Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Giải các phương trình:

a) $\frac{2x-5}{x+5}= 3$

b) $\frac{x^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}$

c) $\frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0$

d) $\frac{5}{3x+2}= 2x - 1$ 

Phương pháp giải

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
• Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a

ĐKXĐ: $x \ne - 5$

$\eqalign{ & {{2x - 5} \over {x + 5}} = 3 \cr  & \Leftrightarrow {{2x - 5} \over {x + 5}} = {{3(x + 5)} \over {x + 5}} \cr  & \Rightarrow 2x - 5 = 3\left( {x + 5} \right) \cr  & \Leftrightarrow 2x - 5 = 3x + 15 \cr  & \Leftrightarrow 2x - 3x = 15 + 5 \cr  & \Leftrightarrow - x = 20 \cr  & \Leftrightarrow x = - 20 \text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)}\cr}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \{-20\}$

Câu b

ĐKXĐ: $x \ne 0$

$\eqalign{ & {{{x^2} - 6} \over x} = x + {3 \over 2} \cr  & \Leftrightarrow {{2({x^2} - 6)} \over {2x}} = {{2{x^2}} \over {2x}} + {{3x} \over {2x}} \cr  & \Rightarrow 2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2{x^2} + 3x \cr  & \Leftrightarrow 2{x^2} - 12 = 2{x^2} + 3x \cr  & \Leftrightarrow 2{x^2} - 2{x^2} - 3x = 12 \cr  & \Leftrightarrow - 3x = 12 \cr  & \Leftrightarrow x = 12:\left( { - 3} \right) \cr  & \Leftrightarrow x = - 4\text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)} \cr}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \{- 4\}$.

Câu c

ĐKXĐ: $x \ne 3$

$\eqalign{ & {{({x^2} + 2x) - (3x + 6)} \over {x - 3}} = 0 \cr  & \Rightarrow ({x^2} + 2x) - (3x + 6) = 0 \cr  & \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) = 0 \cr  & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + 2 = 0 \hfill \cr  x - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 2\text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)} \hfill \cr  x = 3 \text{ (loại)}\hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \{-2\}$

Câu d

ĐKXĐ: $x \ne -\dfrac{2}{3}$

$\eqalign{ & {5 \over {3x + 2}} = 2x - 1 \cr  & \Leftrightarrow {5 \over {3x + 2}} = {{\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)} \over {3x + 2}} \cr  & \Rightarrow 5 = \left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right) \cr  & \Leftrightarrow 5 = 6{x^2} + 4x - 3x - 2 \cr  & \Leftrightarrow 5 = 6{x^2} + x - 2 \cr  & \Leftrightarrow - 6{x^2} - x + 2 + 5 = 0 \cr  & \Leftrightarrow - 6{x^2} - x + 7 = 0 \cr  & \Leftrightarrow - 6{x^2} + 6x - 7x + 7 = 0 \cr  & \Leftrightarrow - 6x\left( {x - 1} \right) - 7\left( {x - 1} \right) = 0 \cr  & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( { - 6x - 7} \right) = 0 \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 1 = 0 \hfill \cr  - 6x - 7 = 0 \hfill \cr} \right. \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr  - 6x = 7 \hfill \cr} \right. \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\text{ (thỏa mãn)} \hfill \cr  x =  - \dfrac{7}{6}\text{ (thỏa mãn)} \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {1; - \dfrac{7}{6}} \right\}$. 

Giải các phương trình:

a) $\frac{2x-1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}$

b) $\frac{5x}{2x+2}+1=-\frac{6}{x+1}$

c) $x+\frac{1}{x}= x^2 +\frac{1}{x^2}$ 

d) $\frac{x+3}{x+1}+\frac{x-2}{x}=2$.

Phương pháp giải

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
• Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a

ĐKXĐ: $x \ne 1$

$\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x - 1}} + 1 = \dfrac{1}{{x - 1}}}\\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{{x - 1}} = \dfrac{1}{{x - 1}}\\ \Rightarrow 2x - 1 + x - 1 = 1 \end{array}\\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\rm{x}} - 2 = 1\\ \Leftrightarrow 3x = 1 + 2 \end{array}\\ { \Leftrightarrow 3{\rm{x}} = 3}\\ { \Leftrightarrow {\rm{x}}{\kern 1pt} {\rm{ = }}{\kern 1pt} {\rm{3:3}}}\\ { \Leftrightarrow {\rm{x}}{\kern 1pt} {\rm{ = }}{\kern 1pt} 1\left( \text{loại} \right)} \end{array}$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu b

ĐKXĐ: $x \ne -1$

$\matrix{\dfrac{{5{\text{x}}}}{{2{\text{x}} + 2}} + 1 =  - \dfrac{6}{{x + 1}} \hfill  \cr {  \Leftrightarrow \dfrac{{5{\text{x}}}}{{2\left( {{\text{x}} + 1} \right)}} + 1 =  - \dfrac{6}{{x + 1}}} \hfill  \cr  \matrix{ \Leftrightarrow \dfrac{{5{\text{x}}}}{{2\left( {{\text{x}} + 1} \right)}} + \dfrac{{2x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} =  - \dfrac{{6.2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} \hfill \cr  \Rightarrow 5x + 2x + 2 =  - 12 \hfill \cr}  \hfill  \cr { \Leftrightarrow 7{\rm{x}} + 2 =  - 12} \hfill  \cr { \Leftrightarrow 7{\rm{x}} =  - 12 - 2} \hfill  \cr { \Leftrightarrow 7{\rm{x}} =  - 14} \hfill  \cr { \Leftrightarrow x = \left( { - 14} \right):7} \hfill  \cr { \Leftrightarrow {\rm{x}}{\kern 1pt} {\rm{ = }} - 2\left( \text{thỏa mãn} \right)} \hfill  \cr  }$

Vậy phương trình có nghiệm $x = -2$.

Câu c

ĐKXĐ: $x \ne 0$.

$\begin{array}{l} x + \dfrac{1}{x} = {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \dfrac{x}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow {x^3} + x = {x^4} + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} - {x^3} - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 0\\ {x^3} - 1 = 0 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x  = 1\\ {x^3}  = 1 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow x = 1\left( \text{thỏa mãn} \right) \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$. 

Câu d

ĐKXĐ: $x \ne 0; x\ne-1$.

$\begin{array}{l} \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}} + \dfrac{{x - 2}}{x} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} \\\Rightarrow x\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 2x\left( {x + 1} \right) \\\Leftrightarrow {x^2} + 3{\rm{x}} + {x^2} - 2{\rm{x}} + x - 2 = 2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}\\ \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 2\, - 2{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} = 0\\ \Leftrightarrow 0x = 2\left( \text{Vô nghiệm} \right) \end{array}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bạn Sơn giải phương trình $\dfrac{{{x^2} - 5x}}{{x - 5}} = 5\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ như sau:

(1)  $⇔{x^2} - 5x = 5\left( {x - 5} \right)$

$⇔{x^2} - 5x = 5x - 25$

$⇔{x^2} - 10x + 25 = 0$

$⇔{\left( {x - 5} \right)^2} = 0$

$⇔x = 5$

Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức $x – 5$ có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:

(1)   $⇔\dfrac{{x\left( {x - 5} \right)}}{{x - 5}} = 5 \Leftrightarrow x = 5$

Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên.

Phương pháp giải

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
• Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

+ Trong cách giải của bạn Sơn có ghi

(1) ⇔ ${x^2} - 5x = 5\left( {x - 5} \right)$

Cách làm của bạn sai khi chưa đặt ĐKXĐ của phương trình đã nhân cả hai vế của phương trình với $(x-5)$

+ Trong cách giải của Hà có ghi

(1)   $⇔\dfrac{{x\left( {x - 5} \right)}}{{x - 5}} = 5 \Leftrightarrow x = 5$

Sai ở chỗ chưa tìm ĐKXĐ của phương trình mà lại rút gọn $(x - 5)$.

Tóm lại cả hai cách giải đều sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Cách giải đúng:

ĐKXĐ: $x\ne5$

$\eqalign{ & {{{x^2} - 5x} \over {x - 5}} = 5 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2} - 5x} \over {x - 5}} = {{5\left( {x - 5} \right)} \over {x - 5}} \cr & \Rightarrow {x^2} - 5x = 5\left( {x - 5} \right) \cr & \Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) - 5\left( {x - 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow x - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow x = 5\text{ (loại)} \cr}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Giải các phương trình:

a) $\dfrac{1}{{x - 2}} + 3 = \dfrac{{x - 3}}{{2 - x}}$ 

b) $2x - \dfrac{{2{x^2}}}{{x + 3}} = \dfrac{{4x}}{{x + 3}} + \dfrac{2}{7}$

c) $\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = \dfrac{4}{{{x^2} - 1}}$  

d) $\dfrac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \dfrac{{6x + 1}}{{2x - 3}}$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\dfrac{1}{{x - 2}} + 3 = \dfrac{{x - 3}}{{2 - x}}$

ĐKXĐ:  $x \ne 2$ 

MTC: $x - 2$

Quy đồng mẫu hai vế ta được:

$\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} =  - \dfrac{{x - 3}}{{x - 2}}$   

Khử mẫu ta được: $1 + 3\left( {x - 2} \right) =  - \left( {x - 3} \right)$

$\Leftrightarrow 1 + 3x - 6 =  - x + 3$

$⇔ 3x + x = 3 + 6 - 1$

$⇔ 4x = 8$

$⇔ x = 2$ (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu b

$2x - \dfrac{{2{x^2}}}{{x + 3}} = \dfrac{{4x}}{{x + 3}} + \dfrac{2}{7}$

ĐKXĐ: $x \ne  - 3$

MTC: $7(x + 3)$

Quy đồng mẫu hai vế ta được:

$\dfrac{{2x.7.\left( {x + 3} \right)}}{{7.\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{2.7.{x^2}}}{{7.\left( {x + 3} \right)}}$$\,= \dfrac{{7.4.x}}{{7.\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{7\left( {x + 3} \right)}}$

Khử mẫu ta được:

$14x\left( {x + 3} \right) - 14{x^2}= 28x + 2\left( {x + 3} \right)$

$\Leftrightarrow 14{x^2} + 42x - 14{x^2}= 28x + 2x + 6$

⇔ $42x - 30x = 6$

⇔$12x = 6$

⇔ $x = \dfrac{6}{{12}}$

$⇔ x= \dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm $x =\dfrac{1}{2}$

Câu c

$\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = \dfrac{4}{{{x^2} - 1}}$   

ĐKXĐ:$x \ne  \pm 1$

MTC: ${x^2} - 1$

Quy đồng mẫu hai vế ta được:

$\dfrac{{\left( {x + 1} \right).\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right).\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}$$\, = \dfrac{4}{{{x^2} - 1}}$

Khử mẫu ta được: ${\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 4$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 4$

$⇔{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 = 4$

$⇔4x = 4$

$\Leftrightarrow x = 4:4$

$⇔x = 1$ (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu d

$\dfrac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \dfrac{{6x + 1}}{{2x - 3}}$

ĐKXĐ:$x \ne  - 7$ và $x \ne \dfrac{3}{2}$

MTC: $(x + 7)(2x-3)$

Quy đồng mẫu hai vế phương trình ta được:

$\dfrac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}}$

Khử mẫu ta được: $\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)$  

$⇔6{x^2} - 9x - 4x + 6$$= 6{x^2} + 42x + x + 7$

$\Leftrightarrow 6{x^2} - 13x + 6 =6 {x^2} + 43x + 7$

$\Leftrightarrow 6{x^2} - 13x - 6{x^2} - 43x = 7 - 6$      

$⇔ - 56x = 1$

$⇔x =\dfrac{{ - 1}}{{56}}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{{ - 1}}{{56}}$ .

Giải các phương trình

a) $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}$

b) $\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

c) $1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}$

d) $\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}}$$\, = \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

Phương pháp giải

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
• Bước 2: Qui đồng khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

Giải phương trình tích: $A(x).B(x)=0$

$\Leftrightarrow A(x) = 0$ hoặc $B(x) =0$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}$

Ta có: $x - 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1$ và ${x^3} - 1 \ne 0$ khi $x^3 \ne 1$ hay $x \ne 1$

${x^2+x + 1} = {{x^2} + x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}}$

$=  {{x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}$

$= {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}$ 

Ta có: ${\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0$ với mọi $x \in\mathbb R$ nên ${\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x \in\mathbb R$

Do đó: 

ĐKXĐ:  $x ≠ 1$

MTC: ${x^3} - 1=(x-1)(x^2+x+1)$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}$

$\Rightarrow {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right)$

$\Leftrightarrow  - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x$

$\Leftrightarrow 0 = 2{x^2} - 2x + 2{x^2} - x - 1$

$\Leftrightarrow 0 = 4{x^2} - 3x - 1$

$\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4{x^2} - 4x+x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 1 = 0 \hfill \\ 4x + 1 = 0 \hfill \\  \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ 4x = - 1 \hfill \\  \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1}\text{( loại)} \cr {x = - \dfrac{1}{4}}\text{(thỏa mãn)}\cr} }\right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - \dfrac{1}{4}$

Câu b

ĐKXĐ: $x \ne 1; \, x \ne 2; \, x \ne 3$
$\dfrac{3}{(x - 1)(x - 2)} + \dfrac{2}{(x - 3)(x - 1)} = \dfrac{1}{(x - 2)(x - 3)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3(x - 3)}{(x - 1)(x - 2)} + \dfrac{2(x - 2)}{(x - 3)(x - 1)} = \dfrac{(x - 1)}{(x - 2)(x - 3)}$
$\Rightarrow 3(x - 3) + 2(x - 2) = x - 1$
$\Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1$
$\Leftrightarrow 4x = 12$
$\Leftrightarrow x = 3$ (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm 

Câu c

$1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}$

Ta có:  $8 + {x^3} \ne 0$$\Leftrightarrow x^3  ≠ -8 ⇔ x ≠ -2$

ĐKXĐ: $x ≠ -2$

MTC: $8 + {x^3}=(x+2)(x^2-2x+4)$

$\Leftrightarrow \dfrac{{8 + {x^3}}}{{8 + {x^3}}} + \dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{8 + {x^3}}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}$

$\Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12$

$\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 12 - 8 - 4$

$\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0$

⇔$x[ x(x+2) - (x+2) ] = 0$

⇔ $x(x + 2)(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x + 2 = 0\\ x - 1 = 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\left( \text{ thỏa mãn} \right)\\ x = - 2\left( \text{ loại} \right)\\ x = 1\left( \text{ thỏa mãn} \right) \end{array} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ {0;1} \right\}$.

Câu d

ĐKXĐ: $x \ne \pm 3; \, x \ne \dfrac{-7}{2}$
$\dfrac{13}{(x - 3)(2x + 7)} + \dfrac{1}{2x + 7} = \dfrac{6}{(x - 3)(x + 3)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{13(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)(2x + 7)} + \dfrac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)(2x + 7)} = \dfrac{6(2x + 7)}{(x - 3)(x + 3) (2x + 7)}$
$\Rightarrow 13(x + 3) + (x + 3)(x - 3) = 6(2x + 7)$
$\Leftrightarrow 13x + 39 + x^2 - 9 = 12x + 42$
$\Leftrightarrow x^2 + x - 12 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 + 4x - 3x - 12 = 0$
$\Leftrightarrow x(x + 4) -3(x + 4) = 0$
$\Leftrightarrow (x - 3)(x + 4 ) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x - 3 = 0 \\ x+ 4= 0\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3\,\text{(loại)} \\ x = -4 \,\text{(nhận)}\end{array} \right.$
Vậy $S = \left\{4\right\}$

Giải các phương trình

a) $\dfrac{1}{x} + 2 = \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$

b) ${\left( {x + 1 + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - \dfrac{1}{x}} \right)^2}$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\dfrac{1}{x} + 2 = \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$     (1)

ĐKXĐ: $x \ne 0$

(1)  $⇔\left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right) - \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow\left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {1 - {x^2} - 1} \right)= 0$

$⇔ \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( { - {x^2}} \right)= 0$

$⇔\left[ {\matrix{{\dfrac{1}{x} + 2 = 0} \cr { - {x^2} = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\dfrac{1}{x}= - 2} \cr {{x^2} = 0} \cr} } \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - \dfrac{1}{2}\, (\text{thỏa mãn})} \cr {x = 0} \,(\text{loại})\cr} } \right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -\dfrac{{  1}}{2}$.

Câu b

${\left( {x + 1 + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - \dfrac{1}{x}} \right)^2}$ (2)

ĐKXĐ: $x \ne 0$

(2)  $⇔\left[ {\matrix{{x + 1 + \dfrac{1 }{x} = x - 1 - \dfrac{1 }{x}} \cr {x + 1 + \dfrac{1}{x} = - \left( {x - 1 - \dfrac{1 }{ x}} \right)} \cr} } \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + 1 + \frac{1}{x} = x - 1 - \frac{1}{x} \hfill \\ x + 1 + \frac{1}{x} = - x + 1 + \frac{1}{x} \hfill \\  \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + \frac{1}{x} - x + \frac{1}{x} = - 1 - 1 \hfill \\ x + \frac{1}{x} + x - \frac{1}{x} = 1 - 1 \hfill \\  \end{gathered} \right.$

$⇔\left[ {\matrix{{\dfrac{2 }{ x} = - 2} \cr {2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 1} (\text{thỏa mãn})\cr {x = 0} \text{ (loại)}\cr}} \right.} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -1$.

Tìm các giá trị của $a$ sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng $2$:

a) $\dfrac{{3a - 1}}{{3a + 1}} + \dfrac{{a - 3}}{{a + 3}}$

b) $\dfrac{{10}}{3} - \dfrac{{3a - 1}}{{4a + 12}} - \dfrac{{7a + 2}}{{6a + 18}}$

Phương pháp giải

Cho giá trị biểu thức bằng 2 bài toán trở thành bài toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ( với ẩn a)

• Bước 1: Đặt ĐKXĐ của phương trình.
• Bước 2: Quy đồng khử mẫu
• Bước 3: Sử dụng quy tắc chuyển vế để tìm a.
• Bước 4: Kết luận (Kiểm tra giá trị của a tìm được có thỏa mãn với ĐKXĐ không)

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có phương trình:$\dfrac{{3a - 1}}{{3a + 1}} + \dfrac{{a - 3}}{{a + 3}} = 2$;

ĐKXĐ: $a \ne  - \dfrac{1}{3},a \ne  - 3$

Quy đồng hai vế phương trình ta được:

$\dfrac{{\left( {3a - 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}} + \dfrac{{\left( {a - 3} \right)\left( {3a + 1} \right)}}{{\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}$$\,= \dfrac{{2\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}$

Khử mẫu ta được :

$\left( {3a - 1} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {a - 3} \right)\left( {3a + 1} \right)$$= 2\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)$

⇔ $3{a^2} + 9a - a - 3 + 3{a^2} - 9a + a - 3$$= 6{a^2} + 18a + 2a + 6$

⇔ $6{a^2} - 6 = 6{a^2} + 20a + 6$

$\Leftrightarrow 6{a^2} - 6{a^2} - 20a = 6 + 6$

$\Leftrightarrow  - 20a = 12$

⇔ $a =   12:(-20)$

⇔ $a =  - \dfrac{3}{5}$ (thỏa mãn)

Vậy $a =  - \dfrac{3}{5}$  thì biểu thức $\dfrac{{3a - 1}}{{3a + 1}} + \dfrac{{a - 3}}{{a + 3}}$ có giá trị bằng $2$.      

Câu b

Ta có phương trình: $\dfrac{{10}}{3} - \dfrac{{3a - 1}}{{4a + 12}} - \dfrac{{7a + 2}}{{6a + 18}} = 2$

ĐKXĐ:$a \ne -3;$

$\dfrac{{10}}{3} - \dfrac{{3a - 1}}{{4a + 12}} - \dfrac{{7a + 2}}{{6a + 18}} = 2$

$\Leftrightarrow \dfrac{{10}}{3} - \dfrac{{3a - 1}}{{4(a + 3)}} - \dfrac{{7a + 2}}{{6(a + 3)}} = 2$

$\Leftrightarrow  \dfrac{{4.10\left( {a + 3} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}} - \dfrac{{3\left( {3a - 1} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}}$$\, - \dfrac{{2\left( {7a + 2} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}} = \dfrac{{2.12\left( {a + 3} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}}$

Khử mẫu ta được:

 $40\left( {a + 3} \right) - 3\left( {3a - 1} \right) - 2\left( {7a + 2} \right)$$= 24\left( {a + 3} \right)$

⇔$40a + 120 - 9a + 3 - 14a - 4$$= 24a + 72$

⇔$17a + 119 = 24a + 72$

$\Leftrightarrow 17a - 24a = 72 - 119$

⇔ $- 7a =  - 47$

⇔ $a = \dfrac{{47}}{7}$ (thỏa mãn)

Vậy $a=\dfrac{{47}}{7}$ thì biểu thức $\dfrac{{10}}{3} - \dfrac{{3a - 1}}{{4a + 12}} - \dfrac{{7a + 2}}{{6a + 18}}$  có giá trị bằng $2$.