Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) \(x^3 - 2x^2 + x\)

b) \(2x^2 + 4x + 2 - 2y^2\)

c) \(2xy - x^2 y^2 + 16\)

Phương pháp giải

• Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức.
• Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

Hướng dẫn giải

Câu a

\({x^3}-{\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}\) 

\(=x.x^2-x.2x+x\)

\(= {\rm{ }}x({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }}\)

\( = x\left( {{x^2} - 2x.1 + {1^2}} \right)\)

\( = {\rm{ }}x{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\)

Câu b

\(2{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}2{y^2} \)

\(={\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2})\)

\(= {\rm{ }}2[({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2}]\)

\(= {\rm{ }}2[{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{y^2}]\)

\( = {\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)\)

Câu c

 \(2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}16{\rm{ }} \)

\(= {\rm{ }}16{\rm{ }}-{\rm{ }}({x^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}){\rm{ }}\)

\(= {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^2}\)

\( = \left[ {4 - \left( {x - y} \right)} \right].\left[ {4 + \left( {x - y} \right)} \right]\)

\(= (4 - x + y)(4 + x - y)\)

Chứng minh rằng \((5n + 2)^2 - 4\) chia hết cho \(5\) với mọi số nguyên \(n.\)

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất chia hết của một tích

Nếu trong một tích các số nguyên có một thừa số chia hết cho một số nào đó thì tích cũng chia hết cho số đó.

Sử dụng: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có

\({(5n + 2)^2} - 4 \)

\(= {(5n + 2)^2} - {2^2}\)

\(= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)\)

\(= 5n(5n + 4)\)

Mà \(5\) \(\vdots\) \(5\) nên tích \(5n(5n + 4)\) \(\vdots\) \(5\) với \(n\in \mathbb Z\)

Vậy \(5n(5n + 4)\) \(\vdots\) \(5\) với \(n ∈\mathbb Z\).

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) \(x^2 - 3x + 2\)

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử \(- 3x = - x - 2x\) thì ta có \(x^2 -3x + 2 = x^2 - x - 2x +2\) và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách \(2 = - 4 + 6,\) khi đó ta có \(x^2 - 3x + 2 = x^2 - 4 - 3x + 6,\) từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

b) \(x^2 + x - 6\)

c) \(x^2 + 5x + 6\)

Phương pháp giải

a) Áp dụng phương pháp: tách, nhóm, đặt nhân tử chung

• Cách 1: Tách \(-3x=-x-2x\)
• Cách 2: Tách \(2=-4+6\)

b) Áp dụng phương pháp: tách, nhóm, đặt nhân tử chung

• Cách 1: Tách \(x=3x-2x\)
• Cách 2: Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

c) Áp dụng phương pháp: tách, nhóm, đặt nhân tử chung

• Cách 1: Tách \(5x=2x+3x\)
• Cách 2: Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(x^2– 3x + 2 =  x^2- x - 2x + 2 \)

\(=  (x^2- x)+( - 2x + 2)\)

\(=  (x.x- x)-( 2x - 2)\)

\(= x(x - 1) - 2(x - 1) \)

\(= (x - 1)(x - 2)\)

Cách 2

\(x^2– 3x + 2 = x^2– 3x - 4 + 6\)

\(= (x^2- 4)+( - 3x + 6)\)

\(= (x^2- 2^2)-( 3x - 6)\)

\(= (x - 2)(x + 2) - 3(x -2)\)

\( = (x - 2)(x + 2 - 3)\)

\(= (x - 2)(x - 1)\)

Câu b

\(x^2+ x – 6\)

Tách \(x=3x-2x\) ta được:

\(x^2+ x - 6 = x^2+ 3x - 2x - 6\)

\(= (x^2+ 3x)+( - 2x - 6)\)

\(= (x^2+ 3x)-( 2x + 6)\)

\(= x(x + 3) - 2(x + 3)\)

\(= (x + 3)(x - 2)\).

Cách 2

\(\begin{array}{l}
{x^2} + x - 6\\
= {x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - 6\\
= {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4} - 6\\
= {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{{25}}{4}\\
= {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2}\\
= \left( {x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}} \right)\left( {x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{2}} \right)\\
= \left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)
\end{array}\)

Câu c

\(x^2+ 5x + 6\)

Tách \(5x=2x+3x\) ta được:

\(x^2+ 5x + 6 = x^2+ 2x + 3x + 6\)

\(= (x^2+ 2x )+ (3x + 6)\)

\(= x(x + 2) + 3(x + 2)\)

\(= (x + 2)(x + 3)\)

Cách 2

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 5x + 6\\
= {x^2} + 2.x.\dfrac{5}{2} + {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} + 6\\
= {\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right)^2} - \dfrac{{25}}{4} + 6\\
= {\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4}\\
= {\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\\
= \left( {x + \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {x + \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}} \right)\\
= \left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)
\end{array}\)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) \(x^3 + 2x^2y + xy^2 - 9x\)

b) \(2x - 2y - x^2 + 2xy -y^2\)

c) \(x^4 - 2x^2\)

Phương pháp giải

• Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm, hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung.
• Áp dụng hằng đẳng thức đang nhớ

Hướng dẫn giải

Câu a

\({x^3} + {\rm{ }}2{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }}\)

\(= {\rm{ }}x({x^2}{\rm{ }} + 2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}9)\)

\(= {\rm{ }}x[({x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}){\rm{ }}-{\rm{ }}9]\)

\(= {\rm{ }}x[{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)^2}-{\rm{ }}{3^2}]\)

\(= {\rm{ }}x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\) 

Câu b

\(2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2}\)

\(= {\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}({x^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2})\)

\(= {\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^2}\)

\( = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)\left[ {2{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)} \right]\)

\(= (x -y)(2 - x + y)\)

Câu c

\({x^4}-{\rm{ }}2{x^2} = {\rm{ }}{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) \)

\(= {{\rm{x}}^2}\left( {{x^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right)  \) 

\(={x^2}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\).

Tìm x, biết

a) \(x^3 -\frac{1}{4} x = 0\)

b) \((2x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 0\)

c) \(x^2(x - 3) + 12 - 4x = 0\)

Phương pháp giải

Phân tích vế trái thành nhân tử rồi áp dụng tính chất: 

\(A.B .C= 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0\\C=0
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có

\(\eqalign{
& {x^3} - {1 \over 4}x = 0 \cr& x\left( {{x^2} - {1 \over 4}} \right) = 0 \cr 
& x\left[ {{x^2} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}} \right] = 0 \cr 
& x\left( {x - {1 \over 2}} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0 \cr} \)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x - \dfrac{1}{2} = 0\\
x + \dfrac{1}{2} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \dfrac{1}{2}\\
x = - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\) 

Vậy \(x=0,x = \dfrac{1}{2},x =  - \dfrac{1}{2}\)

Câu b

\((2x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 0\)
\(\Leftrightarrow [(2x - 1) + (x + 3)][(2x - 1) - (x + 3)] = 0\)
\(\Leftrightarrow (2x - 1 + x+ 3)(2x - 1 - x - 3) = 0\)
\(\Leftrightarrow (3x + 2)(x - 4) = 0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{array}{l}3x + 2 = 0 \\ x - 4 = 0\end{array} \right. \\ \\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\dfrac{2}{3} \\ x = 4\end{array} \right.\)

Câu c

Ta có

\(\eqalign{
& {x^2}(x - 3) + 12 - 4x = 0 \cr 
&  {x^2}(x - 3) + \left( { - 4x + 12} \right) = 0\cr&  {x^2}(x - 3) - \left( { 4x -12} \right) = 0\cr&{x^2}(x - 3) - 4(x - 3) = 0 \cr 
&  (x - 3)({x^2} - 4) = 0 \cr 
& (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \cr 
& \Rightarrow \left[ \begin{gathered}x - 3 = 0 \hfill \\x - 2 = 0 \hfill \\x + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \left[ \matrix{x = 3 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \( x=3,x=2,x=-2\)

Tính nhanh giá trị của đa thức:

a)  \(x^2 + \frac{1}{2}x+\frac{1}{16}\) tại x = 49,75

b) \(x^2 - y^2 - 2y - 1\) tại x = 93 và y = 6

Phương pháp giải

Phân tích các đa thức đó thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức rồi thay các giá trị tương ứng của \(x, y\) để tính giá trị của đa thức đó.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(x^2+ \dfrac{1}{2}x+ \dfrac{1}{16}\) tại \(x = 49,75\)

Ta có: \(x^2+ \dfrac{1}{2}x+ \dfrac{1}{16} \)

\(= x^2+ 2 . x . \dfrac{1}{4} + \left ( \dfrac{1}{4} \right )^{2}\)

\(= \left ( x + \dfrac{1}{4} \right )^{2}\)

Với \(x = 49,75\) ta có: \(\left ( 49,75 + \dfrac{1}{4} \right )^{2}= (49,75 + 0,25)^2\)\(= 50^2= 2500\)

Câu b

\(x^2- y^2- 2y - 1\) tại \(x = 93\) và \(y = 6\)

Ta có: \({x^2}-{\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} \)

\(={x^2}+(-{\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} )\)

\(= {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}({y^2} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1)\)

\(= {\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\)

\( = \left[ {x - \left( {y + 1} \right)} \right].\left[ {x + \left( {y + 1} \right)} \right]\)

\(= {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\)

Với \(x = 93, y = 6\) ta được:

\((93 - 6 - 1)(93 + 6 + 1) = 86 . 100 \)\(= 8600   \)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) \(x^2 - 4x + 3 \)

b) \(x^2 + 5x + 4\)

c) \(x^2 - x - 6 \)

d) \(x^4 + 4\)

(Gợi ý câu d): Thêm và bớt \(4x^2\) vào đa thức đã cho)

Phương pháp giải

Áp dụng các phương pháp: nhóm, tách, thêm bớt để xuất hiện nhân tử chung.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l}
{x^2} - 4x + 3\\
= {x^2} - 4x + 4 - 4 + 3\\
= \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 1\\
= \left( {{x^2} - 2.x.2 + {2^2}} \right) - 1\\
= {\left( {x - 2} \right)^2} - {1^2}\\
= \left( {x - 2 + 1} \right)\left( {x - 2 - 1} \right)\\
= \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)
\end{array}\) 

Câu b

\(\eqalign{
& {x^2} + 5x + 4 = {x^2} + 4x + x + 4 \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \, = \left( {{x^2} + 4x} \right) + \left( {x + 4} \right)\cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \, = x\left( {x + 4} \right) + \left( {x + 4} \right) \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right) \cr} \)

Câu c

\(\eqalign{
& {x^2}-x-6 = {x^2} + 2x-3x-6 \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,= \left( {{x^2} + 2x} \right) + \left( { - 3x - 6} \right)\cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\, = x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\, = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) \cr} \)

Câu d

\(\eqalign{
& {x^4} + 4 = {x^4} + 4{x^2} + 4-4{x^2} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;  = \left( {{x^4} + 4{x^2} + 4} \right) - 4{x^2}\cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = \left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 2.{x^2}.2 + {2^2}} \right] - 4{x^2}\,\,\,\, \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = {({x^2} + 2)^2}-{\left( {2x} \right)^2} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = ({x^2} + 2-2x)({x^2} + 2 + 2x) \cr} \)

Chứng minh rằng \(n^3 - n\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n.\)

Phương pháp giải

Phân tích đa thức đã cho thành nhân tử, sau đó áp dụng tính chất: Một số chia hết cho \(2\) và \(3\) thì số đó chia hết cho \(6.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \({n^3} - n = n({n^2} - 1) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\)

Với \(n ∈\mathbb Z\) thì \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) là tích của ba số nguyên liên tiếp.

Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có ít nhất 1 số chẵn nên \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(2\)

Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 nên \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(3\)

Do đó tích \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho cả \(2\) và \(3\).

Mà \(2\) và \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho \(6\) hay \({n^3} - n\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n.\)