Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ và Giá trị của phân thức

Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

a) $\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}$

b) $\dfrac{1-\dfrac{2}{x+1}}{1-\dfrac{x^{2}-2}{x^{2}-1}}$

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc chia hai phân thức:

$\dfrac{A}{B} :  \dfrac{C}{D} =   \dfrac{A}{B}.  \dfrac{D}{C}$ với $\dfrac{C}{D} ≠ 0$.

Hướng dẫn giải

Câu a: $\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}$

$= \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)$

$= \dfrac{x+1}{x}:\dfrac{x-1}{x}$

$=\dfrac{x+1}{x}.\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-1}$

Câu b: $\dfrac{1-\dfrac{2}{x+1}}{1-\dfrac{x^{2}-2}{x^{2}-1}}$

$= \left( {1 - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)$

$= \left( {\dfrac{x+1}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)$

$=\dfrac{x+1-2}{x+1}:\dfrac{x^{2}-1-(x^{2}-2)}{x^{2}-1}$

$=\dfrac{x-1}{x+1}:\dfrac{x^{2}-1-x^{2}+2}{x^{2}-1}$

$=\dfrac{x-1}{x+1}:\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$

$=\dfrac{x-1}{x+1}.\dfrac{(x-1)(x+1)}{1}= (x-1)^{2}$.

Với giá trị nào đó của $x$ thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định?

a) $\dfrac{5x}{2x + 4}$

b) $\dfrac{x - 1}{x^2 - 1}$

Phương pháp giải

Điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác $0$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Giá trị của phân thức này được xác định với điều kiện: $2{\rm{x}} + 4 \ne 0 \Rightarrow 2{\rm{x}} \ne  - 4 \Rightarrow x \ne  - 2.$ 

Vậy điều kiện để phân thức $\dfrac{5x}{2x+4}$ được xác định là $x \ne  - 2$.

Câu b

Điều kiện để phân thức xác định là:

${x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0$

$\Rightarrow x - 1 \ne 0$ và $x + 1 \ne 0$
$\Rightarrow x \ne 1$ và $x \ne - 1$

Vậy điều kiện để phân thức $\dfrac{x-1}{x^{2}-1}$ được xác định là $x \ne 1$ và $x \ne -1$.

Cho phân thức $\dfrac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$

a) Với điều kiện nào của $x$ thì giá trị của phân thức được xác định $?$

b) Rút gọn phân thức.

c) Tìm giá trị của $x$ để giá trị của phân thức bằng $1 ?$

d) Có giá trị nào $x$ để giá trị của phân thức bằng $0$ hay không $?$

Phương pháp giải

a) Điều kiện xác định của phân thức là: Mẫu thức khác $0$.

b) Áp dụng hằng đẳng thức bình phương một tổng  để rút gọn phân thức.

c), d) Cho giá trị của phân thức rút gọn bằng $1$ để tìm giá trị của $x$; kết quả tìm được so sánh với điều kiện xác định của phân thức.

Hướng dẫn giải

Câu a

Điều kiện của $x$ để phân thức được xác định là: $x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 2.$

Câu b

Rút gọn phân thức: 

$\dfrac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}}= \dfrac{{{x^2} + 2.x.2 + {2^2}}}{{x + 2}}$$\,= \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{x + 2}} = x + 2$

Câu c

Điều kiện $x\ne -2$, ta có: $\dfrac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}}=x+2$ 

Để giá trị của phân thức đã cho bằng $1$ thì:

$x + 2 = 1 \Rightarrow x =  - 1$ (thỏa mãn điều kiện xác định của $x$)

Vậy $x = -1$ thì giá trị của phân thức bằng $1$.

Câu d

Điều kiện $x\ne -2$, ta có: $\dfrac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}}=x+2$

Để giá trị của phân thức đã cho bằng $0$ thì:

$x + 2 = 0 \Rightarrow x =  - 2$ (không thỏa mãn điều kiện xác định của $x$).

Vậy không có giá trị nào của $x$ để phân thức đã cho có giá trị bằng $0.$ 

Rút gọn phân thức: 

$\dfrac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}}= \dfrac{{{x^2} + 2.x.2 + {2^2}}}{{x + 2}}$$\,= \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{x + 2}} = x + 2$

Đố: Đố em tìm được một phân thức ( của một biến $x$) mà giá trị của nó tìm được xác định với mọi giá trị của $x$ khác các ước của $2$.

Phương pháp giải

Áp dụng điều kiện xác định của một phân thức.

Hướng dẫn giải

Các ước của $2$ là: $1; -1; 2; -2$. Do đó, có thể chọn mẫu của phân thức cần tìm là:

$\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)$

(vì $\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0$ $\Rightarrow x \ne  \pm 1, \pm 2)$

Vậy có thể chọn phân thức $\dfrac{1}{(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)}$ hoặc $\dfrac{2x-3}{(x^2-1)(x^2-4)}$,... (có nhiều đáp án khác nhau).

Thực hiện các phép tính:

a) $\left( \dfrac{x}{x + 1} + 1 \right) : \left(1 - \dfrac{3x^2}{1 - x^2} \right)$

b) $(x^2 - 1)\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} - 1 \right)$

Phương pháp giải

a) Áp dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức.

b) Áp dụng tính chất nhân phân phối giữa phép nhân và phép cộng:

$\dfrac{A}{B}\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}.\dfrac{E}{F}$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\eqalign{ & \;\left( {{x \over {x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - {{3{x^2}} \over {1 - {x^2}}}} \right) \cr  & = {{x + x + 1} \over {x + 1}}:{{1 - {x^2} - 3{x^2}} \over {1 - {x^2}}} \cr  & = {{2x + 1} \over {x + 1}}:{{1 - 4{x^2}} \over {1 - {x^2}}} \cr  & = {{2x + 1} \over {x + 1}}.{{1 - {x^2}} \over {1 - 4{x^2}}} \cr  & = {{2x + 1} \over {x + 1}}.{{1 - {x^2}} \over {1 - {{\left( {2x} \right)}^2}}} \cr  & = {{2x + 1} \over {x + 1}}.{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} \over {\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} \cr  & = {{1 - x} \over {1 - 2x}} \cr}$ 

Câu b

Áp dụng tính chất nhân phân phối giữa phép nhân và phép cộng, phép trừ:

$\eqalign{ & \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{1 \over {x - 1}} - {1 \over {x + 1}} - 1} \right) \cr  & = \left( {{x^2} - 1} \right).{1 \over {x - 1}} + \left( {{x^2} - 1} \right).{{ - 1} \over {x + 1}} + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( { - 1} \right) \cr  & = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {x - 1}} - {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {x + 1}} - \left( {{x^2} - 1} \right) \cr  & = x + 1 - \left( {x - 1} \right) - {x^2} + 1 \cr&= x + 1 - x + 1 - {x^2} + 1\cr& = - {x^2} + 3 \cr}$

Làm các phép tính sau:

a) $\left( \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y}{x} \right) : \left(\dfrac{x}{y^2} - \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} \right)$

b) $\left( \dfrac{1}{x^2 + 4x + 4} - \dfrac{1}{x^2 - 4x + 4} \right) : \left(\dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{1}{x - 2} \right)$

Phương pháp giải

Áp dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức; thực hiện các phép tính trong ngoặc trước.

Hướng dẫn giải

Câu a

$\eqalign{ & \,\,\,\left( {{{{x^2}} \over {{y^2}}} + {y \over x}} \right):\left( {{x \over {{y^2}}} - {1 \over y} + {1 \over x}} \right) \cr  & = \left( {{{{x^2}.x} \over {x{y^2}}} + {{y.{y^2}} \over {x{y^2}}}} \right):\left( {{{x.x} \over {x{y^2}}} - {{xy} \over {x{y^2}}} + {{{y^2}} \over {x{y^2}}}} \right) \cr  & = {{{x^2}.x + y.{y^2}} \over {x{y^2}}}:{{{x.x} - xy + {y^2}} \over {x{y^2}}} \cr  & = {{{x^3} + {y^3}} \over {x{y^2}}}:{{{x^2} - xy + {y^2}} \over {x{y^2}}} \cr  & = {{{x^3} + {y^3}} \over {x{y^2}}}.{{x{y^2}} \over {{x^2} - xy + {y^2}}} \cr  & = {{\left( {{x^3} + {y^3}} \right)x{y^2}} \over {x{y^2}\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}} \cr  & = {{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)x{y^2}} \over {x{y^2}\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}} \cr  & = x + y \cr}$

Câu b

$\eqalign{ & \;\left( {{1 \over {{x^2} + 4x + 4}} - {1 \over {{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {{1 \over {x + 2}} + {1 \over {x - 2}}} \right) \cr  & = \left( {{1 \over {{x^2} + 2.x.2 + {2^2}}} - {1 \over {{x^2} - 2.x.2 + {2^2}}}} \right):\left( {{1 \over {x + 2}} + {1 \over {x - 2}}} \right) \cr & = \left[ {{1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - {1 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right]:\left[ {{{x-2} \over {(x + 2)(x-2)}} + {{x+2} \over {(x - 2)(x+2)}}} \right] \cr  & = \left[ {{1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - {1 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right]:{{x - 2 + x + 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cr & = \left[ {{(x-2)^2 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2.(x-2)^2}}} - {(x+2)^2 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2.(x+2)^2}}}} \right]:{{2x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cr  & = {{{{\left( {x - 2} \right)}^2} - {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {2x}} \cr  & = {{\left[ {{x^2} - 4x + 4 - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right)} \right]\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {2x{{(x + 2)}^2}{{(x - 2)}^2}}} \cr  & = {{\left( {{x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 4x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {2x{{(x + 2)}^2}{{(x - 2)}^2}}} \cr  & = {{\left( { - 8x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {2x{{(x + 2)}^2}{{(x - 2)}^2}}} \cr  & = {{ - 4} \over {(x + 2)(x - 2)}} = {{ - 4} \over {{x^2} - 4}} \cr}$ 

Chứng tỏ rằng với $x \ne 0$ và $x \ne  \pm a$ ($a$ là một số nguyên), giá trị của biểu thức

 $\left( {a - \dfrac{{{x^2} + {a^2}}}{{x + a}}} \right).\left( {\dfrac{{2a}}{x} - \dfrac{{4a}}{{x - a}}} \right)$  là một số chẵn

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác $0$.

- Chứng tỏ biểu thức có giá trị dạng $2k$ ($k$ là một số nguyên)

Hướng dẫn giải

Điều kiện của biến để giá trị của biểu thức được xác định là : $x \ne 0,x \ne  \pm a$ ( $a$ là một số nguyên)

Ta có:

$\eqalign{ & \left( {a - {{{x^2} + {a^2}} \over {x + a}}} \right).\left( {{{2a} \over x} - {{4a} \over {x - a}}} \right) \cr & = {{a\left( {x + a} \right) - \left( {{x^2} + {a^2}} \right)} \over {x + a}}.{{2a\left( {x - a} \right) - 4a.x} \over {x\left( {x - a} \right)}} \cr & = {{ax + {a^2} - {x^2} - {a^2}} \over {x + a}}.{{2ax - 2{a^2} - 4ax} \over {x\left( {x - a} \right)}} \cr & = {{ax - {x^2}} \over {x + a}}.{{ - 2{a^2} - 2ax} \over {x\left( {x - a} \right)}} \cr & = {{x\left( {a - x} \right)} \over {x + a}}.{{2a\left( { - a - x} \right)} \over {x\left( {x - a} \right)}} \cr & = {{x\left( {a - x} \right).2a\left( { - a - x} \right)} \over {x\left( {x + a} \right)\left( {x - a} \right)}} \cr& = {{x\left[- {(x - a)} \right].[-2a\left( { x+a} \right)]} \over {x\left( {x + a} \right)\left( {x - a} \right)}} \cr & = {{2ax\left( {x - a} \right)\left( {a + x} \right)} \over {x\left( {x + a} \right)\left( {x - a} \right)}} = 2a \cr}$

Vì $a$ là số nguyên nên $2a$ là số chẵn.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số chẵn.

a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

$1 + \dfrac{1}{x}; \,\,\,\,\, 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x }};\,\,\,\,\,\, 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}}$

b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức

 $1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}} }}}$

Phương pháp giải

Áp dụng các phép toán cộng và chia hai phân thức đại số.

Hướng dẫn giải

Câu a

$1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{{x + 1}}{x}$  (1)

Áp dụng (1) ta có : 

$\eqalign{ &1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}} = 1 + \dfrac{1}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}}\cr & = 1 + {x \over {x + 1}} = {{x + 1 + x} \over {x + 1}} \cr&= {{2x + 1} \over {x + 1}} \;\;\;(2)\cr}$  

Áp dụng (2) ta có :

$\eqalign{ & 1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}}}= 1 + \dfrac{1}{{\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}}}\cr & = 1 + {{x + 1} \over {2x + 1}} = {{2x + 1 + x + 1} \over {2x + 1}} \cr & = {{3x + 2} \over {2x + 1}}\,\,\,\,\,\,(3) \cr}$

Câu b

Đối với các biểu thức có dạng đã cho có thể dự đoán như sau :

Qua các kết quả của các bài ở câu a ta thấy kết quả tiếp theo sau là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu và mẫu là tử của phân thức liền trước đó.

Như vậy có thể dự đoán rằng nếu biểu thức có $4$ gạch phân số thì kết quả là $\dfrac{{5x + 3}}{{3x + 2}}$, và trong trường hợp này có $5$ gạch phân số, kết quả sẽ là $\dfrac{{8x + 5}}{{5x + 3}}$ .

Thật vậy :

$1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}}}}}$

$= 1 + \dfrac{1}{{\dfrac{{3x + 2}}{{2x + 1}}}} = 1 + \dfrac{{2x + 1}}{{3x + 2}}$

$= \dfrac{{3x + 2 + 2x + 1}}{{3x + 2}} = \dfrac{{5x + 3}}{{3x + 2}}$

Do đó

$1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{x}}}}}}}}}$

$= 1 + \dfrac{1}{{\dfrac{{5x + 3}}{{3x + 2}}}} = 1 + \dfrac{{3x + 2}}{{5x + 3}}$

$= \dfrac{{5x + 3 + 3x + 2}}{{5x + 3}} = \dfrac{{8x + 5}}{{5x + 3}}$

Tìm các giá trị của $x$ để giá trị của các phân thức được xác định:

a) $\dfrac{3x + 2}{2x^2 - 6x}$

b) $\dfrac{5}{x^2 - 3}$

Phương pháp giải

Điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác $0$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Điều kiện xác định của phân thức:$\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^2} - 6x}}$ là:

  $2{x^2} - 6x \ne 0$$\Rightarrow 2x\left( {x - 3} \right) \ne 0$

$\Rightarrow 2x \ne 0$ và $x - 3 \ne 0$

$\Rightarrow x \ne 0$ và $x  \ne 3$

Vậy phân thức xác định khi và chỉ khi $x \ne 0$ và $x \ne 3$ .

Câu b

Điều kiện xác định của phân thức: $\dfrac{5}{{{x^2} - 3}}$ là:

${x^2} - 3\ne 0$$\Rightarrow {x^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \ne 0$$\Rightarrow \left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right) \ne 0$

$\Rightarrow  x - \sqrt 3 \ne 0$ và $x + \sqrt 3 \ne 0$

$\Rightarrow  x \ne \sqrt 3$ và $x \ne - \sqrt 3$
$\Rightarrow x \ne \pm \sqrt 3$

Vậy phân thức xác định khi và chỉ khi $x \ne  - \sqrt 3$ và $x \ne \sqrt 3$

Cho phân thức $\dfrac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$

a) Với giá trị nào của $x$ thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là $\dfrac{x + 1}{x - 1}$

c) Để tính giá trị của phân thức đã cho tại $x = 2$ và $x = -1,$ bạn Thắng đã làm như sau:

- Với $x = 2,$ phân thức đã cho có giá trị là $\dfrac{2 + 1}{2 - 1} = 3;$

- Với $x = -1,$ phân thức đã cho có giá trị là $\dfrac{-1 + 1}{-1 - 1} = 0.$

Em có đồng ý không? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai.

Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn?

Phương pháp giải

a) Điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác $0$.

b) Áp dụng hằng đẳng thức bình phương một tổng, hiệu hai bình phương để phân tích tử thức và mẫu thức sau đó chia cả tử thức và mẫu thức với nhân tử chung giống nhau để rút gọn.

c) Kiểm tra giá trị của $x$ có thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức hay không. Nếu thỏa mãn thay giá trị của $x$ vào phân thức rút gọn để tính giá trị của phân thức.

Hướng dẫn giải

Câu a

Điều kiện xác định: ${x^2} - 1 \ne 0$$\Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0$

$\Rightarrow x - 1 \ne 0$ và $x + 1 \ne 0$

$\Rightarrow x  \ne 0$ và $x \ne -1$

Vậy phân thức xác định khi và chỉ khi $x \ne 1$ và $x \ne  - 1$.

Câu b

Rút gọn phân thức:

$\eqalign{ & {{{x^2} + 2x + 1} \over {{x^2} - 1}} \cr  & = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{x + 1} \over {x - 1}} \cr}$

Câu c

Với $x =2$, giá trị của phân thức đã cho được xác định, do đó phân thức đã cho có giá trị bằng $\dfrac{{2 + 1}}{{2 - 1}} = 3$. Bạn Thắng đã tính đúng.

Với $x = -1$, giá trị của phân thức đã cho không xác định (vì điều kiện của biến $x$ để giá trị phân thức được xác định là $x \ne 1$ và $x \ne  - 1)$ nên trong trường hợp này bạn Thắng làm sai.

Cho phân thức $\dfrac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8}$

a) Với điều kiện nào của $x$ thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức.

c) Em có biết trên $1 cm^2$ bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn không?

Tính giá trị của biểu thức đã cho tại $x = \dfrac{4001}{2000}$ em sẽ tìm được câu trả lời thật đáng sợ. (Tuy nhiên trong số đó chỉ có $20$ % là vi khuẩn có hại).

Phương pháp giải

a) Điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác $0$.

b) Rút gọn phân thức: Phân tích tử thức và mẫu thức sau đó chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung giống nhau.

c) Thay $x = \dfrac{{4001}}{{2000}}$ vào phân thức rút gọn để tính giá trị của phân thức.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: ${x^3} - 8 = {x^3} - {2^3}$ $= \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)$

Vì ${x^2} + 2x + 4 = {x^2} + 2x + 1 + 3$ $= {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3>0$ với mọi giá trị của $x$.

Do đó, điều kiện để phân thức xác định là: ${x^3} - 8 \ne 0  \Rightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\ne 0$ $\Rightarrow x - 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$

Vậy với $x \ne 2$ thì phân thức được xác định.

Câu b

Với $x \ne 2$, ta có: 

$\eqalign{ & {{3{x^2} + 6x + 12} \over {{x^3} - 8}} \cr  & = {{3{x^2} + 6x + 12} \over {{x^3} - {2^3}}} \cr  & = {{3\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} = {3 \over {x - 2}} \cr}$

Câu c

Vì $x = \dfrac{{4001}}{{2000}} \ne 2$ thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức nên khi đó giá trị của biểu thức đã cho bằng:

$\eqalign{ & \dfrac{3}{{\dfrac{{4001}}{{2000}} - 2}} = \dfrac{3}{{\dfrac{{4001 - 2.2000}}{{2000}}}} \cr  & = {{3} \over {\displaystyle 1\over \displaystyle 2000}} = {{3.2000} \over {1}} \cr  & = {{6000} \over 1} = 6000 \cr}$

Như vậy trên $1c{m^2}$ bề mặt da của ta có $6000$ con vi khuẩn, tuy nhiên số vi khuẩn có hại trong số đó là: $6000.20\%  = 1200$ con.