Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức

Rút gọn phân thức:

a) \(\dfrac{6x^2y^2}{8xy^5}\)

b) \(\dfrac{10xy^2(x + y)}{15xy(x + y)^3}\)

c) \(\dfrac{2x^2 + 2x}{x + 1}\)

d) \(\dfrac{x^2 - xy - x + y}{x^2 + xy - x - y}\)

Phương pháp giải

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung.

- Rút gọn cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

\( \dfrac{6x^{2}y^{2}}{8xy^{5}}= \dfrac{3x.2xy^{2}}{4y^{3}.2xy^{2}}= \dfrac{3x}{4y^{3}}\) (rút gọn cho nhân tử chung \(2xy^{2}\)) 

Câu b

\( \dfrac{10xy^{2}(x + y)}{15xy(x + y)^{3}} = \dfrac{2y.5xy(x + y)}{3(x + y)^{2}.5xy(x + y)}\)\(\,= \dfrac{2y}{3(x + y)^{2}}\) (rút gọn cho nhân tử chung \(5xy(x + y)\))

Câu c

\( \dfrac{2x^{2} + 2x}{x + 1}= \dfrac{2x(x + 1)}{x + 1} = 2x\) (rút gọn cho nhân tử chung \(x+1\))

Câu d

\( \dfrac{x^{2}- xy - x + y}{x^{2} + xy - x - y}\)

\(= \dfrac{x(x - y)- (x - y)}{x(x + y)- (x + y)}\)

\(= \dfrac{(x - y)(x - 1)}{(x + y)(x - 1)}\)

\( = \dfrac{x - y}{x + y}\) (rút gọn cho nhân tử chung \(x-1\))

Trong một tờ nháp của một bạn có ghi một số phép rút gọn phân thức như sau:

a) \( \dfrac{3xy}{9y}= \dfrac{x}{3}\)

b) \( \dfrac{3xy + 3}{9y + 3}= \dfrac{x}{3}\)

c) \( \dfrac{3xy + 3}{9y + 9}= \dfrac{x + 1}{3 + 3} = \dfrac{x + 1}{6}\)

d) \( \dfrac{3xy + 3x}{9y + 9}= \dfrac{x }{3}\)

Theo em câu nào đúng, câu nào sai? Em hãy giải thích

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức: Nếu nhân (hoặc chia) cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a: \( \dfrac{3xy}{9y}= \dfrac{x.3y}{3.3y}= \dfrac{x}{3}\), đúng vì đã rút gọn cả tử cả mẫu của vế trái cho \(3y\).

Câu b: Ta có: \(\dfrac{{3xy + 3}}{{9y + 3}} = \dfrac{{3(xy + 1)}}{{3(3y + 1)}}\)

Xét theo đề bài \( \dfrac{3xy + 3}{9y + 3}= \dfrac{x}{3}\)

Mẫu của vế phải là \(3\) chứng tỏ đã chia mẫu của vế trái cho \(3y + 1\) vì \(9y + 3 = 3(3y + 1)\)

Nhưng tử của vế trái không có nhân tử \(3y + 1\). Nên phép rút gọn này sai.

Câu c: Sai, vì:

\(\dfrac{{3xy + 3}}{{9y + 9}} = \dfrac{{3\left( {xy + 1} \right)}}{{9\left( {y + 1} \right)}} \ne \dfrac{{x + 1}}{{3 + 3}} = \dfrac{{x + 1}}{6}\)

Câu d: \(\dfrac{{3xy + 3x}}{{9y + 9}} = \dfrac{{3x(y + 1)}}{{9(y + 1)}} = \dfrac{x}{3}\)

Đúng, vì đã rút gọn phân thức ở vế trái với nhân tử chung là \(3(y + 1).\)

Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức:

a) \(\dfrac{36(x - 2)^3}{32 - 16x}\)

b) \(\dfrac{x^2 - xy}{5y^2 - 5xy}\)

Phương pháp giải

- Áp dụng qui tắc đối dấu: \( \dfrac{A}{B}= \dfrac{-A}{-B}\)

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung

- Rút gọn cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

\( \dfrac{36(x - 2)^{3}}{32 - 16x} = \dfrac{36(x - 2)^{3}}{16(2 - x)}\)

\(= \dfrac{36(x - 2)^{3}}{-16(x - 2)}= \dfrac{-9(x-2)^2.4(x - 2)}{4.4(x - 2)}\)\(= \dfrac{-9(x - 2)^{2}}{4}\)

Cách 2

\( \dfrac{36(x - 2)^{3}}{32 - 16x} = \dfrac{36(x - 2)^{3}}{16(2 - x)}\)

\(= \dfrac{36[-( 2-x)]^{3}}{16(x - 2)}= \dfrac{-36(2 - x)^{3}}{16(2 - x)}\)

\(= \dfrac{-9(2-x)^2.4(2 - x)}{4.4(2 - x)}= \dfrac{-9(2 - x)^{2}}{4}\)

Câu b

\( \dfrac{x^{2}- xy}{5y^{2} - 5xy} = \dfrac{x(x - y)}{5y(y - x)}\)

\(= \dfrac{-x(y - x)}{5y(y - x)}= \dfrac{-x}{5y}\)

Đố. Đố em rút gọn được phân thức: \(\dfrac{x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{x^2 - 1} \)

Phương pháp giải

- Trên tử số: ta nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi phân tích thành nhân tử.

- Dưới mẫu số: áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích thành nhân tử.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.

Hướng dẫn giải

\( \dfrac{x^{7}+ x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2}-1} \)

\( = \dfrac{{\left( {{x^7} + {x^6}} \right) + \left( {{x^5} + {x^4}} \right) + \left( {{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \)

\( = \dfrac{{{x^6}(x + 1) + {x^4}(x + 1) + {x^2}(x + 1) + (x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)

\(= \dfrac{(x+1)(x^{6}+x^{4}+x^{2}+1)}{(x-1)(x+1)}\)

\(= \dfrac{x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}{x-1}\)

Rút gọn phân thức:

a) \(\dfrac{12x^3y^2}{18xy^5}\)

b) \(\dfrac{15x(x + 5)^3}{20x^2(x + 5)}\)

Phương pháp giải

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung

- Rút gọn cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\dfrac{{12{x^3}{y^2}}}{{18x{y^5}}} = \dfrac{{2{x^2}.6x{y^2}}}{{3{y^3}.6x{y^2}}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{3{y^3}}}\) (rút gọn cho nhân tử chung \(6x{y^2})\)

Câu b

\(\dfrac{{15x{{\left( {x + 5} \right)}^3}}}{{20{x^2}\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{{3{{\left( {x + 5} \right)}^2}.5x\left( {x + 5} \right)}}{{4x.5x\left( {x + 5} \right)}}\)\(\; = \dfrac{{3{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{4x}}\) (rút gọn cho nhân tử chung \(5x\left( {x + 5} \right))\) 

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn phân thức:

a) \(\dfrac{3x^2 - 12x + 12}{x^4 - 8x}\)

b) \(\dfrac{7x^2 + 14x + 7}{3x^2 + 3x}\)

Phương pháp giải

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức để tìm nhân tử chung

- Rút gọn cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& {{3{x^2} - 12x + 12} \over {{x^4} - 8x}} = {{3\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)} \over {x\left( {{x^3} - 8} \right)}} \cr 
& = {{3\left( {{x^2} - 2.x.2 + {2^2}} \right)} \over {x\left( {{x^3} - {2^3}} \right)}} \cr 
& = {{3{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \over {x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} \cr 
& = {{3\left( {x - 2} \right)} \over {x\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} \cr} \)

Câu b

\(\eqalign{
& {{7{x^2} + 14x + 7} \over {3{x^2} + 3x}} = {{7\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \over {3x\left( {x + 1} \right)}} \cr 
& = {{7{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {3x\left( {x + 1} \right)}} = {{7\left( {x + 1} \right)} \over {3x}} \cr} \)

(rút gọn cho nhân tử chung là \(x+1)\)

Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức:

a) \(\dfrac{45x(3 - x)}{15x(x - 3)^3} \)

b) \(\dfrac{y^2 - x^2}{x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3}\)

Phương pháp giải

- Áp dụng quy tắc đổi dấu.

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& {{45x\left( {3 - x} \right)} \over {15x{{\left( {x - 3} \right)}^3}}} = {{3.15x\left( {3 - x} \right)} \over {15x{{\left( {x - 3} \right)}^3}}} \cr 
& = {{3\left( {3 - x} \right)} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^3}}} = {{ - 3\left( {x - 3} \right)} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\cr& = {{ - 3.\left( {x - 3} \right)} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}.(x-3)}}\cr& = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} \cr} \)

Câu b

\(\eqalign{
& {{{y^2} - {x^2}} \over {{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}}} \cr 
& = {{\left( {y + x} \right)\left( {y - x} \right)} \over {{{\left( {x - y} \right)}^3}}} \cr 
& = {{ - \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)} \over {{{\left( {x - y} \right)}^3}}} \,\text{(do}\,\,y-x=-(x-y))\cr 
& = {{ - \left( {x + y} \right)} \over {{{\left( {x - y} \right)}^2}}} \cr} \)