Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Giải các phương trình:

a) \(\frac{2x-5}{x+5}= 3\)

b) \(\frac{x^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}\)

c) \(\frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\)

d) \(\frac{5}{3x+2}= 2x - 1\) 

Phương pháp giải

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
• Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a

ĐKXĐ: \(x \ne - 5\)

\(\eqalign{
& {{2x - 5} \over {x + 5}} = 3 \cr 
& \Leftrightarrow {{2x - 5} \over {x + 5}} = {{3(x + 5)} \over {x + 5}} \cr 
& \Rightarrow 2x - 5 = 3\left( {x + 5} \right) \cr 
& \Leftrightarrow 2x - 5 = 3x + 15 \cr 
& \Leftrightarrow 2x - 3x = 15 + 5 \cr 
& \Leftrightarrow - x = 20 \cr 
& \Leftrightarrow x = - 20 \text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)}\cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \{-20\}\)

Câu b

ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

\(\eqalign{
& {{{x^2} - 6} \over x} = x + {3 \over 2} \cr 
& \Leftrightarrow {{2({x^2} - 6)} \over {2x}} = {{2{x^2}} \over {2x}} + {{3x} \over {2x}} \cr 
& \Rightarrow 2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2{x^2} + 3x \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 12 = 2{x^2} + 3x \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 2{x^2} - 3x = 12 \cr 
& \Leftrightarrow - 3x = 12 \cr 
& \Leftrightarrow x = 12:\left( { - 3} \right) \cr 
& \Leftrightarrow x = - 4\text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)} \cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \{- 4\}\).

Câu c

ĐKXĐ: \(x \ne 3\)

\(\eqalign{
& {{({x^2} + 2x) - (3x + 6)} \over {x - 3}} = 0 \cr 
& \Rightarrow ({x^2} + 2x) - (3x + 6) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + 2 = 0 \hfill \cr 
x - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2\text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)} \hfill \cr 
x = 3 \text{ (loại)}\hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \{-2\}\)

Câu d

ĐKXĐ: \(x \ne -\dfrac{2}{3}\)

\(\eqalign{
& {5 \over {3x + 2}} = 2x - 1 \cr 
& \Leftrightarrow {5 \over {3x + 2}} = {{\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)} \over {3x + 2}} \cr 
& \Rightarrow 5 = \left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right) \cr 
& \Leftrightarrow 5 = 6{x^2} + 4x - 3x - 2 \cr 
& \Leftrightarrow 5 = 6{x^2} + x - 2 \cr 
& \Leftrightarrow - 6{x^2} - x + 2 + 5 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 6{x^2} - x + 7 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 6{x^2} + 6x - 7x + 7 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 6x\left( {x - 1} \right) - 7\left( {x - 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( { - 6x - 7} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - 1 = 0 \hfill \cr 
- 6x - 7 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
- 6x = 7 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\text{ (thỏa mãn)} \hfill \cr 
x =  - \dfrac{7}{6}\text{ (thỏa mãn)} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {1; - \dfrac{7}{6}} \right\}\). 

Giải các phương trình:

a) \(\frac{2x-1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}\)

b) \(\frac{5x}{2x+2}+1=-\frac{6}{x+1}\)

c) \(x+\frac{1}{x}= x^2 +\frac{1}{x^2}\) 

d) \(\frac{x+3}{x+1}+\frac{x-2}{x}=2\).

Phương pháp giải

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
• Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a

ĐKXĐ: \(x \ne 1\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x - 1}} + 1 = \dfrac{1}{{x - 1}}}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{{x - 1}} = \dfrac{1}{{x - 1}}\\
\Rightarrow 2x - 1 + x - 1 = 1
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\rm{x}} - 2 = 1\\
\Leftrightarrow 3x = 1 + 2
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow 3{\rm{x}} = 3}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{x}}{\kern 1pt} {\rm{ = }}{\kern 1pt} {\rm{3:3}}}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{x}}{\kern 1pt} {\rm{ = }}{\kern 1pt} 1\left( \text{loại} \right)}
\end{array}\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu b

ĐKXĐ: \(x \ne -1\)

\(\matrix{\dfrac{{5{\text{x}}}}{{2{\text{x}} + 2}} + 1 =  - \dfrac{6}{{x + 1}} \hfill  \cr {  \Leftrightarrow \dfrac{{5{\text{x}}}}{{2\left( {{\text{x}} + 1} \right)}} + 1 =  - \dfrac{6}{{x + 1}}} \hfill  \cr  \matrix{ \Leftrightarrow \dfrac{{5{\text{x}}}}{{2\left( {{\text{x}} + 1} \right)}} + \dfrac{{2x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} =  - \dfrac{{6.2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} \hfill \cr  \Rightarrow 5x + 2x + 2 =  - 12 \hfill \cr}  \hfill  \cr { \Leftrightarrow 7{\rm{x}} + 2 =  - 12} \hfill  \cr { \Leftrightarrow 7{\rm{x}} =  - 12 - 2} \hfill  \cr { \Leftrightarrow 7{\rm{x}} =  - 14} \hfill  \cr { \Leftrightarrow x = \left( { - 14} \right):7} \hfill  \cr { \Leftrightarrow {\rm{x}}{\kern 1pt} {\rm{ = }} - 2\left( \text{thỏa mãn} \right)} \hfill  \cr  } \)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = -2\).

Câu c

ĐKXĐ: \(x \ne 0\).

\(\begin{array}{l}
x + \dfrac{1}{x} = {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \dfrac{x}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\
\Rightarrow {x^3} + x = {x^4} + 1\\
\Leftrightarrow {x^4} - {x^3} - x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^3}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
{x^3} - 1 = 0
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x  = 1\\
{x^3}  = 1
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow x = 1\left( \text{thỏa mãn} \right)
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\). 

Câu d

ĐKXĐ: \(x \ne 0; x\ne-1\).

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{x + 3}}{{x + 1}} + \dfrac{{x - 2}}{x} = 2\\
\Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} \\\Rightarrow x\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 2x\left( {x + 1} \right)
\\\Leftrightarrow {x^2} + 3{\rm{x}} + {x^2} - 2{\rm{x}} + x - 2 = 2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}\\
\Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 2\, - 2{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} = 0\\
\Leftrightarrow 0x = 2\left( \text{Vô nghiệm} \right)
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bạn Sơn giải phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 5x}}{{x - 5}} = 5\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) như sau:

(1)  \( ⇔{x^2} - 5x = 5\left( {x - 5} \right)\)

\(⇔{x^2} - 5x = 5x - 25\)

\(⇔{x^2} - 10x + 25 = 0\)

\(⇔{\left( {x - 5} \right)^2} = 0\)

\(⇔x = 5\)

Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức \(x – 5\) có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:

(1)   \( ⇔\dfrac{{x\left( {x - 5} \right)}}{{x - 5}} = 5 \Leftrightarrow x = 5\)

Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên.

Phương pháp giải

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
• Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

+ Trong cách giải của bạn Sơn có ghi

(1) ⇔ \({x^2} - 5x = 5\left( {x - 5} \right)\)

Cách làm của bạn sai khi chưa đặt ĐKXĐ của phương trình đã nhân cả hai vế của phương trình với \((x-5)\)

+ Trong cách giải của Hà có ghi

(1)   \( ⇔\dfrac{{x\left( {x - 5} \right)}}{{x - 5}} = 5 \Leftrightarrow x = 5\)

Sai ở chỗ chưa tìm ĐKXĐ của phương trình mà lại rút gọn \((x - 5)\).

Tóm lại cả hai cách giải đều sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Cách giải đúng:

ĐKXĐ: \(x\ne5\)

\(\eqalign{
& {{{x^2} - 5x} \over {x - 5}} = 5 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2} - 5x} \over {x - 5}} = {{5\left( {x - 5} \right)} \over {x - 5}} \cr
& \Rightarrow {x^2} - 5x = 5\left( {x - 5} \right) \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) - 5\left( {x - 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow x - 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = 5\text{ (loại)} \cr} \)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Giải các phương trình:

a) \(\dfrac{1}{{x - 2}} + 3 = \dfrac{{x - 3}}{{2 - x}}\) 

b) \(2x - \dfrac{{2{x^2}}}{{x + 3}} = \dfrac{{4x}}{{x + 3}} + \dfrac{2}{7}\)

c) \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = \dfrac{4}{{{x^2} - 1}}\)  

d) \(\dfrac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \dfrac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\dfrac{1}{{x - 2}} + 3 = \dfrac{{x - 3}}{{2 - x}}\)

ĐKXĐ:  \(x \ne 2\) 

MTC: \(x - 2\)

Quy đồng mẫu hai vế ta được:

\(\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} =  - \dfrac{{x - 3}}{{x - 2}}\)   

Khử mẫu ta được: \(1 + 3\left( {x - 2} \right) =  - \left( {x - 3} \right)\)

\(\Leftrightarrow 1 + 3x - 6 =  - x + 3\)

\(⇔ 3x + x = 3 + 6 - 1\)

\(⇔ 4x = 8\)

\(⇔ x = 2\) (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu b

\(2x - \dfrac{{2{x^2}}}{{x + 3}} = \dfrac{{4x}}{{x + 3}} + \dfrac{2}{7}\)

ĐKXĐ: \(x \ne  - 3\)

MTC: \(7(x + 3)\)

Quy đồng mẫu hai vế ta được:

\(\dfrac{{2x.7.\left( {x + 3} \right)}}{{7.\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{2.7.{x^2}}}{{7.\left( {x + 3} \right)}} \)\(\,= \dfrac{{7.4.x}}{{7.\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{7\left( {x + 3} \right)}}\)

Khử mẫu ta được:

\(14x\left( {x + 3} \right) - 14{x^2}= 28x + 2\left( {x + 3} \right)\)

\(\Leftrightarrow 14{x^2} + 42x - 14{x^2}= 28x + 2x + 6\)

⇔ \(42x - 30x = 6\)

⇔\(12x = 6\)

⇔ \(x = \dfrac{6}{{12}}\)

\(⇔ x= \dfrac{1}{2}\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =\dfrac{1}{2}\)

Câu c

\(\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = \dfrac{4}{{{x^2} - 1}}\)   

ĐKXĐ:\(x \ne  \pm 1\)

MTC: \({x^2} - 1\)

Quy đồng mẫu hai vế ta được:

\(\dfrac{{\left( {x + 1} \right).\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right).\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\)\(\, = \dfrac{4}{{{x^2} - 1}}\)

Khử mẫu ta được: \({\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 4\)

\(⇔{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 = 4\)

\(⇔4x = 4\)

\( \Leftrightarrow x = 4:4\)

\(⇔x = 1\) (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu d

\(\dfrac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \dfrac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\)

ĐKXĐ:\(x \ne  - 7\) và \( x \ne \dfrac{3}{2}\)

MTC: \((x + 7)(2x-3)\)

Quy đồng mẫu hai vế phương trình ta được:

\(\dfrac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}}\)

Khử mẫu ta được: \(\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\)  

\(⇔6{x^2} - 9x - 4x + 6 \)\(= 6{x^2} + 42x + x + 7\)

\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 13x + 6 =6 {x^2} + 43x + 7\)

\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 13x - 6{x^2} - 43x = 7 - 6\)      

\(⇔ - 56x = 1\)

\(⇔x =\dfrac{{ - 1}}{{56}}\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{ - 1}}{{56}}\) .

Giải các phương trình

a) \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

b) \(\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

c) \(1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)

d) \(\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}}\)\(\, = \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

Phương pháp giải

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
• Bước 2: Qui đồng khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)

\( \Leftrightarrow A(x) = 0\) hoặc \(B(x) =0\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

Ta có: \(x - 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1\) và \({x^3} - 1 \ne 0\) khi \(x^3 \ne 1\) hay \(x \ne 1\)

\(  {x^2+x + 1} = {{x^2} + x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} \)

\( =  {{x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}\)

\(= {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}\) 

Ta có: \({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) nên \({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Do đó: 

ĐKXĐ:  \(x ≠ 1\)

MTC: \({x^3} - 1=(x-1)(x^2+x+1)\)

\(  \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}\)

\(\Rightarrow {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right) \)

\(\Leftrightarrow  - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x\)

\( \Leftrightarrow 0 = 2{x^2} - 2x + 2{x^2} - x - 1\)

\( \Leftrightarrow 0 = 4{x^2} - 3x - 1\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 4x+x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x - 1 = 0 \hfill \\
4x + 1 = 0 \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
4x = - 1 \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1}\text{( loại)} \cr {x = - \dfrac{1}{4}}\text{(thỏa mãn)}\cr} }\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{1}{4}\)

Câu b

ĐKXĐ: \(x \ne 1; \, x \ne 2; \, x \ne 3\)
\(\dfrac{3}{(x - 1)(x - 2)} + \dfrac{2}{(x - 3)(x - 1)} = \dfrac{1}{(x - 2)(x - 3)}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{3(x - 3)}{(x - 1)(x - 2)} + \dfrac{2(x - 2)}{(x - 3)(x - 1)} = \dfrac{(x - 1)}{(x - 2)(x - 3)}\)
\(\Rightarrow 3(x - 3) + 2(x - 2) = x - 1\)
\(\Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1\)
\(\Leftrightarrow 4x = 12\)
\(\Leftrightarrow x = 3\) (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm 

Câu c

\(1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)

Ta có:  \(8 + {x^3} \ne 0\)\(\Leftrightarrow x^3  ≠ -8 ⇔ x ≠ -2\)

ĐKXĐ: \(x ≠ -2\)

MTC: \(8 + {x^3}=(x+2)(x^2-2x+4)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{8 + {x^3}}}{{8 + {x^3}}} + \dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{8 + {x^3}}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)

\( \Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 \)

\( \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 12 - 8 - 4\)

\(\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0\)

⇔\(x[ x(x+2) - (x+2) ] = 0\)

⇔ \(x(x + 2)(x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x + 2 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\left( \text{ thỏa mãn} \right)\\
x = - 2\left( \text{ loại} \right)\\
x = 1\left( \text{ thỏa mãn} \right)
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).

Câu d

ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3; \, x \ne \dfrac{-7}{2}\)
\(\dfrac{13}{(x - 3)(2x + 7)} + \dfrac{1}{2x + 7} = \dfrac{6}{(x - 3)(x + 3)}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{13(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)(2x + 7)} + \dfrac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)(2x + 7)} = \dfrac{6(2x + 7)}{(x - 3)(x + 3) (2x + 7)}\)
\(\Rightarrow 13(x + 3) + (x + 3)(x - 3) = 6(2x + 7)\)
\(\Leftrightarrow 13x + 39 + x^2 - 9 = 12x + 42\)
\(\Leftrightarrow x^2 + x - 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow x^2 + 4x - 3x - 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow x(x + 4) -3(x + 4) = 0\)
\(\Leftrightarrow (x - 3)(x + 4 ) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x - 3 = 0 \\ x+ 4= 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3\,\text{(loại)} \\ x = -4 \,\text{(nhận)}\end{array} \right.\)
Vậy \(S = \left\{4\right\}\)

Giải các phương trình

a) \(\dfrac{1}{x} + 2 = \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)

b) \({\left( {x + 1 + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - \dfrac{1}{x}} \right)^2}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\dfrac{1}{x} + 2 = \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)     (1)

ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

(1)  \(⇔\left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right) - \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow\left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {1 - {x^2} - 1} \right)= 0\)

\(⇔ \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( { - {x^2}} \right)= 0\)

\(⇔\left[ {\matrix{{\dfrac{1}{x} + 2 = 0} \cr { - {x^2} = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\dfrac{1}{x}= - 2} \cr {{x^2} = 0} \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - \dfrac{1}{2}\, (\text{thỏa mãn})} \cr {x = 0} \,(\text{loại})\cr} } \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -\dfrac{{  1}}{2}\).

Câu b

\({\left( {x + 1 + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - \dfrac{1}{x}} \right)^2}\) (2)

ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

(2)  \(⇔\left[ {\matrix{{x + 1 + \dfrac{1 }{x} = x - 1 - \dfrac{1 }{x}} \cr {x + 1 + \dfrac{1}{x} = - \left( {x - 1 - \dfrac{1 }{ x}} \right)} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x + 1 + \frac{1}{x} = x - 1 - \frac{1}{x} \hfill \\
x + 1 + \frac{1}{x} = - x + 1 + \frac{1}{x} \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x + \frac{1}{x} - x + \frac{1}{x} = - 1 - 1 \hfill \\
x + \frac{1}{x} + x - \frac{1}{x} = 1 - 1 \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

\(⇔\left[ {\matrix{{\dfrac{2 }{ x} = - 2} \cr {2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 1} (\text{thỏa mãn})\cr {x = 0} \text{ (loại)}\cr}} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -1\).

Tìm các giá trị của \(a\) sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng \(2\):

a) \(\dfrac{{3a - 1}}{{3a + 1}} + \dfrac{{a - 3}}{{a + 3}}\)

b) \(\dfrac{{10}}{3} - \dfrac{{3a - 1}}{{4a + 12}} - \dfrac{{7a + 2}}{{6a + 18}}\)

Phương pháp giải

Cho giá trị biểu thức bằng 2 bài toán trở thành bài toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ( với ẩn a)

• Bước 1: Đặt ĐKXĐ của phương trình.
• Bước 2: Quy đồng khử mẫu
• Bước 3: Sử dụng quy tắc chuyển vế để tìm a.
• Bước 4: Kết luận (Kiểm tra giá trị của a tìm được có thỏa mãn với ĐKXĐ không)

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có phương trình:\(\dfrac{{3a - 1}}{{3a + 1}} + \dfrac{{a - 3}}{{a + 3}} = 2\);

ĐKXĐ: \(a \ne  - \dfrac{1}{3},a \ne  - 3\)

Quy đồng hai vế phương trình ta được:

\(\dfrac{{\left( {3a - 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}} + \dfrac{{\left( {a - 3} \right)\left( {3a + 1} \right)}}{{\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}} \)\(\,= \dfrac{{2\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}\)

Khử mẫu ta được :

\(\left( {3a - 1} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {a - 3} \right)\left( {3a + 1} \right) \)\(= 2\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)\)

⇔ \(3{a^2} + 9a - a - 3 + 3{a^2} - 9a + a - 3 \)\(= 6{a^2} + 18a + 2a + 6\)

⇔ \(6{a^2} - 6 = 6{a^2} + 20a + 6\)

\( \Leftrightarrow 6{a^2} - 6{a^2} - 20a = 6 + 6\)

\( \Leftrightarrow  - 20a = 12\)

⇔ \(a =   12:(-20)\)

⇔ \(a =  - \dfrac{3}{5}\) (thỏa mãn)

Vậy \(a =  - \dfrac{3}{5}\)  thì biểu thức \(\dfrac{{3a - 1}}{{3a + 1}} + \dfrac{{a - 3}}{{a + 3}}\) có giá trị bằng \(2\).      

Câu b

Ta có phương trình: \(\dfrac{{10}}{3} - \dfrac{{3a - 1}}{{4a + 12}} - \dfrac{{7a + 2}}{{6a + 18}} = 2\)

ĐKXĐ:\(a \ne -3;\)

\(\dfrac{{10}}{3} - \dfrac{{3a - 1}}{{4a + 12}} - \dfrac{{7a + 2}}{{6a + 18}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{3} - \dfrac{{3a - 1}}{{4(a + 3)}} - \dfrac{{7a + 2}}{{6(a + 3)}} = 2\)

\(\Leftrightarrow  \dfrac{{4.10\left( {a + 3} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}} - \dfrac{{3\left( {3a - 1} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}}\)\(\, - \dfrac{{2\left( {7a + 2} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}} = \dfrac{{2.12\left( {a + 3} \right)}}{{12\left( {a + 3} \right)}}\)

Khử mẫu ta được:

 \(40\left( {a + 3} \right) - 3\left( {3a - 1} \right) - 2\left( {7a + 2} \right) \)\(= 24\left( {a + 3} \right)\)

⇔\(40a + 120 - 9a + 3 - 14a - 4 \)\(= 24a + 72\)

⇔\(17a + 119 = 24a + 72\)

\( \Leftrightarrow 17a - 24a = 72 - 119\)

⇔ \( - 7a =  - 47\)

⇔ \(a = \dfrac{{47}}{7}\) (thỏa mãn)

Vậy \(a=\dfrac{{47}}{7}\) thì biểu thức \(\dfrac{{10}}{3} - \dfrac{{3a - 1}}{{4a + 12}} - \dfrac{{7a + 2}}{{6a + 18}}\)  có giá trị bằng \(2\).