Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\dfrac{3x - 5}{7} + \dfrac{4x + 5}{7}\)

b) \(\dfrac{5xy - 4y}{2x^2y^3} + \dfrac{3xy + 4y}{2x^2y^3}\)

c) \(\dfrac{x + 1}{x - 5} + \dfrac{x - 18}{x - 5} + \dfrac{x + 2}{x - 5}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức.

\( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{B}=\dfrac{A+C}{B}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(\frac{3x-5}{7}+\frac{4x+5}{7}\) = \(\frac{3x-5+4x+5}{7}=\frac{7x}{7}=x\)

Câu b

\(\frac{5xy-4y}{2x^{2}y^{3}}+\frac{3xy+4y}{2x^{2}y^{3}}\) = \(\frac{5xy-4y+3xy+4y}{2x^{2}y^{3}}=\frac{8xy}{2x^{2}y^{3}}=\frac{4}{xy^{2}}\)

Câu c

 \(\frac{x+1}{x-5}+\frac{x-18}{x-5}+\frac{x+2}{x-5}\)= \(\frac{x+1+x-18+x+2}{x-5}=\frac{3x-15}{x-5}=\frac{3(x-5)}{x-5}=3\)

Áp dụng quy tắc biến đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi làm tính cộng phân thức:

a) \(\dfrac{2x^2 - x}{x - 1} + \dfrac{x + 1}{1 - x} + \dfrac{2 - x^2}{x - 1}\)

b) \(\dfrac{4 - x^2}{x - 3} + \dfrac{2x - 2x^2}{3 - x} + \dfrac{5 - 4x}{x - 3}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc đổi dấu, quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu.

\(A=-(-A)\)

\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}\)

\( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{B}=\dfrac{A+C}{B}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\( \dfrac{2x^{2}-x}{x-1}+\dfrac{x+1}{1-x}+\dfrac{2-x^{2}}{x-1}\) 

\(= \dfrac{2x^{2}-x}{x-1}+\dfrac{-(x+1)}{-(1-x)}+\dfrac{2-x^{2}}{x-1}\)

\(=\dfrac{2x^{2}-x}{x-1}+\dfrac{-x-1}{x-1}+\dfrac{2-x^{2}}{x-1}\)

\(=\dfrac{2x^{2}-x-x-1+2-x^{2}}{x-1}\)

\(=\dfrac{x^{2}-2x+1}{x-1}=\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x - 1}}=x-1\)

Câu b

\( \dfrac{4-x^{2}}{x-3}+\dfrac{2x-2x^{2}}{3-x}+\dfrac{5-4x}{x-3}\) 

\( =\dfrac{4-x^{2}}{x-3}+\dfrac{-(2x-2x^{2})}{-(3-x)}+\dfrac{5-4x}{x-3}\)

\( =\dfrac{4-x^{2}}{x-3}+\dfrac{2x^{2}-2x}{x-3}+\dfrac{5-4x}{x-3}\) 

\( =\dfrac{4-x^{2}+2x^{2}-2x+5-4x}{x-3}\)

\(=\dfrac{x^{2}-6x+9}{x-3}=\dfrac{{{x^2} - 2.x.3 + {3^2}}}{{x - 3}}\)

\( =\dfrac{(x-3)^{2}}{x-3}= x-3\)

Làm các phép tính sau:

a) \(\dfrac{y}{2x^2 - xy} + \dfrac{4x}{y^2 - 2xy}\)

b) \(\dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{3}{x^2 - 4} + \dfrac{x - 14}{(x^2 + 4x + 4)(x - 2)}\)

c) \(\dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{1}{(x + 2)(4x + 7)} \)

d) \(\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{1}{(x + 3)(x + 2)} + \dfrac{1}{(x + 2)(4x + 7)} \)

Phương pháp giải

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

\( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{D}=\dfrac{AD}{BD}+\dfrac{CB}{DB}=\dfrac{AD+BC}{BD}\)

\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\( \dfrac{y}{2x^{2}-xy}+\dfrac{4x}{y^{2}-2xy}\) \( =\dfrac{y}{x(2x-y)}+\dfrac{4x}{y(y-2x)}\)

\( =\dfrac{y}{x(2x-y)}+\dfrac{-4x}{y(2x-y)}\) (Áp dụng quy tắc đổi dấu ở phân thức thứ hai)

\(=\dfrac{y^{2}}{xy(2x-y)}+\dfrac{-4x^{2}}{xy(2x-y)}\) (Quy đồng hai phân thức với \(MTC = xy(2x – y))\)

\(=  \dfrac{y^{2}-4x^{2}}{xy(2x-y)}=\dfrac{(y-2x)(y+2x)}{xy(2x-y)}\)

\(=\dfrac{-(2x-y)(y+2x)}{xy(2x-y)}\)

\( =\dfrac{-(2x+y)}{xy}\)

Câu b

Xét các mẫu thức:

\(\eqalign{
& {x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \cr 
& \left( {{x^2} + 4x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) \cr&= \left( {{x^2} + 2.x.2 + {2^2}} \right)\left( {x - 2} \right) \cr&= {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 2} \right) \cr} \)

MTC \(={\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\)

Ta có: 

\( \dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x^{2}-4}+\dfrac{x-14}{(x^{2}+4x+4)(x-2)}\)

\( =\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{(x-2)(x+2)}+\dfrac{x-14}{(x+2)^{2}(x-2)}\)

\( =\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^{2}(x-2)}+\dfrac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)^{2}}+\dfrac{x-14}{(x+2)^{2}(x-2)}\)

\( =\dfrac{x^2-4}{(x+2)^{2}(x-2)}+\dfrac{3x+6}{(x-2)(x+2)^{2}}+\dfrac{x-14}{(x+2)^{2}(x-2)}\)

\( =\dfrac{x^{2}-4+3x+6+x-14}{(x+2)^{2}(x-2)}= \dfrac{x^{2}+4x-12}{(x+2)^{2}(x-2)}\)

\( =\dfrac{x^{2}-2x+6x-12}{(x+2)^{2}(x-2)}= \dfrac{x(x-2)+6(x-2)}{(x+2)^{2}(x-2)}\)

\( = \dfrac{(x-2)(x+6)}{(x+2)^{2}(x-2)}=\dfrac{x+6}{(x+2)^{2}}\)

Câu c

\( \dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}\)

\( =\dfrac{4x+7}{(x+2)(4x+7)}+\dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}\)

\( = \dfrac{{4x + 7 + 1}}{{(x + 2)(4x + 7)}}\)

\( =\dfrac{4x+8}{(x+2)(4x+7)}\)

\(=\dfrac{4(x+2)}{(x+2)(4x+7)}=\dfrac{4}{4x+7}\)

Câu d

\( \dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{(x+3)(x+2)}+\dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}\)

\( =\left(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{(x+3)(x+2)}\right)+\dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}\)

\( =\left( \dfrac{x+2}{(x+3)(x+2)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+2)}\right)\)\(+\dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}\)

\( = \dfrac{{x + 2 + 1}}{{(x + 3)(x + 2)}} + \dfrac{1}{{(x + 2)(4x + 7)}}\)

\( =\dfrac{x+3}{(x+3)(x+2)}+\dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}\) 

\( =\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}\)

\( =\dfrac{4x+7}{(x+2)(4x+7)}+\dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}\)

\( = \dfrac{{4x + 7 + 1}}{{(x + 2)(4x + 7)}}\)

\(=\dfrac{4x+8}{(x+2)(4x+7)}\)

\( =\dfrac{4(x+2)}{(x+2)(4x+7)}=\dfrac{4}{4x+7}\)

Một con mèo đuổi bắt một con chuột. Lần đầu mèo chạy với vận tốc \(x \,\,\,m/s.\) Chạy được \(3m\) thì mèo bắt được chuột. Mèo vờn chuột \(40\) giây rồi thả cho chuột chạy. Sau đó \(15\) giây mèo lại đuổi bắt nhưng với vận tốc lần đầu là \(0,5 m/s.\) Chạy được \(5m\) mèo lại bắt được chuột. Lần này thì mèo cắn chết chuột. Cuộc săn đuổi kết thúc. Hãy biểu diễn qua \(x:\)

- Thời gian lần thức nhất mèo đuổi bắt được chuột

- Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt được chuột

- Thời gian kể từ đầu cho đến khi kết thúc cuộc săn

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: Thời gian \(=\) quãng đường : vận tốc.

Hướng dẫn giải

- Vì vận tốc lần đầu mèo chạy là \(x\) (m/s) nên vận tốc lần thứ hai mèo chạy là \(x - 0,5\) (m/s)

- Vì quãng đường để mèo bắt được chuột lần thứ nhất là 3m nên thời gian lần thứ nhất mèo bắt được chuột là \( \dfrac{3}{x}\) (giây)

- Vì quãng đường để mèo bắt được chuột lần thứ hai là 5m nên thời gian lần thứ hai mèo bắt được chuột là  \( \dfrac{5}{x-0,5}\) (giây)

- Thời gian kể từ lúc đầu đến khi kết thúc cuộc săn là: \( \dfrac{3}{x} + 40 + 15 +  \dfrac{5}{x-0,5}\) (giây)

hay  \( \dfrac{3}{x} + 55+  \dfrac{5}{x-0,5}\) (giây)

Làm tính cộng các phân thức sau:

a) \(\dfrac{5}{2x^2y} + \dfrac{3}{5xy^2} + \dfrac{x}{y^3}\)

b) \(\dfrac{x + 1}{2x + 6} + \dfrac{2x + 3}{x(x + 3)}\)

c) \(\dfrac{3x + 5}{x^2 - 5x} + \dfrac{25 - x}{25 - 5x}\)

d) \(x^2 + \dfrac{x^4 + 1}{1 - x^2} + 1\)

e) \( \dfrac{4x^2 - 3x + 17}{x^3 - 1} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + x + 1} + \dfrac{6}{1 - x}\)

Phương pháp giải

Áp dụng:

- Quy tắc đổi dấu

\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}\)

- Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

\( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{D}=\dfrac{AD}{BD}+\dfrac{CB}{DB}=\dfrac{AD+BC}{BD}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& \,\,MTC = 10{x^2}{y^3} \cr &\text{Ta có:} \cr
& {5 \over {2{x^2}y}} + {3 \over {5x{y^2}}} + {x \over {{y^3}}} \cr 
& = {{5.5{y^2}} \over {2{x^2}y.5{y^2}}} + {{3.2xy} \over {5x{y^2}.2xy}} + {{x.10{x^2}} \over {{y^3}.10{x^2}}} \cr 
& = {{25{y^2}} \over {10{x^2}{y^3}}} + {{6xy} \over {10{x^2}{y^3}}} + {{10{x^3}} \over {10{x^2}{y^3}}} \cr 
& = {{25{y^2} + 6xy + 10{x^3}} \over {10{x^2}{y^3}}} \cr} \)

Câu b

\(\eqalign{
& \,\,MTC = 2x\left( {x + 3} \right) \cr &\text{Ta có:} \cr
& {{x + 1} \over {2x + 6}} + {{2x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr 
& = {{x + 1} \over {2\left( {x + 3} \right)}} + {{2x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr 
& = {{x\left( {x + 1} \right)} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} + {{2\left( {2x + 3} \right)} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} \cr 
& = {{{x^2} + x} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} + {{4x + 6} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} \cr 
& = {{{x^2} + x + 4x + 6} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} \cr 
& = {{{x^2} + 5x + 6} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} \cr 
& = {{{x^2} + 2x + 3x + 6} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} \cr 
& = {{x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} \cr 
& = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {2x\left( {x + 3} \right)}} = {{x + 2} \over {2x}} \cr} \)

Câu c

\(\eqalign{
& \,\,MTC = 5x\left( {x - 5} \right)\cr &\text{Ta có:} \cr
& {{3x + 5} \over {{x^2} - 5x}} + {{25 - x} \over {25 - 5x}} \cr 
& = {{3x + 5} \over {{x^2} - 5x}} + {{ - \left( {25 - x} \right)} \over { - \left( {25 - 5x} \right)}}\cr& = {{3x + 5} \over {{x^2} - 5x}} + {{x - 25} \over {5x - 25}} \cr 
& = {{3x + 5} \over {x\left( {x - 5} \right)}} + {{x - 25} \over {5\left( {x - 5} \right)}} \cr 
& = {{5\left( {3x + 5} \right)} \over {5x\left( {x - 5} \right)}} + {{x\left( {x - 25} \right)} \over {5x\left( {x - 5} \right)}} \cr 
& = {{15x + 25} \over {5x\left( {x - 5} \right)}} + {{{x^2} - 25x} \over {5x\left( {x - 5} \right)}} \cr 
& = {{15x + 25 + {x^2} - 25x} \over {5x\left( {x - 5} \right)}} \cr 
& = {{{x^2} - 10x + 25} \over {5x\left( {x - 5} \right)}} \cr 
& = {{{x^2} - 2.x.5 + {5^2}} \over {5x\left( {x - 5} \right)}} \cr 
& = {{{{\left( {x - 5} \right)}^2}} \over {5x\left( {x - 5} \right)}} = {{x - 5} \over {5x}} \cr} \)

Câu d

\(\eqalign{
& \,MTC = 1 - {x^2} \cr &\text{Ta có:} \cr
& {x^2} + {{{x^4} + 1} \over {1 - {x^2}}} + 1 \cr 
& =  {{\rm{x}}^2}+1 + {{{x^4} + 1} \over {1 - {x^2}}} \cr & = {{1 + {{\rm{x}}^2}}\over {1}} + {{{x^4} + 1} \over {1 - {x^2}}} \cr
& = {{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)} \over {1 - {x^2}}} + {{{x^4} + 1} \over {1 - {x^2}}} \cr 
& = {{1 - {x^4}} \over {1 - {x^2}}} + {{{x^4} + 1} \over {1 - {x^2}}} \cr 
& = {{1 - {x^4} + {x^4} + 1} \over {1 - {x^2}}} = {2 \over {1 - {x^2}}} \cr} \)

Câu e

\(\dfrac{4x^2 - 3x + 17}{x^3 - 1} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + x + 1} + \dfrac{6}{1 - x}\)

\(= \dfrac{4x^2 - 3x + 17}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + x + 1} + \dfrac{-6}{x - 1}\)

\(= \dfrac{4x^2 - 3x + 17}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \dfrac{(2x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \dfrac{-6(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\)

\(= \dfrac{4x^2 - 3x + 17 + (2x - 1)(x - 1) + [- 6(x^2 + x + 1)]}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\)

\(= \dfrac{4x^2 - 3x + 17 + 2x^2 - 2x - x + 1 + (- 6x^2 -6 x - 6)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\)

\(= \dfrac{4x^2 - 3x + 17 + 2x^2 - 2x - x + 1 - 6x^2 -6 x - 6}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\)

\(= \dfrac{-12x + 12}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\)

\(= \dfrac{-12(x - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\)

\(= \dfrac{-12}{x^2 + x + 1}\)

Một đội máy xúc trên công trường đường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc \(11600{m^3}\) đất. Giai đoạn đầu còn nhiều khó khăn nên máy làm việc với năng suất trung bình \(x\left( {{m^3}} \right)\)/ngày và đội đào được \(5000{m^3}\). Sau đó công việc ổn định hơn, năng suất của máy tăng \(25{m^3}\)/ngày

a) Hãy biểu diễn:

- Thời gian xúc \(5000{m^3}\) đầu tiên

- Thời gian làm nốt phần việc còn lại

- Thời gian làm việc để hoành thành công việc

b) Thời gian làm việc để hoàn thành công việc với \(x = 250{m^3}\)/ ngày

Phương pháp giải

Áp dụng:

- Công thức: công việc \(=\) năng suất \( \times \) thời gian.

- Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Hướng dẫn giải

Câu a: Thời gian xúc \(5000\,{m^3}\) đầu tiên là  \(\dfrac{{5000}}{x}\)(ngày)

Phần việc còn lại là: \(11600-5000 = 6600\) (\({m^3}\))

Năng suất làm việc ở phần việc còn lại là: \(x + 25\) (\({m^3}\)/ ngày)

Thời gian làm nốt phần việc còn lại là: \(\dfrac{{6600}}{{x + 25}}\) ( ngày)

Thời gian làm việc để hoàn thành công việc là:  \(\dfrac{{5000}}{x} + \dfrac{{6600}}{{x + 25}}\) (ngày)

Ta có : 

\(\eqalign{
& {{5000} \over x} + {{6600} \over {x + 25}} \cr
& = {{5000\left( {x + 25} \right)} \over {x\left( {x + 25} \right)}} + {{6600x} \over {x\left( {x + 25} \right)}} \cr
& = {{5000\left( {x + 25} \right) + 6600x} \over {x\left( {x + 25} \right)}} \cr
& = {{11600x + 125000} \over {x\left( {x + 25} \right)}} \cr} \)

Câu b:  Với năng suất \(x = 250\) (\({m^3}\)/ ngày) thì thời gian làm việc là:

\(\dfrac{{5000}}{{250}} + \dfrac{{6600}}{{250 + 25}} \)\(\,= 20 + \dfrac{{6600}}{{275}} = 20 + 24= 44\) ( ngày)

Đố: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: \(\dfrac{{{x^2}}}{{5{\rm{x}} + 25}} + \dfrac{{2\left( {x - 5} \right)}}{x} + \dfrac{{50 + 5{\rm{x}}}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\) tại \(x = -4\)

Nếu coi tử số của phân số tối giản mà em tìm được là ngày còn mẫu số là tháng thì đó chính là một ngày lễ trên thế giới. Đố em biết đó là ngày gì?

Phương pháp giải

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

\( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{D}=\dfrac{AD}{BD}+\dfrac{CB}{DB}=\dfrac{AD+BC}{BD}\)

- Sau đó, thay giá trị tương ứng của \(x\) vào phân thức đã rút gọn.

Hướng dẫn giải

Ta có: 
\(\dfrac{x^2}{5x + 25} + \dfrac{2(x - 5)}{x} + \dfrac{50 + 5x}{x(x + 5)}\)

\(= \dfrac{x^2}{5(x + 5)} + \dfrac{2(x - 5)}{x} + \dfrac{50 + 5x}{x(x + 5)}\)

\(= \dfrac{x^2.x}{5x(x + 5)} + \dfrac{2(x - 5).5(x + 5)}{x.5(x + 5)} + \dfrac{(50 + 5x).5}{5x(x + 5)}\)

\(= \dfrac{x^3}{5x(x + 5)} + \dfrac{10(x^2 - 25)}{5x(x + 5)} + \dfrac{250 + 25x}{5x(x + 5)}\)

\(= \dfrac{x^3 + 10(x^2 - 25) + 250 + 25x}{5x(x + 5)}\)

\(= \dfrac{x^3 + 10x^2 - 250 + 250 + 25x}{5x(x + 5)}\)

\(= \dfrac{x^3 + 10x^2 + 25x}{5x(x + 5)}\)

\(= \dfrac{x(x^2 + 10x + 25)}{5x(x + 5)}\)

\(= \dfrac{x(x + 5)^2}{5x(x + 5)}\)

\(= \dfrac{x+ 5}{5}\)

Với \(x = -4\) giá trị của phân thức rút gọn bằng:

\(\dfrac{-4+ 5}{5} = \dfrac{1}{5}\)

Vậy ta được ngày \(1\) tháng \(5.\) Đó là ngày quốc tế lao động