x^3}+ 3{x^2} - 5x-15+{x^2}-{x^3}+4x-4{x^2}}\\ { = {x^3}-{x^3} + {4x^2}-4{x^{2\;}}-5x + 4x - 15}\\ { = - x - 15} \end{array}\)

Câu a: Với \(x = 0\) giá trị của biểu thức đã cho là: \(- 0 - 15 = -15\)

Câu b: Với \(x = 15\) giá trị của biểu thức đã cho là: \(- 15 - 15 = -30\)

Câu c: Với \(x = -15\) giá trị của biểu thức đã cho là: \(-(-15) - 15 = 15 -15 = 0\)

Câu d: Với \(x = 0,15\) giá trị của biểu thức đã cho là: \(  -0,15 - 15 = -15,15.\)

Tìm \(x,\) biết: \((12x -5)(4x - 1) + (3x - 7)(1 - 16x) = 81\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức, sau đó tìm \(x.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \((12x - 5)(4x - 1) + (3x - 7)(1 - 16x) = 81\)
\(\Leftrightarrow 48x^2 - 12x - 20x + 5 + 3x - 48x^2 - 7 + 112x = 81\)
\(\Leftrightarrow 83x - 2 = 81\)
\(\Leftrightarrow 83x = 83\)
\(\Rightarrow x = 1\)

Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192.

Phương pháp giải

• Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau \(2\) đơn vị.
• Gọi ba số chẵn liên tiếp là \(a, a + 2, a + 4\); lập biểu thức biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn.
• Thực hiện nhân đa thức với đa thức để rút gọn biểu thức rồi tìm giá trị của số chẵn bé nhất, sau đó tìm được hai số còn lại.

Hướng dẫn giải

Gọi ba số chẵn liên tiếp là \(a, a + 2, a + 4\) \(\left( {a \text{ là số chẵn};a \in\mathbb N} \right)\)

Tích hai số sau là: \((a + 2)(a + 4)\)

Tích hai số đầu là: \(a(a + 2)\)

Theo đề bài tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là \(192\) nên ta có:

\((a + 2)(a + 4) - a(a + 2) = 192\)

\(a\left( {a + 4} \right) + 2\left( {a + 4} \right) - a\left( {a + 2} \right) = 192\)

\(a.a + a.4 + 2.a + 2.4 + ( - a).a + ( - a).2 = 192\)

\({a^2} + 4a + 2a + 8 - {a^2} - 2a = 192\)

\(\left( {{a^2} - {a^2}} \right) + \left( {4a + 2a - 2a} \right) = 192 - 8\)

\(4a= 184\)

  \(a=184:4\)

  \(a = 46\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy ba số đó là \(46, 48, 50.\)

Làm tính nhân

a) \(\left(\dfrac{1}{2}x + y\right)\left(\dfrac{1}{2}x + y\right)\)

b) \(\left(x -\dfrac{1}{2} y\right)\left(x -\dfrac{1}{2} y\right)\)

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.

Hướng dẫn giải

Câu a

(\begin{array}{l} (\frac{1}{2}x + y)(\frac{1}{2}x + y){\rm{ }}\\ = \frac{1}{2}x.\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x.y + y.\frac{1}{2}x + y.y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{2}xy + \frac{1}{2}xy + {y^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ = \frac{1}{4}{x^2} + xy + {y^2}\;\\ \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{l} (x - \;\frac{1}{2}y)(x - \;\frac{1}{2}y){\rm{ }}\\ = x.x + x( - \frac{1}{2}y) + ( - \frac{1}{2}y.x) + ( - \frac{1}{2}y)( - \frac{1}{2}y)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ }}\\ = {x^2} - \frac{1}{2}\;xy{\rm{ }} - \frac{1}{2}\;xy{\rm{ }} + \;\frac{1}{4}\;{y^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ }}\\ = {x^2} - xy + \;\frac{1}{4}{y^2}\\ \end{array}\)