Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật

Điền vào chỗ trống, biết rằng $a, b$ là độ dài các cạnh, $d$ là độ dài đường chéo của một hình chữ nhật

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Pytago.

Hướng dẫn giải

Cột thứ hai 

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$ có $\widehat {ABC} = {90^o},$ ta có:

${d^{2}} = {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2} = {\rm{ }}{5^2} + {\rm{ }}{12^2} = {\rm{ }}25{\rm{ }} + {\rm{ }}144{\rm{ }}$$= {\rm{ }}169$

Nên $d =\sqrt{169}= 13$

Cột thứ ba

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$ có $\widehat {ABC} = {90^o},$ ta có:

${a^2} + {\rm{ }}{b^{2}} = {d^2}$

$\Rightarrow {a^2} = {\rm{ }}{d^2} - {b^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - {\left( {\sqrt 6 } \right)^2}$

$= 10 - 6 = 4\Rightarrow a = \sqrt 4=2$

Cột thứ tư

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$ có $\widehat {ABC} = {90^o},$ ta có:

${a^2} + {\rm{ }}{b^{2}} = {\rm{ }}{d^2}$

$\Rightarrow {b^2} = {\rm{ }}{d^2} - {\rm{ }}{a^2} = {\rm{ }}{7^2} -{\left( {\sqrt {13} } \right)^2}$

 $= 49 - 13 = 36\Rightarrow b=\sqrt {36}= 6$

Vậy ta có được bảng sau

Chứng minh rằng

a) Giao điểm hai đường chéo cuẩ hình chữ nhật là tâm đối xứng củahình chữ nhật đó.

b) Hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật là hai trục đối xứng của hình chữ nhật đó.

Phương pháp giải

Áp dụng

• Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
•  Định nghĩa: Điểm $O$ gọi là tâm đối xứng qua hình $H$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $H$ qua điểm $O$ cũng thuộc hình $H.$
• Hình thang cân nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy làm trục đối xứng.
• Hình chữ nhật cũng là 1 hình thang cân.

Hướng dẫn giải

Câu a

Giả sử ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Theo tính chất đường chéo của hình chữ nhật ta có; hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vậy: OA = OC và OB= OD

Do đó, O là tâm đối xứng của hình chữ nhật đó.

Câu b

Áp dung tính chất: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.

ABCD là hình chữ nhật

⇒ ABCD là hình thang cân (hai đáy AB và CD)

⇒ Đường thẳng đi qua trung điểm AB và CD là trục đối xứng ABCD.

Tương tự vậy: ABCD cũng là hình thang cân với hai đáy AD và BC

⇒ Đường thẳng đi qua trung điểm AD và BC là trục đối xứng của ABCD

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $7cm$ và $24cm$

Phương pháp giải

Áp dụng

• Định lí Pytago.
• Tính chất: Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa độ dài cạnh ấy.

Hướng dẫn giải

Gọi $a$ là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông.

Theo định lý Pi-ta-go ta có:

$a^2 = 7^2 + 24^2 = 625$

$\Rightarrow a = 25cm$

Trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa độ dài cạnh huyền

Vậy độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền là $12,5cm$

Cho tam giác $ABC$, đường cao $AH$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC, E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$. Tứ giác $AHCE$ là hình gì? Vì sao?

Phương pháp giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết $I$ là trung điểm của $AC$ nên $IA = IC$ (tính chất trung điểm)
Vì $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$ (giả thiết) nên $I$ là trung điểm của $HE$ hay $IE = IH$ (tính chất đối xứng)

Do đó, tứ giác $AHCE$ có hai đường chéo $AC, HE$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $AHCE$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Mặt khác $AH$ là đường cao trong tam giác $ABC$ nên $\widehat{AHC}=90^0$

Do đó $AHCE$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Các câu sau đúng hay sai?

a) Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $C$ thì điểm $C$ thuộc đường tròn có đường kính là $AB$ (h.88)

b) Nếu điểm $C$ thuộc đường tròn có đường kính là $AB$ ($C$ khác $A$ và $B$) thì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ (h.89)

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy.

Hướng dẫn giải

Câu a: Đúng. 

Gọi $O$ là trung điểm của $AB.$ Ta có $CO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$ của tam giác vuông $ACB$

$\Rightarrow OC = \dfrac{1}{2}AB$ hay $OC = OA = OB$ (Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Nên $A, B, C$ cùng thuộc đường tròn bán kính $OA$. Vậy $C$ thuộc đường tròn đường kính $AB$.

Câu b: Đúng.

Gọi $O$ là tâm đường tròn. Suy ra $CO = AO = OB$ (= bán kính) mà $AB$ là đường kính nên $AB=2R$

Suy ra $CO = AO = OB=\dfrac{AB}2$

Tam giác $ABC$ có trung tuyến $CO$ và $CO$ bằng nửa cạnh $AB$ (chứng minh trên ) nên tam giác $ABC$ vuông tại $C$ (trong tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông).

Tìm x trên hình 90

Phương pháp giải

Áp dụng

• Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
• Định lí Pytago: Bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông.

Hướng dẫn giải

Kẻ $BH ⊥ CD$

Tứ giác $ABHD$ có $\widehat A = \widehat D = \widehat H = {90^0}$ (giả thiết)

 $\Rightarrow$ Tứ giác $ABHD$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

 $\Rightarrow$ $DH =AB= 10$ (tính chất hình chữ nhật)

Ta có:  $HC = DC - DH = 15-10=5$.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $BHC$ vuông tại $H$ ta có:

$\eqalign{ & B{H^2} = B{C^2} - H{C^2} = {13^2} - {5^2} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 169 - 25 = 144 \cr & BH = x = \sqrt {144} = 12 \cr}$

Vậy $x = 12$.

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác cảu các góc A, B, C, D cắt nhau như trên hình 91. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Phương pháp giải

Áp dụng

• Định lí: Tổng $3$ góc của một tam giác bằng $180^o$.
• Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết $ABCD$ là hình bình hành nên $AD//BC,AB//CD$ 

Vì $AD//BC$ $\Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ABC}= {180^0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Vì $AG$ là tia phân giác $\widehat {DAB}$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ $\widehat {BAG}=\widehat {DAH} = \dfrac{1}{2}\widehat {DAB}$ (tính chất tia phân giác)

Vì $BG$ là tia phân giác $\widehat {ABC}$ (giả thiết)

$\Rightarrow$  $\widehat {ABG} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}$

Do đó: $\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {DAB} + \widehat {ABC}} \right)$$= \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}$

Xét $\Delta AGB$ có:

$\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {90^0}$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác $AGB$ ta có:

$\widehat {BAG} + \widehat {ABG} + \widehat {AGB} = {180^0}$

$\Rightarrow\widehat {AGB} =180^0- (\widehat {BAG} + \widehat {ABG} )$$=180^0-{90^0}=90^0$ (*)

+ Vì $AB//DC$ $\Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ADC}= {180^0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

+ Vì $DE$ là tia phân giác $\widehat {ADC}$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ $\widehat {ADH}=\widehat {EDC} = \dfrac{1}{2}\widehat {ADC}$ (tính chất tia phân giác)

Do đó: $\widehat {DAH} + \widehat {ADH} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {DAB} + \widehat {ADC}} \right)$$= \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác $ADH$ ta có:

$\widehat {DAH} + \widehat {ADH} + \widehat {AHD} = {180^0}$

$\Rightarrow\widehat {AHD} =180^0- (\widehat {DAH} + \widehat {ADH} )$$=180^0-{90^0}=90^0$

Suy ra $AH\bot HD$ nên $\widehat {EHG}=90^0$ (**)

Chứng minh tương tự:

Ta có: $\widehat {DCB} + \widehat {ADC}= {180^0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Mà $\widehat{ECD}=\dfrac{1}2\widehat {DCB}$ (do CE là phân giác góc DCB)

Nên $\widehat {EDC} + \widehat {ECD} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {ADC} + \widehat {DCB}} \right)$$= \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}$

Lại có

$\widehat {EDC} + \widehat {ECD} + \widehat {DEC} = {180^0}$ (tổng ba góc trong tam giác DEC)

$\Rightarrow\widehat {DEC} =180^0- (\widehat {EDC} + \widehat {ECD} )$$=180^0-{90^0}=90^0$

Hay $\widehat {HEF} = {90^0}$ (***)

Từ (*), (**) và (***) ta thấy tứ giác $EFGH$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?

Phương pháp giải

Áp dụng

• Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
• Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Vì $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ (giả thiết) 

$\Rightarrow$ $EF$ là đường trung bình của $∆ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow$ $EF // AC$ và $EF=\dfrac{AC}2$  (1) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do $G,H$ lần lượt là trung điểm của $CD,DA$ (giả thiết)

$\Rightarrow$  $HG$ là đường trung bình của $∆ADC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow$  $HG // AC$ và $HG=\dfrac{AC}2$ (2)  (tính chất đường trung bình của tam giác)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$  $EF // HG$ và $EF=HG\,(=\dfrac{AC}2)$

$\Rightarrow$ $EFGH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) 

 Vì $E,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ $EH$ là đường trung bình của $∆ABD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow$ $EH // BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Ta có: $EF // AC$ và $EH//BD$ mà $AC\bot BD$ nên $EF\bot EH$

Hay $\widehat{FEH} = 90^0$

Hình bình hành $EFGH$  có $\widehat{E} = 90^0$ nên là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

Đố. Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường AB thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn (h.92). Đội đã dựng các điểm C, D, E như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn thẳng EF vuông góc với DE. Vì sao AB và EF cùng nằm trên một đường thẳng ?

Phương pháp giải

Áp dụng

• Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
• Tính chất hình chữ nhật.
• Dấu hiệu nhận biết ba điểm thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Tứ giác $BCDE$ có

$BC // DE$ (vì cùng vuông góc với $CD$)

$BC = DE$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ Tứ giác $BCDE$  là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Mà  $\widehat {BCD} = {90^0}$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ Hình bình hành $BCDE$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

$\Rightarrow$ $\widehat {CBE} = \widehat {BED} = {90^0}$

Mặt khác: $\widehat {CBA} = \widehat {FED} = {90^0}$ (giả thiết)

Ta có: $\widehat {CBA} + \widehat {CBE} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\Rightarrow$$A,B,E$ thẳng hàng (1)

$\widehat {FED} + \widehat {BED} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\Rightarrow$ $B,E,F$ thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $AB$ và $EF$ cùng nằm trên một đường thẳng